2022-2023学年内蒙古自治区包头市第九中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古自治区包头市第九中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，然后利用交集的定义运算即得.

【详解】由题可知，

所以.

故选：A．

2．已知，集合，，若有三个元素，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由有三个元素可判断，结合集合的互异性排除不合理数值，再求即可

【详解】因为集合，，若有三个元素，则且，解得.此时，故选C.

【点睛】本题考查根据集合的并集求解参数，进而求解两集合交集问题，解题易错点为忽略集合的互异性

3．已知､､，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若且，则 D．若且，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】对于选项A，当为0时不成立；

对于选项B，当为负数是不成立；

对于选项C，由且可得，所以故C正确；

对于选项D，若且说明同号，当为正数时不成立.

故选：C

4．如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】先用去绝对值法解出不等式的解集，说明包含在不等式的解集中，找出边界的大小关系可得答案.

【详解】

不等式成立的充分不必要条件是，说明

不等号不能同时取到，解之：，检验一下左右等号命题成立.

故选：B

5．不等式组的解集为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：，所以不等式的解集为

【解析】不等式解法

6．下列四个函数中，与函数是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】从对应关系与定义域两方面同时判断，均相同的即为同一个函数.

【详解】A选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数；

B选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数；

C选项，等价于，与原函数是同一函数；

D选项，等价于，与原函数对应关系不同，不是同一函数.

故选：C.

7．若集合为空集，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】题意说明不等式无实解，分类讨论和两种情况．

【详解】由题意不等式无实解，

时，不等式为，不成立，无实解．

时，，解得，

综上，．

故选：D.

【点睛】本题考查不等式恒不成立问题，即不等式无实解．注意要对最高次系数分类讨论．

8．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．

【详解】解：因为函数是上的增函数，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故选：C.

二、多选题

9．已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】BCD

【分析】根据分段函数解析式，结合对勾函数的性质判断上单调性、值域，再讨论、结合二次函数的性质判断上的单调性和值域，最后根据题设求a的范围，即可确定正确选项.

【详解】由题设，，

根据对勾函数的性质：在上递减且值域为，在上递增且值域为，

当时，在上递减且值域为，在上递增且值域为，

∴此时，，显然不是最小值，不合题设；

当时，在上递减且值域为，

∴此时，要使是最小值，则，可得.

∴B、C、D符合要求.

故选：BCD

10．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的解集为或

【答案】ABC

【分析】根据题意可得且的根为，利用韦达定理可得，分别代入计算判断正误．

【详解】根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知，A正确；

的根为，则，即

∴，B正确；

，C正确；

，即，则，解得

∴的解集为，D错误；

故选：ABC．

三、填空题

11．已知,则函数的最小值为__________.

【答案】

【详解】 ,则函数 ，当且仅当 时，函数取得最小值，最小值为 ，故答案为.

【易错点晴】利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

12．若函数，则_________.

【答案】3

【分析】先设进行换元，求出的解析式，再求出的解析式，即可求出的值.

【详解】设，则

所以

所以

故

故答案为：3

13．用篱笆围成一个面积为的矩形菜园，则最少需要篱笆的长度为___________．

【答案】40

【分析】设出矩形的边长，表示出面积和周长，由基本不等式求出最小值即可.

【详解】设矩形菜地的边长为，则，矩形的周长为 ，

当且仅当时，等号成立，所以最少需要篱笆的长度为.

故答案为：40.

14．某班共有30名学生，在校运会上有20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，则两项都参加的人数为________.

【答案】5

【分析】设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，根据题意，可得、、中元素的数目，由集合间元素数目的关系计算可得答案.

【详解】根据题意，设参加赛跑项目为集合，参加跳跃项目为集合，

可得，（B），，

所以（A）（B），

所以两项都参加的有5人.

故答案为：5.

15．若关于的一元二次方程有两个不相等的负实根，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由根与系数的关系列方程组，即可解得.

【详解】不妨设一元二次方程有两个不相等的负实根，

所以，解得：.

所以实数的取值范围是.

故答案为：

16．函数的值域为__________．

【答案】

【分析】设，可知，将问题转化为关于的二次函数值域的求解问题，根据二次函数性质可求得结果.

【详解】函数，，

令，则，且，

得，，

当时，函数有最大值，

当时，函数有最小值

所以值域为.

故答案为：

17．设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是__________．

【答案】

【分析】根据偶函数性质,将转化为,再根据图象,写出的范围,进而求出解集即可.

【详解】解:由题知为偶函数,

,

,

即,

由时,的图象可知,

若,即,

即到原点的距离大于2小于等于5的数,

故解得:.

故答案为:

18．若函数y = f（x）为偶函数，且在（0， + ）上是减函数，又f（1） = 0，则的解集为_______

【答案】

【分析】根据题意作出函数的图象，如图，利用函数的奇偶性将不等式化简，结合图象即可求出不等式的解集.

【详解】由题意知，作出符合条件的函数图象，如图，

由函数为偶函数，得，

即，结合图象可知，

当x>0,时，f(x)<0，则x>1；

当x<0时，f(x)>0，则-1<x<0，

所以的解集为.

故答案为：

四、解答题

19．已知集合．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值集合．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.

（2）根据对进行分类讨论，从而求得的取值范围.

【详解】（1）依题意，

当时，，

所以.

（2）由解得，，

若，则，，符合题意.

若，由于，所以.

综上所述，实数的取值集合为.

20．已知，求各自的取值范围．

【答案】，，，，.

【分析】根据不等式的性质可求的范围.

【详解】因为，故.

而，故，

但，故，故.

而，故，但，

故.

又，而，故.

21．已知恒成立.

(1)求a的取值范围；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据二次项系数是否为零，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可；

（2）根据一元二次方程两根的大小分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）因为恒成立，

①当时，恒成立；

②当时，要使恒成立.则且，

即，解得：.

综上，a的取值范围为：；

（2）由，得.

因为：，

①当，即时，则；

②当，即时，，不等式无解；

③当，即时，则.

综上所述，当时，解集为；

当时，解集为；当时，解集为.

22．已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）求使成立的实数a的取值范围.

【答案】（1），为增函数，证明见解析；（2）[0，1).

【解析】（1）利用和可求出，，然后利用单调性的定义可得的单调性；

（2）利用的奇偶性可将不等式化为，然后利用其单调性去掉即可解出答案.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，

即，则，

所以，又因为，得，所以，.    

设且，则

，

，，在上是增函数

（2）由（1）知，在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，得，

，

即，解得.

故实数的取值范围是[0，1).

23．为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

【答案】（1）时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）当时，该单位每月不亏损.

【分析】(1) 二氧化碳的每吨平均处理成本为,由均值不等式求得结果；（2）结合二次函数的性质以及题意得到结果.

【详解】（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为

因为，当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低;

（2）设该单位每月获利为S（元），则

即 ,

由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损.

【点睛】本题考查函数模型的构建，考查学生的阅读能力，考查解不等式，同时考查基本不等式的运用，建立函数模型是关键．