2022-2023学年辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则中元素的个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】首先求，再确定集合中的元素个数.

【详解】因为，，所以，有3个元素.

故选：A

2．命题p：，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】根据全称命题的否定是特征命题进行解答即可.

【详解】因为命题：，，所以为：，.

故选：C.

3．《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位高中数学教材中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱问合伙人数、羊价各是多少？（    ）

A．21、105 B．21、150 C．24、165 D．24、171

【答案】B

【分析】设合伙人数、羊价各为，根据题设列一元一次方程组求解即可.

【详解】设合伙人数、羊价各为，则，解得.

故选：B.

4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】抽象函数定义域问题，要注意两点，一是定义域是指的取值范围，二是同一对应法则下，括号内对应的取值范围相同.

【详解】函数的定义域是，故，

所以，故，

解得：.

故选：D

5．已知函数是偶函数，它在上单调递增，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由函数是偶函数，它在上单调递增，可得在上单调递减，再将自变量转化到上，再比较大小即可

【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，

所以在上单调递减，

因为函数是偶函数，所以，

因为在上单调递减，且，

所以，即，

故选：C

6．设，则的值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【分析】由分段函数的性质，计算出函数值.

【详解】，

又，

故的值为11.

故选：D

7．已知函数在R上单调递减，则的单调递增区间为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，在定义域内找到函数内层函数的递减区间即为答案．

【详解】令所以函数的定义域为

根据复合函数的单调性：同增异减,要找的单调递增区间，即找函数的单调递减区间为,

故选C

【点睛】本题考查复合函数的单调性：同增异减．需要注意的是定义域优先原则．属于基础题．

8．若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围

【详解】解：，

当时，在上单调递增，

所以，此时，

当时，由，

当且仅当，即 时取等号，

因为在上单调递增，

若的值域为，则有，即，则，

综上，，

所以实数的取值范围为

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题

二、多选题

9．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BD

【解析】两个函数要是同一个函数，只要定义域相同，对应关系相同即可

【详解】解：对于A，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于B，，的定义域都为，而，与的对应关系相同，所以，是同一个函数；

对于C，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；

对于D，，的定义域都为，而，，所以，是同一个函数，

故选：BD

10．下列选项中，说法正确的是（    ）

A．命题：“，是增函数”的否定为“，是减函数”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若，，则

D．若，，则

【答案】BC

【分析】A根据命题的否定判断，B根据一元二次方程的解来判断，C不等式性质可加性判断，D赋值判断即可.

【详解】对于A，命题：“，是增函数”的否定为“，不是增函数”，故A错误；

对于B，“”时“”成立，但时，或，故B正确；

对于C， ，，所以，所以，故C正确；

对于D，当时，不成立，D错误.

故选：BC.

11．已知函数，则（    ）

A．是奇函数 B．在R上单调递增

C．函数的值域是 D．方程有两个实数根

【答案】ACD

【分析】对,对于任意，，故正确；

对当时，为单调递减函数，又因为函数为奇函数，所以函数在R上单调递减，故错误；

对,当时，．当时，，又因为函数为奇函数，函数的值域为，故正确；

对,当时，是方程的解，当时， 在有一个正根．故正确．

【详解】对,对于任意，，故正确；

对对于函数，当时，，

所以为单调递减函数，又因为函数为奇函数，

所以函数在R上单调递减，故错误；

对,当时，．

当时，，

∵，∴，

又因为函数为奇函数，函数的值域为，故正确；

对,当时，方程显然成立，所以是方程的解，

当时，方程，

即在有一个正根．故正确．

故选：ACD

【点睛】本题主要以函数为载体，考查函数的单调性、值域、奇偶性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．已知函数（）有且只有一个零点，则（    ）

A．

B．

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得，的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．

【详解】根据题意，函数有且只有一个零点，必有，即，，

，时，等号成立，即有，故A正确；

，当且仅当时，取得等号，故B正确；

由，为方程的两根，可得，故C错误；

由，为方程的两根，可得，，

则，

解得，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．已知函数，则______.

【答案】

【解析】利用换元法可求的解析式，将代入即可求的值.

【详解】令，则，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法

（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；

（2）换元法：主要用于解决已知复合函数的表达式求的解析式的问题，令，解出，然后代入中即可求得，从而求得，要注意新元的取值范围；

（3）配凑法：配凑法是将右端的代数式配凑成关于的形式，进而求出的解析式；

（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.

14．已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】由于为上的增函数，可得在每一段上都为增函数，且，从而可求出实数的取值范围

【详解】解：因为函数为上的增函数，

所以且，

解得，

所以实数的取值范围为，

故答案为：

15．已知，则的最小值是_______．

【答案】9

【分析】根据已知可将变形为，展开可得，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】，

当且仅当时取等号，故的最小值是9.

故答案为：9.

16．已知函数，且不等式无解，求实数的取值范围______．

【答案】

【分析】不等式无解即是在定义域内恒成立，即可列式解出范围.

【详解】不等式无解即是在定义域内恒成立

若在定义域内恒成立，则需满足，解得

若，不能在定义域恒成立。

故答案为：

四、解答题

17．已知全集，集合，

(1)用列举法表示集合与；

(2)求及.

【答案】(1)，3，，，

(2),

【分析】（1）列举出与即可；

（2）求出与的交集，以及与并集的补集即可．

【详解】（1）因为，，

所以，3，，，；

（2）由（1）可得：；，2，3，，

全集，1，2，3，4，5，，

，5，．

18．已知函数.

(1)当a=2，时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数在上的最大值为，求实数的值.

【答案】(1).

(2)或.

【分析】（1）通过判断对称轴与区间的关系，即可求出函数最值，从而可求函数的值域.

（2）通过讨论对称轴与区间中点的大小关系，从而可求出函数的最大值，根据最大值为，即可求出实数的值.

【详解】（1）当a＝2时，，，

因为其对称轴为x＝，

所以，，

所以函数f(x)的值域为.

（2）∵函数f(x)的对称轴为.

①当，即时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

所以6a＋3＝1，即，满足题意；

②当，即时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．

综上可知，或a＝－1.

19．已知，其中．

(1)若，且，都是真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求解分式不等式和二次不等式，结合命题的真假，即可求得结果；

（2）根据题意列出满足的不等式求解即可.

【详解】（1）由得，即，解得：；

当时，，解得：；

因为命题都是真命题，故可得，解得：；

故的取值范围为.

（2）由（1）知，，，

因为，故；

因为是的充分不必要条件，故，且两个等号不能同时取得，解得，

故实数的取值范围是.

20．已知函数是定义域上的奇函数.

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明：在区间上是减函数；

（3）解不等式.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式；

（2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论；

（3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.

【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则，

即，化简得，因此，；

（2）任取、，且，即，

则，

，，，，，，.

，，因此，函数在区间上是减函数；

（3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数，

由得，所以，解得.

因此，不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.

21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.

(1)求函数在上的解析式；

(2)若对所有，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；

（2）由二次函数的性质可得函数的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数的取值范围．

【详解】（1）因为函数为定义域上的奇函数，所以，

当时，，所以，

因为是奇函数，所以，

所以，

所以

（2）作出在区间上的图象，如图：

可得函数在上为减函数，所以的最小值为，

要使对所有，恒成立，

即对所有恒成立，

令，，

则，即，

可得：，

所以实数的取值范围是.

22．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价（元）与时间（元）的函数关系近似满足（为正实数）．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

(1)求的值；

(2)给出以下两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；

(3)在（2）的情况下，求该商品的日销售收入（元）的最小值．

【答案】(1)

(2)选②，，

(3)

【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出；

（2）当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，代入，，待定系数法求出解析式；

（3）求出，当时，由对勾函数得到其单调性，从而求出最小值，当时，由函数单调递减求出最小值，比较后得到的最小值.

【详解】（1）由题意得：第10天该商品的日销售收入为，

解得：，

（2）由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，

∵，，，

∴，

解得：，

∴，；

（3）由（2）可知：，

所以

当时，由对勾函数知在上递减，在上递增，

所以当时，取最小值，，

当时，在上递减，

所以当时，取最小值，，

综上：所以当时，取最小值，.