2022-2023学年江苏省常州市新桥高级中学高一上学期10月段考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市新桥高级中学高一上学期10月段考数学试题

一、单选题

1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（    ）

A．3.14 B．－5

C． D．

【答案】D

【分析】首项代表实数集，代表有理数集，对四个数判断是无理数即可.

【详解】由题意知a是实数，但不是有理数，故a应为无理数，

故a可以为.

故选：

【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，涉及了专用数集符号，属于基础题.

2．下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A．上课迟到的学生 B．年高考数学难题

C．所有有理数 D．小于的正整数

【答案】B

【解析】根据集合中元素的三要素判断．

【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.

故选：

3．若集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

4．P：是Q：的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件判断求解即可.

【详解】解：，但由无法得到，

故P：是Q：的充分非必要条件.

故选：A

5．已知，，，且满足，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的基本性质和特殊值法，逐项判断，即可求得答案.

【详解】对于A，当满足，，此时，

可得：，故A不一定成立；

对于B，当满足，，此时，

可得：，故B不一定成立；

对于C，当满足，，此时，

可得：，故C不一定成立；

对于D，由，，将两个不等式相加可得：，故D一定成立.

综上所述，只有D符合题意

故选：D.

【点睛】本题解题关键是掌握不等式的基本性质和灵活使用特殊值法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

6．已知集合，，定义，则集合的所有真子集的个数为（    ）

A．32 B．31 C．30 D．29

【答案】B

【分析】先根据题意得到，从而根据元素个数得到真子集个数.

【详解】集合，，定义，

则，元素个数为5，

故集合的所有真子集的个数为

故选：B

7．已知实数x，y满足，则xy的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】使用不等式求解.

【详解】，，

当且仅当时取最小值，的最小值是，

故选：B

8．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（    ）

A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处

【答案】A

【分析】设仓库到车站的距离为x km，由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0，根据x=10的费用，求出k1、k2，再利用基本不等式即可求解.

【详解】设仓库到车站的距离为x km，

由题意得y1=，y2=k2x，其中x>0．

由当x=10时，两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，可得k1=20，k2=，

故y1+y2=x≥2=8，

当且仅当x，即x=5时取等号，

故选：A．

【点睛】本题考查了函数模型的应用，基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

二、多选题

9．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.

【详解】当时，，即，此时，符合题意，

当时，，即，

由可得或，

因为，所以或，可得或，

因为，所以，

所以实数的取值范围为或，

所以选项ABC正确，选项D不正确；

故选：ABC.

10．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由不等式的性质可判断ABC，由基本不等式可判断D

【详解】由，可得，

对于A，，，，故A正确，

对于B，，，故B错误，

对于C，由可知C正确，

对于D，，且，，故D正确，

故选：ACD

11．设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（    ）

A．集合为封闭集 B．集合为封闭集

C．封闭集一定是无限集 D．若A为封闭集，则一定有

【答案】BD

【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解

【详解】对于A，在集合中，

不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误；

对于B，集合，

设x，，则，，，，

，，，

集合为封闭集，故B正确；

对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；

对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确．

故选：BD

12．生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ）

A．若，，则与的大小关系随m的变化而变化

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则一定有

【答案】BCD

【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D

【详解】对于A，，，

，，故A错误，

对于B，，，

，，故B正确，

对于C，，，

，，

，

，故C正确，

对于D，，，

，，

，故D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．命题：，的否定是______.

【答案】，或

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.

【详解】解：因为命题：，为存在量词命题，

其否定为全称量词命题，即为：，或，

故答案为：，或

14．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．

【答案】

【解析】由图可知，阴影部分所表示的集合为，再根据条件计算出即可.

【详解】由图可知，阴影部分所表示的集合为，

，

，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查由venn图表示出集合的运算，属于基础题.

15．已知命题：，，若为假命题，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可得为真命题，即，，可得的不等式，即可得到正确的结论．

【详解】解：命题：，，若为假命题，

则为真命题，

即，，为真命题，

由在恒成立，可得，

解得．

故答案为：．

16．已知：，，则的最小值是______.

【答案】##

【分析】根据基本不等式求解即可.

【详解】解：，，，，

，

当且仅当，即，时取等号，

的最小值是

故答案为：

四、解答题

17．（1）已知集合，，若，求x的值；

（2）已知集合，若，求实数m的取值范围．

【答案】（1）或0；（2）

【分析】（1）由并集定义知为的某个元素可求得x的值，注意元素的异性.

（2）根据列出满足的不等式求解即可，注意的情况.

【详解】集合，，，

或，且，解得或，

的值为或0；

集合，，，

，

当时，，解得；

当时，，解得，

实数m的取值范围是

18．已知集合，

(1)若，求；

(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先得到，从而求出并集；

（2）根据必要条件得到不等式组，求出实数a的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

所以；

（2），，

因为“”是“”的必要条件，

所以，

解得：

所以实数a的取值范围是.

19．已知集合，

(1)若，求；

(2)在①；②；中任选一个，补充到横线上，并求解问题．

若_____，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)答案见解析.

【分析】（1）利用并集和补集的定义运算即得；

（2）若选①，则，分，讨论即得；若选②，可得，进而可得，即得.

【详解】（1）当时，集合，

又，或

所以或；

（2）选①，

由，得，

当时，，得，此时，符合题意；

当时，得，解得，

综上，实数a的取值范围是；

若选②，

由，得，则，

解得，

实数a的取值范围是．

20．（1）已知，求证：

（2）设，，为正数，求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）利用分析法证明即可；

（2）利用基本不等式证明即可.

【详解】证明：（1）由于，则，，

于是要证，

即证，

即证，

由于，即证，而显然成立，

故

（2）因为，，为正数，

由基本不等式可得，，当且仅当取等号，

，当且仅当取等号，

，当且仅当取等号，

以上三式相加有，

即，当且仅当时取等号.

21．（1）已知，求的最大值；

（2）已知，求的最小值．

【答案】（1）；（2）9

【分析】（1），，变换原式等于，利用均值不等式计算即可.

（2）确定，变换原式等于，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】（1），，

，

当且仅当，即时取等号，故的最大值为

（2），，

，

当且仅当，即时取等号，的最小值为

22．已知：x，，，求：

(1)的最小值；

(2)的最小值．

【答案】(1)8

(2)3

【分析】（1）由基本不等式结合一元二次不等式求解即可；

（2）由基本不等式求解即可

【详解】（1），，，

，当且仅当时等号成立，

，

或（舍去），

则的最小值为

（2），

当且仅当，即时等号成立，

的最小值为