2022-2023学年江西省部分名校高一上学期12月大联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省部分名校高一上学期12月大联考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题“存在”，符号，其否定为全称命题，符号为，“”的否定为“”， 即可选出答案.

【详解】解：该命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，

即命题“，”的否定是“，”，

故选：D.

2．若全集，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的基本运算即可求解.

【详解】由题意得，所以.

故选：B.

3．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理，分别计算区间端点处的函数值即可.

【详解】由题意得的图象是一条连续不断的曲线，且是减函数；

对于A，，即区间上不存在零点；

对于B，，即区间上不存在零点；

因为，所以，满足零点存在定理；

所以零点所在的区间是.

故选：C.

4．年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由推出关系可确定结论.

【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，

“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.

故选：A.

5．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出二次函数对称轴，由函数单调区间和对称轴关系即可求解.

【详解】因为的图象开口向上，且关于直线对称，所以在上单调递增，所以.

故选：C

6．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式判断奇偶性排除B，再由函数值的符号可排除AD，即可得解.

【详解】因为定义域为，关于原点对称，

且，

所以函数为偶函数，故排除B选项，

令可得，当或时，，故排除AD.

故选：C

7．已知某种药在病人血液中的量不低于900mg才有疗效，现给某病人静脉注射了3000mg该种药若该种药在血液中以每小时19%的比例衰减，经过n小时失去疗效，则n（    ）（参考数据lg3≈0.477）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】由对数的运算以及对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】由题意可知，即，两边取对数可得，，即经过小时失去疗效.

故选：B

8．已知是定义域为的奇函数，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用函数的解析式和奇偶性判断函数的单调性，然后利用函数的解析式可知，然后利用函数的单调性建立不等式，然后参变分离求最值即可.

【详解】由题意得在上单调递增，因为是定义域为的奇函数，所以在上单调递增.

因为，所以，

所以，得，即恒成立.

因为，所以，即的最小值是.

故选:B

二、多选题

9．已知函数的图象如图所示，若幂函数和函数 的图象恰有2个公共点，则的解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】在同一直角坐标系中，分别根据选项画出的图象，由交点个数即可求解.

【详解】对于A：画出的图象，当时，，

点在的图象的上方，

通过图象得有2个交点，所以A正确；

对于B：不是幂函数，故不符合；

对于C：画出的图象，当时，，

点在的图象的上方，且，

故通过图象得有2个交点，所以C正确；

对于D： 画出的图象，在上单调递增，

通过图象得有1个交点，不符合.

故选：AC

10．已知f（x）为奇函数，函数   若则（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】AC

【分析】由为奇函数，得，分别令，，即可求解.

【详解】因为为奇函数，，所以，

令，有，故A正确，

令，有，即，解得，故B错误，

所以，故C正确，

令，有，故D错误，

故选：AC.

11．若则（    ）

A．a>c B．c>d C．b>d D．a>b

【答案】ABD

【分析】利用指数函数、对数函数单调性，结合，，，，作为分界即可比较出大小关系.

【详解】由指数函数、对数函数对应单调性可知

，即，

，即，

，即，

，即，

综上所述：，

故选：ABD.

12．已知函数，则（    ）

A．的值域为

B．在上单调递增

C．对任意恒成立

D．函数有6个零点

【答案】BCD

【分析】对于AB，根据分段函数的解析式作出图像，结合图像分析即可；

对于C，分类讨论与两种情况，结合解析式或图像即可判断；

对于D，将问题转化为的图象与图象的交点个数，结合图像即可得解.

【详解】当时，，利用二次函数的性质可作出该图像；

当时，，可知在上的图像是在上的图像，每间隔的周期，横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，由此作出的图象如图所示，

对于AB，由图像易得的值域为，在上单调递增，故A错误，B正确；

对于C，当时，，

则，得或，故或，

即当时，恒成立；

当时，恒成立；

综上：对任意恒成立，故C正确；

对于D，的零点个数等于的图象与图象的交点个数，

的图象如图所示，因为，

所以的图象与的图象有6个交点，故D正确.

故选：BCD.

.

三、填空题

13．若函数且的图象过定点，则的坐标为__________.

【答案】

【分析】由可得定点坐标.

【详解】，恒过定点.

故答案为：.

14．若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式： _________.

【答案】，（或或等，答案不唯一）

【分析】构造出，分别计算与的定义域和值域，使得其满足定义即可.

【详解】的定义域为R，因为，所以，所以的值域为，

，则的定义域为，因为，所以，所以的值域为，

所以与的值域相同，定义域不同，所以与是“同象函数”.

故答案为：（答案不唯一）.

15．已知，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】由，利用基本不等式求解.

【详解】解：由，得，

所以8，

当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：8

16．已知是定义域为R的函数，且，，且，则=_________，

【答案】

【分析】根据已知条件可得函数的周期为10，然后利用周期结合可求得结果.

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以的周期为10，

因为，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．（1）若，求的值；

（2）求值：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据指数的运算可得答案；

（2）根据对数的运算可得答案

【详解】（1）

；

（2）原式

.

18．已知集合.

(1)若，求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据集合交集的运算解决即可；（2）由，得，分，

讨论解决即可.

【详解】（1）由，得，

所以.

当时，，

所以.

（2）由，得.

当时，，得.

当时，

得.

综上，的取值范围为.

19．某公司有两种活期理财产品，投资周期最多为一年，产品一：投资1万元，每月固定盈利40元.产品二：投资1万元，前个月的总盈利（单位：元）与的关系式为，已知小明选择了产品二，第一个月盈利10元，前两个月盈利30元.

(1)求的解析式;

(2)若小红有1万元，根据小红投资周期的不同，探讨她在产品一和产品二中选择哪一个能获得最大盈利.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）待定系数法解决即可；

（2）根据投资周期不同两种产品的的收益不同，比较即可；

【详解】（1）由题知，，，

所以，解得，

所以的解析式为，；

（2）由（1）得，

由题知，投资产品一：投资1万元，每月固定盈利40元，设总盈利为函数，元，

投资产品二：收益为元，

当时，解得，

当时，解得，

当时，解得，

所以小红的1万元投资周期小于7个月，选产品一获得最大盈利；

小红的1万元投资周期为7个月，选产品一或产品二获得最大盈利相同为280元；

小红的1万元投资周期大于7个月，选产品二获得最大盈利；

20．如函数.

(1)求的定义域.

(2)从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，按第一个解答计分.

①求不等式的解集.

②求的最大值.

【答案】(1)

(2)选①，，或；选②，4

【分析】(1)对数函数要满足真数大于0，列方程组即可求得定义域.

(2)若选①，化简不等式，利用对数函数的单调性可求得不等式的解集.若选②，利用对数加法运算法则，求复合函数的最大值，即求真数所在函数的最大值，代入即可求得的最大值.

【详解】（1）由题意，，解得，所以的定义域为.

（2）选①，不等式，即，所以

，即，则，

化简为，解得，或

所以原不等式的解集为，或.

选②，因为函数的定义域为，所以函数，其中，

令函数，，因为，要使函数有最大值，

则只需要函数有最大值，且为正数，，

因为，所以当时，有最大值，，

所以的最大值为.

21．已知函数.

(1)求的值域；

(2)若正数满足，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用指数函数的值域与不等式的性质即可求得的值域；

（2）先由指数运算法则得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值.

【详解】（1）因为，所以，

则，所以，即，

故的值域为.

（2）由，化简整理得，

得，即，

由，得，得，

所以，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，则的最小值为1.

22．已知函数，且是偶函数.

(1)求的值；

(2)若，函数，讨论零点的个数.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用偶函数的定义求解；

（2）根据题意利用换元法将转化为二次函数讨论零点个数.

【详解】（1）由题意得的定义域为，所以，

得，得，

经检验，时，

，即符合题意.

（2）由题意得，

令函数，任取，则，

因为，所以，得，

则，

所以，即，

所以在上单调递增，

又是增函数，所以在上单调递增，

又为偶函数，则在上单调递减，.

令，则，

设函数，

令，则或.

当，即时，没有零点，即没有零点.

当，即时，有1个零点，即有1个零点.

当即时，有1个零点，即有2个零点.

当，即时，有2个零点，即有3个零点.

当，即时，有2个零点，即有4个零点.