2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期中数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期中数学试题(解析版),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1.已知集合,,则( ).A. B. C. D.【答案】D【解析】解方程求得集合,由并集定义可求得结果.【详解】,.故选:.2.命题“”的否定为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可求解.【详解】由于全称命题的否定是存在量词命题,所以命题“”的否定为“”.故选:C.3.下面各组函数中表示同一个函数的是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】对于每个选项中的两个函数,分别看它们的定义域、对应关系以及值域是否一样,即可判断是否为同一函数.【详解】A中,和 定义域和解析式相同,因此为同一函数;B中定义域是R,而的定义域是 ,二者不是同一函数;C中前者函数的定义域中 ,后者可以,因此不是同一函数;D中前者函数定义域中 ,而后者可以,因此二者不是同一函数,故选:A.4.对于实数,“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析:由于不等式的基本性质,“a>b”⇒“ac>bc”必须有c>0这一条件.解:主要考查不等式的性质.当c=0时显然左边无法推导出右边,但右边可以推出左边.故选B【解析】不等式的性质点评:充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件. 5.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足,已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为( )(注:)A.0.6 B.0.8 C.1.2 D.1.5【答案】B【分析】当时,即可得到答案.【详解】由题意可得当时故选:B6.已知函数,则的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】D【分析】根据函数奇偶性排除A,再由时,时排除BC即可.【详解】∵,定义域为,关于原点对称,∴,故是偶函数,排除A;当时,,即,,所以,当时,又有,因此,排除B,C.故选:D.7.若函数,在R上单调递增,则a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由于函数在R上单调递增,所以函数在每段上要为增函数,且当时,,从而可求得答案【详解】由题意得,解得.故选:B8.定义在上的奇函数在上单调递减,且,则满足的的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】首先根据函数奇偶性与单调性,得到函数在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应自变量不等式组,最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减,且,所以在上也是单调递减,且,,所以当时,,当时,,所以由可得:或或解得或,所以满足的的取值范围是,故选:C.【点睛】思路点睛:该题考查的是有关结合奇函数的有关性质求解不等式的问题,解题思路如下:(1)根据奇函数某个区间上的单调性以及所给的函数的一个零点,得出上图象的特征;(2)对于不等式,分类转化为不等式组,求得结果;(3)在解题的过程中,不要忽略. 二、多选题9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,狄利克雷函数就以其名命名,其解析式为,关于函数有以下四个命题,其中真命题是( )A. B.C.函数是偶函数 D.函数是奇函数【答案】ABC【解析】根据自变量是有理数和无理数进行讨论,可判定A、C、D,举特例根据和可判断B即可得到答案.【详解】对于A中,若自变量是有理数,则,若自变量是无理数,则,所以A是真命题;当是无理数,是无理数,则是无理数,则,满足,所以B正确;对于C,当为有理数时,则为有理数,则.当为无理数时,则为无理数,则.故当时,,∴函数为偶函数,所以C是真命题;对于D中,若自变量是有理数,则也是有理数,可得,所以不是奇函数,D不正确.所以D是假命题;故选:ABC.10.已知关于的不等式的解集为,下列说法正确的是( )A.B.C.不等式的解集为D.不等式的解集为【答案】ABD【分析】根据已知条件得和是方程的两个实根,且,根据韦达定理可得,根据且,对四个选项逐个求解或判断即可.【详解】因为关于的不等式解集为,所以和是方程的两个实根,且,故A正确;所以,,所以,因为,又,所以,故B正确;不等式可化为,因为,所以,故C错误;不等式可化为,又,所以,即,解得,故D正确.故选:ABD.11.下列选项正确的是( )A.若,则的最小值为4B.若,则的最小值是2C.若,则的最大值为D.若正实数,满足,则的最小值为8【答案】CD【分析】结合基本不等式一正,二定,三相等条件分别检验各选项,即可判断.【详解】解:当时,显然不成立;令,则,,结合对勾函数单调性可知,当时,取得最小值,错误;若,则,当且仅当即时取等号,此时取得最大值,正确;正实数满足,则,当且仅当且,即,时取等号,此时的最小值为8,正确.故选:.12.已知是定义在上的奇函数,当时,,下列说法正确的是( )A.时,函数解析式为B.函数在定义域上为增函数C.不等式的解集为D.不等式恒成立【答案】BC【解析】对于A,利用奇函数定义求时,函数解析式为;对于B,研究当时,的单调性,结合奇函数图像关于原点对称,知在上的单调性;对于C,求出,不等式,转化为,利用单调性解不等式;对于D,分类讨论与两种情况是否恒成立.【详解】对于A,设,,则,又是奇函数,所以,即时,函数解析式为,故A错;对于B,,对称轴为,所以当时,单调递增,由奇函数图像关于原点对称,所以在上为增函数,故B对;对于C,由奇函数在上为增函数,则时,,解得,(舍去),即,所以不等式,转化为,又在上为增函数,得,解得,所以不等式的解集为,故C对;对于D,当时,,当时,不恒大于0,故D错;故选:BC【点睛】方法点睛:考查了解抽象不等式,要设法把隐性划归为显性的不等式求解,方法是:(1)把不等式转化为的模型;(2)判断函数的单调性,再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉,得到具体的不等式(组)来求解,但要注意奇偶函数的区别.考查了利用奇偶性求函数解析式,求函数解析式常用的方法:(1)已知函数类型,用待定系数法求解析式;(2)已知函数奇偶性,用奇偶性定义求解析式;(3)已知求,或已知求,用代入法、换元法或配凑法;(4)若与或满足某个等式,可构造另一个等式,通过解方程组求解; 三、填空题13.函数的定义域为___________.【答案】【分析】根据被开方数不小于零,分母不为零列式计算即可.【详解】由已知得,解得且故函数定义域为.故答案为:.14.已知集合,若,则实数的值为________.【答案】1【分析】由可得,列式计算并借助集合元素的互异性判断作答.【详解】在集合中,且,即且,因,则,于是得,而,因此,所以实数的值为1.故答案为:115.设函数,则满足的的取值范围是___________.【答案】【分析】分段函数不等式问题,可以结合图像或通过分类讨论解决﹒【详解】f(x)如图所示:当时,函数单调递增,则,要使,则或,解得或,即.故答案为:16.已知,,且,则的最小值为______.【答案】5【解析】首先利用条件变形,展开后利用基本不等式求最小值.【详解】 ,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为5.故答案为:5【点睛】关键点点睛:利用“1”的变形,是本题的关键,. 四、解答题17.计算:(1)(2)【答案】(1)2;(2).【分析】利用对数和指数幂运算公式计算即可.【详解】(1)原式=.(2)原式=.18.已知.(1)用定义证明在区间上是增函数;(2)求该函数在区间上的最大值与最小值以及取最值时的值.【答案】(1)证明见详解;(2),.【分析】(1)用单调性定义证明,任取,,且,然后证明;(2)由(1)的单调性易得最值.【详解】(1)任取,,且,则.∵,∴,,∵,即,故函数在区间上是增函数.(2)由(1)知函数在区间上是增函数,∴,.19.已知集合.(1)当时,求;(2)若________,求实数的取值范围.(注:从①;②;③“x∈A”是”x∈B”的必要不充分条件.这三个条件中任选一个,补充在上面的问题横线处,并进行解答,如果选择多个条件进行解答,则按照选择的第一个计分.)【答案】(1),(2)条件选择见解析, 【分析】(1)当时,,结合交并补的混合运算求解即可;(2)若选①,,则,结合边界值建立不等式即可求解;若选②,化简得,或,再结合边界值建立不等式即可求解;若选③,“”是“”的必要不充分条件,则,再结合边界值建立不等式即可求解.【详解】(1)当时,,又,所以,或,所以;(2)若选择①,则,因为,所以,解得.所以实数的取值范围为;若选择②,因为,且或,所以,解得.所以实数的取值范围为;若选择③“”是“”的必要不充分条件,则,因为,,所以,解得.所以实数的取值范围为;20.在城市旧城改造中,某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排宽的绿化,绿化造价为元,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为元.设矩形的长为()(1)将总造价(元)表示为长度的函数:(2)如果当地政府财政拨款万元,不考虑其他因素,仅根据总造价情况,判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地?【答案】(1),(2)仅限最低造价情况,能够修建起该市民休闲锻炼的场地 【分析】(1)由题干直接列式;(2)根据不等式可得,进而可判断是否能够修建起该市民休闲锻炼的场地.【详解】(1)解:由矩形的长为,则矩形的宽为,则中间区域的长为,宽为,则定义域为,则,整理得,.(2)解:,当且仅当时取等号,即.所以当时,总造价最低为万元万元.故仅限最低造价情况,能够修建起该市民休闲锻炼的场地.21.已知函数,.(1)若对任意的恒成立,求实数m的取值范围;(2)若在上单调递减,求实数m的取值范围;(3)解关于x的不等式.【答案】(1)2(2)(3)答案见解析 【分析】(1)由条件可得,解出即可;(2)由的开口方向和对称轴可建立不等式求解;(3)由得:,然后分 、、 三种情况解出不等式即可.【详解】(1)因为对任意的恒成立,则判别式即所以(2)因为函数的图象为开口向上的抛物线,其对称轴为直线由二次函数图象可知,的单调递减区间为因为在上单调递减,所以所以(3)由得:由得或①当时,不等式的解集是②当时,不等式的解集是③当时,不等式的解集是综上,①当时,不等式的解集是②当时,不等式的解集是③当时,不等式的解集是22.对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.已知函数.(1)当时,求函数的不动点;(2)若对任意实数n,函数恒有两个相异的不动点,求实数m的取值范围;(3)若的两个不动点为,且,当时,求实数n的取值范围.【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)由,得到,再利用不动点的定义求解;(2)根据恒有两个不动点,转化为恒有两个不等实根,利用判别式求解;(3)由题意得到,进而得到,利用对勾函数的性质求解.【详解】(1)解:当时,,设为不动点,因此,解得或,所以为函数的不动点.(2)因为恒有两个不动点,即恒有两个不等实根,整理为,所以且恒成立.即对于任意恒成立.令,则,解得.(3)因为,所以,设,因为,所以,由P函数性质得在上单调递增,所以,所以,所以.
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