2022-2023学年山东省济南市济南第三中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省济南市济南第三中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求得集合，然后求得.

【详解】，解得或，

所以，

所以，.

故选：D

2．“角小于”是“角是第一象限角”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用特殊值法结合充分、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若角小于，取，此时，角不是第一象限角，

即“角小于”“角是第一象限角”；

若角是第一象限角，取，此时，，

即“角小于”“角是第一象限角”.

因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3．若，，，则（       ）

A．  B．

C． D．  

【答案】A

【分析】根据题意，借助中间量比较大小即可.

【详解】解：因为

所以.

故选:A.

4．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合函数零点的存在性定理即可得出结果.

【详解】因为是连续的减函数，

，

，，，

有，所以的零点所在的区间为．

故选：C

5．已知，则下列命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】A项，由c＝0时判断；B项，由c<0时判断；C项，根据a>b，ab<0，利用不等式的乘法性质判断；D项，根据a>b，ab>0，利用不等式的乘法性质判断.

【详解】A项，c＝0时不成立；

B项，c<0时不成立；

C项，因为a>b，ab<0，所以<，即，正确；

D项，因为a>b，ab>0，所以a·ab>b·ab，即a2b>ab2，不成立．

故选：C

【点睛】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题.

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】判断函数的奇偶性，排除AB，再由特殊值排除C，即可得解.

【详解】因为，，

所以，

故函数是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除AB，

当时，，排除选项C，

故选：D

7．某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加10％，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（参考数据：=1.77，=1.95，=2.14，=2.36）（    ）

A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年

【答案】C

【分析】设第年开始超过200万元，则，进而得，再结合已知数据求解即可.

【详解】解：设第年开始超过400万元，

则，即

因为=1.95，=2.14，

所以当，即年时，该公司全年投入的研发资金开始超过400万元

故选：C

8．设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.

【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增；

时，且递减；时，且递增；

∴的图象如下：有四个实数根，，，且，

由图知：时有四个实数根，且，又，

由对数函数的性质：，可得，

∴令，且，

由在上单增，可知，

所以

故选：A

二、多选题

9．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由已知可得，A项正确，，，代入即可判断B、C、D项.

【详解】因为，，所以，

，，

则，，

则.

由上述解析，可知ABD正确，C项错误.

故选：ABD.

10．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（    ）

A．若角的终边过点且，则

B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角

C．若在单调递减，则

D．设角为锐角（单位为弧度），则

【答案】AD

【分析】A由终边上的点可得即可求m值；B由题设，进而求的范围即可知所在的象限；C利用对数复合函数的单调性，结合单调区间求参数范围；D利用单位圆确定所代表的长度，即可比较大小.

【详解】A：，易知且，则，正确；

B：，则，可知为第一象限或第三象限角，错误；

C：由，当时，上递增，上递减；当时，上递减，上递增；而在上递减，则且，可得，故错误；

D：如下图，单位圆中，显然，正确；

故选：AD

11．已知函数，且，则（    ）

A．

B．为非奇非偶函数

C．函数的值域为

D．不等式的解集为

【答案】ACD

【分析】由求得可判断A；利用奇偶性定义可判断B；由的范围可得的范围，可判断C；利用的单调性可判断D.

【详解】，求得，A正确；

时，，

∵，∴为奇函数，B不正确；

∵，∴，∴，，

∴，C正确；

，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，

所以是上单调递增函数，

∴，

∴，∴，∴解集为，D正确.

故选：ACD.

12．已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】注意到，又可得

在单调递增，则有，后由零点存在性定理可得范围.，之后判断各选项正误即可得答案..

【详解】，

又函数的零点为，则，其中.

，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点.

又，得.

注意到，，

则，且.

对于A，因，，

则，故A正确.

对于B，因，则.

令.在上单调递减，

则，得在上单调递增.

则，即，故B错误.

对于C选项，因，，则，故.

则由基本不等式结合有：，故C正确.

对于D选项，因，则，由C选项分析可知.

则令，.

得在上单调递增，故，即.故D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题涉及函数零点，构造函数证明不等式，需注意以下两点:

（1）若题目中同时出现与，常通过使出现相同结构.

（2）对于双变量问题，常利用消元思想转化为关于一个未知数的问题.

三、填空题

13．已知函数(且)的图像经过定点A，且点A在角的终边上，则_____________.

【答案】

【分析】求出指数型函数f(x)经过的定点A，根据三角函数的定义即可求出式子的值.

【详解】令，则，

故，∵A在的终边上，∴，

∴.

故答案为：.

14．已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________.

【答案】

【分析】设圆的半径为，根据圆心角与弦长、半径关系求，再由弧长公式求圆心角所对的弧长.

【详解】若圆的半径为，则，可得，

∴圆心角所对的弧长.

故答案为：

15．已知a、b均为正数，且a＋4b＝ab，则a＋b的最小值为______．

【答案】

【分析】由已知可得，再由展开利用基本不等式可求．

【详解】，，

，

当且仅当时等号成立，即的最小值为.

故答案为：．

16．有以下结论：

①若函数对任意实数都有，则图象关于直线对称；

②函数与的图象关于直线对称；

③对于函数（，且）图象上任意两点，，一定有；

④是使得（且）成立的充分不必要条件.

其中正确结论的序号为_________.

【答案】①②③④

【解析】①用替换可得，可得①正确；

②根据函数与函数的图象关于直线对称可知②正确；

③利用指数幂的运算性质以及基本不等式可知③正确；

④根据或可知④正确.

【详解】①因为函数对任意实数都有，所以，即，所以图象关于直线对称，故①正确；

②因为函数，函数，且函数与函数的图象关于直线对称，所以函数与的图象关于直线对称，故②正确；

③因为，当且仅当时，等号成立，故③正确；

④因为，当时，，故；当时，，故.所以或，

所以是使得（且）成立的充分不必要条件，故④正确.

故答案为：①②③④

【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

四、解答题

17．计算下列各式的值．

(1)；

(2).

【答案】(1)8；

(2)7.

【分析】(1)根据指数幂的运算性质计算；

(2)根据对数的运算性质计算即可.

【详解】（1）原式；

（2）原式=.

18．已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2

(1)求的最小值；

(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)利用转化为用基本不等式求解；

(2)，根据a＋2b＝2利用基本不等式求出ab范围即可.

【详解】（1）

∵，∴，

当且仅当，即时，等号成立.

∴的最小值为；

（2）∵，

又，∴，故，

当且仅当，即时，等号成立.

故取得最大值.

19．已知，，求下列各式的值.

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由结合条件可知是第四象限角，从而，由此可知，再利用平方关系求解即可；

（2）利用条件及（1）的结论求出，再带入原式即可求出结果.

【详解】（1），

，则，

又，则，

由，可得；

（2）由可得，

20．已知函数，x∈[，9].

(1)当a=0时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题意可得，结合定义域，逐步可得函数的值域；

（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.

【详解】（1）当a=0时，，x∈[，9].

∴，，

∴，

∴函数f(x)的值域为；

（2）令，

即函数的最小值为，

函数图象的对称轴为，

当时，，

解得；

当时，，

解得；

当时，，

解得（舍）；

综上，实数a的值为或.

21．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2．

(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?

【答案】(1)

(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

【分析】（1）根据待定系数法可得；

（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得.

【详解】（1）由题意可设，

由图知，函数和的图象分别过点和，

代入解析式可得，

所以

（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，

则，

令，则，

当，即时，，

所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.

22．已知函数对任意的实数m，n都有，且当时，有.

（1）求；

（2）求证：在R上为增函数；

（3）若，且关于x的不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）利用赋值法，令，即可求出求；

（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在上为增函数；

（3）因为，化简可得，根据及在上为增函数，可得对任意的恒成立，令，只需满足即可,利用二次函数的单调性，即可求出结果．

【详解】（1）令，则.

（2）任取，，且，则，.

，

，

在上为增函数.

（3），即，

.

又在上为增函数，

对任意的恒成立.

令，只需满足即可

当，即时，在上递增，因此，

由得，此时；

当，即时，，由得，此时.

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了抽象函数，及其函数的单调性和不等式的解法，着重考查了函数的简单性质和函数恒成立问题等知识点，属于中档题．