山东省烟台市2022-2023学年高一上学期期中学业水平诊断数学试卷

2022-2023学年度第一学期期中学业水平诊断

高一数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知x，，则“x和y均为有理数”是“xy为有理数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A. ， B. ，

C ， D. ，

4. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 若，则.

B. 若，则.

C. 若，则.

D. 若，则.

5. 已知函数，若，则是（    ）

A. 奇函数，在和单调递增

B. 奇函数，在和单调递减

C. 偶函数，在单调递增，在单调递减

D. 偶函数，在单调递减，在单调递增

6. 已知函数，若，则（    ）

A -4 B. -1 

C. -4或-1 D. -4或

7. 定义在R上的函数满足：

①，②，

③，则不等式的解集是（    ）

A. 或 B. 或

C. 或 D. 或

8. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B.

C 或 D. 或

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 满足集合，且，则集合（    ）

A.  B.  

C.  D.

10. 已知函数，，设函数则（    ）

A. 是偶函数

B. 方程有四个实数根

C. 在区间上单调递增

D. 有最大值，没有最小值

11 已知，，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知函数的定义域为R，对任意的实数x，y，有，且当时，，则（    ）

A.

B. 对任意的，恒成立

C. 函数在上单调递增

D. 若，则不等式的解集为

第Ⅱ卷（共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知集合，，则B中元素的个数为______．

14. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．

15. 已知，且，则的最小值为______．

16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，．

①若函数，则的值域为______；

②若函数，则方程所有的解为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知函数的定义域为集合A，集合．

（1）求集合A；

（2）请在下面这两个条件中任选一个，补充在横线处，并给出问题的解答．

①充分条件，②必要条件．

是否存在实数m，使得是的______？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18. 已知是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求解析式；

（2）求不等式的解集．

19. 已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．

（1）求，的解析式；

（2）设，根据定义证明：在上为增函数．

20. 已知某企业原有职工500人，每人每年可为企业创利6.5万元．为应对新冠疫情给企业带来的不利影响，该企业决定实施减员增效策略，分流出一部分职工待岗，待岗人数不超过原有职工的4%，并且每年给每位待岗职工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗职工人数x不超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利万元；当待岗职工人数x超过原有职工2%时，留岗职工每人每年可为企业多创利0.96万元．设该企业实施减员增效策略后，年利润为y（单位：万元）．．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）为使企业的年利润y最大，应安排多少职工待岗？

21. 已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足．

（1）证明：；

（2）著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设．

①证明：；

②已知，求在上的最小值．

22. 给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数．

（1）当，时，求的点；

（2）设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围；

（3）对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围．

答案

1-8 BADDC  AAB  9.AC  10.ABD  11.ACD  12.BCD

13. 3

14.

15.

16.

17.（1）函数有意义，，解得，

所以集合.

（2）选择①：是的充分条件，则，由（1）知，，解得，

所以实数m的取值范围为.

选择②：是的必要条件，则，由（1）知，，解得，

所以实数m的取值范围为．

18.（1）当时，有，而是偶函数，则，

所以函数的解析式是.

（2）依题意，函数在上单调递增，而是偶函数，

由得：，于是得，

即有，整理得：，解得，

所以不等式的解集为.

19.（1）依题意，，因此，

设二次函数，不等式为：，

则是关于x的一元二次方程的两个实根，且，

于是得，即，又，解得，，，

于是得，

所以，.

（2）由（1）知，，

任取，且，

因，有，，，则，因此，

所以函数在上为增函数．

20.（1）依题意，，，即有且，

当待岗人数不超过2%，即时，，

当待岗人数超过2%，即时，，

所以y关于x的函数关系式是.

（2）

当且时，，当且仅当，即时取等号，

当时，为减函数，而，则当时，，

因为，因此当时，，

所以为使企业年利润最大，应安排5人待岗.

21.（1）令，得．

（2）①因为，且，

所以

．

②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，

又，结合题目条件可知，．

又，所以．

从而．

的对称轴为．

当时，在上单调递减，

所以，当时，；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，；

综上，当时，取最小值，当时，取最小值．

22.（1）当，时，，依题意，，即，解得或，

所以当，时，的点为1和3.

（2）当，时，，依题意，在上有两个不同实数解，

即在上有两个不同实数解，令，

因此函数在上有两个零点，而，因此，解得，

所以实数t的取值范围是．

（3）因函数总存在两个相异的点，则方程，即恒有两个不等实根，

依题意，对任意的，总存在使成立，

即对任意的，总存在使成立，而恒成立，

于是得存在，不等式成立，而，

从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上，

因此或，解得或，

解得，或，则有或，

所以实数t的取值范围是或．