2022-2023学年江苏省南京市第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市第一中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知且，若集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的定义求解即可【详解】因为集合，且，所以，故选：C2．命题“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由“改量词，否结论”，可得答案.【详解】由“改量词，否结论”,命题“”的否定是“”.故选：C3．已知，若，则的大小关系为（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出的范围，即可判断的大小关系.【详解】当时，，故，故选：B.4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆的半径为，根据勾股定理可求得的值，求出，利用扇形的弧长公式可求得结果.【详解】设圆的半径为，则，，由勾股定理可得，即，解得，所以，，，所以，，故，因此，.故选：B.5．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数函数的初等函数的单调性和奇偶性，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数为奇函数，不符合题意；对于B中，函数的定义域为，且，所以为偶函数，当时，函数为单调递增函数，符合题意；对于C中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于D中，当时，函数单调递减函数，不符合题意.故选：B.6．已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由利用韦达定理可得，代入所求不等式解不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，所以即，不等式等价于，解得.故选：A.7．函数的图象如图所示，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可判断的范围【详解】函数的定义域为，由图可知，则，由图可知，所以，由，得，，由图可知，得，所以，综上，，，，故选：D8．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（      ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先由分段函数值域的求法可得在恒成立，再结合不等式恒成立问题求解即可.【详解】解：由已知有，当时，，即，又函数的值域是，则在恒有，即在恒成立，显然有，即，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了对数不等式恒成立问题，属中档题. 二、多选题9．下列给出的各角中，与终边相同的角有（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】利用终边相同的角的定义判断.【详解】A. 因为，故正确；B. 因为，故正确；C. 令，解得，故错误；D. 因为，故正确；故选：ABD10．已知，则（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】取特殊值可说明A错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C的对错；利用作差法可判断D的对错.【详解】对于A，取 满足，但，故A错；对于B，是定义域上的增函数，故时，有成立，故B正确；对于C, ,故，故C正确；对于D，，故，故D正确，故选：BCD.11．下列说法正确的是（    ）A．若，则函数有最小值B．若，则的最大值1C．若，则函数的最大值为4D．若，则的最小值为4【答案】BD【分析】对于A、C，利用基本不等式，可得答案；对于B，利用基本不等式，建立不等式，结合二次不等式，可得答案；对于D，根据基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，由，则，当且仅当时等号成立，即，整理可得，解得，故B正确；对于C，由，则，即，当且仅当，即时等号成立，故C错误；对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：BD.12．已知函数，对于任意，则A．的图象经过坐标原点 B．C．单调递增 D．【答案】ABD【分析】对于A，令可判断，对于B，分别令和化简计算即可，对于C，利用单调的定义判断，对于D，令进行判断【详解】对于A，令，则，得，所以的图象经过坐标原点，所以A正确，对于B，令，则，再令，则，所以B正确，对于D，令，则，因为，所以，所以D正确，对于C，任取，且，由D选项可知，所以，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以C错误，故选：ABD 三、填空题13．函数的图象恒过定点___________.【答案】(-2,1) 【分析】根据对数函数的恒等式，可得答案.【详解】当时，，故答案为：.14．函数的定义域为________.【答案】【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故答案为.15．已知角的终边经过点，且．则的值为_________【答案】【分析】根据三角函数定义即可求解．【详解】由于角的终边经过点，所以，得所以故答案为：16．已知正实数、满足，则的最小值为________．【答案】【分析】分析可得，再利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为正实数、满足，即，由基本不等式可得，当且仅当时， 等号成立，故的最小值为.故答案为：. 四、解答题17．设命题：实数满足，其中.命题：实数满足.（1）当时，命题，都为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，化简命题，，然后根据两个命题都为真求解.（2）化简命题：，：，根据是的充分不必要条件，由求解.【详解】（1）时，：，：， 因为，都为真，所以；（2）时 ：，：，因为是的充分不必要条件，所以，则或，解得或，所以实数的取值范围是．18．（1）已知，求和的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）或；（2）【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方关系，建立方程，可得答案；【详解】（1）由同角三角函数的商式关系，则，即，由同角三角函数的平方关系，则，即，解得，由，可得，即可得或.（2）由，则，即，.19．求函数的值域.【答案】【分析】根据对数运算化简函数，利用换元法，结合对数函数的性质以及二次函数的性质，可得答案.【详解】，由，则，令，即，则，易知在上的值域为，故函数在上的值域为.20．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，，且投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元千克（即16百元百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．（1）求利润的函数解析式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为6.5百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是百元．【解析】（1）由题意分段求出利润的函数解析式，即可得解；（2）按照、分类，结合基本不等式、二次函数的性质即可得解.．【详解】（1）由题意，，化简得：；（2）①当时，，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最大值43；②当时，，所以当时，取得最大值，最大值为；综上所述，当时，取得最大值，故当投入的肥料费用为6.5百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是百元．21．已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数在上单调递增；证明见解析；（3）.【解析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求的值；（2），可判断在上单调递增，再利用函数单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.【详解】（1）因为是奇函数，所以，即，∴，经检验时，是上奇函数；（2），则在上单调递增.证明如下：任取且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.（3）又因为是上奇函数，所以，等价于，即，因为为上增函数，则对一切恒成立，即恒成立，①显然成立，②，解得.综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点晴：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，且时，则有且；若函数在区间上单调递减，且时，则有且；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.22．已知，且．(1)若，求的值；(2)求的最小值．【答案】(1)或2(2) 【分析】（1）由对数的运算得，解方程可得答案； （2）由得，解不等式得，根据可得答案.【详解】（1）由题意，，即，解得或2．（2）因为，所以，所以，因此，即，解得或，因为，所以，故，当时取等号，所以的最小值为．