2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的真子集的个数是（    ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】C

【分析】求出集合中元素个数，从而可得集合的真子集的个数．

【详解】集合，集合中4个元素，

的真子集的个数是．

故选：C．

2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】由幂函数性质可得解.

【详解】A中定义域和值域都是；

B中 ,定义域和值域都是；

C中定义域和值域都是；

D中定义域为R，值域为

故选：D

【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题.

3．若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案.

【详解】解：因为，

所以，即，所以，故B正确；

当时，

，故A错误；

，故C错误；

，故D错误.

故选：B.

4．已知，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.

【详解】，即.

故选：C.

5．已知，幂函数在上单调递减，则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】等价于 ，

∵幂函数在上单调递减， 且 ，

解得 ，

∴是的的必要不充分条件，

故选B

6．若角的终边与单位圆的交点坐标是，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由终边与单位圆的交点纵坐标，结合诱导公式可得， 再结合诱导公式及同角关系即可求值.

【详解】由角的终边与单位圆的交点坐标是得，

故.

故选：A

7．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在定理得出，代入可得选项.

【详解】由题可知：函数单调递增，若 一个零点在区间内，则需：，

即，解得，

故选：C.

【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题.

8．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（    ）

A．当时，的定义域为

B．一定有最小值

C．当时，的定义域为

D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是

【答案】A

【分析】对于AC:直接求出定义域，即可判断；

对于B:取特殊情况，a=0时，值域为R，否定结论；

对于D:取特殊情况，a=-4时否定结论.

【详解】对A，当时，解有，故A正确；

对B，当时，，此时，，

此时值域为，故B错误；

对C，由A，的定义域为，故C错误；

对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.

故选：A.

9．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（    ）

A．2 B．10 C．100 D．10000

【答案】C

【分析】根据对数运算结合题意运算求解.

【详解】设乙市地震所散发出来的能量为，甲市地震所散发出来的能量为，

则，，两式作差得，

故，则.

故选：C.

10．设函数，若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出分段函数在上得解析式，进而根据解析式做出函数图象，由于函数在区间内有且仅有两个零点等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，数形结合即可求出结果.

【详解】若，则，所以，故，

其图象如图：

函数在区间内有且仅有两个零点等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，于是，.

故选：C.

二、多选题

11．如图是三个对数函数的图象，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】根据对数函数的图象可判断出，再判断各选项即可得．

【详解】由对数函数图象得，令，，由已知图象得，；而是增函数，.

故选：ABC．

12．已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若则.

B．若则.

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】由不等式的性质，逐个判断选项.

【详解】若，则，又，则，A选项正确；

若，满足，但，不成立，B选项错误；

若，，满足，但，不成立，C选项错误；

，则，又，∴，即，D选项正确.

故选：AD

13．已知，，那么的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据题干条件和同角三角函数的平方关系建立方程组，求出正弦和余弦，进而求出正切值.

【详解】因为①，又sin2α+cos2α=1②，

联立①②，解得或，

因为，所以或．

故选：BD

14．下列说法正确的有（    ）

A．的最小值为2

B．若正数为实数，若，则的最大值为3

C．已知，则的最小值为

D．设为实数，若，则的最大值为.

【答案】CD

【分析】对于A，利用特值法即可判断；

对于B，利用换“1”法，结合基本不等式，即可判断；

对于C，利用配凑法，结合基本不等式，即可判断；

对于D，化简为，进而利用基本不等式的性质，得到

，再令，计算即可判断.

【详解】对于A，取，则，故最小值不是，故A错误；

对于B，由得，，因为，

则，

当且仅当，即时，等式成立，故的最小值为3，故B错误；

对于C，已知，则，当且仅当

，即时，等号成立，故的最小值为正确，故C正确；

对于D，，可得，

则，令，则

，解得，，故此时，的最大值为，故D正确；

故选：CD

三、双空题

15．使命题“若，则”为真命题的一组的值分别为__________，__________.

【答案】     1（答案不唯一）     2（答案不唯一）

【分析】若原命题都是真命题，则必有，故可得或时，原命题为真命题，取任一组有效值即可.

【详解】若命题“若，则”为真命题，

则必有，

故满足或，

故可取或.

故答案为：1，2

四、填空题

16．化简：若，则__________.

【答案】

【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系进行化简，再结合已知角的范围，比较出大小关系进行化简即可.

【详解】

因为，所以，

所以，原式.

故答案为：

17．函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________.

【答案】125

【分析】由得，求出的值以及的值，得到定点的坐标．再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图像上，求出幂函数的表达式即可得出答案．

【详解】函数，由，

当，即时，，点的坐标是．

幂函数的图像过点，所以，解得；

所以幂函数为，则．

故答案为：125

18．设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的非负整数解的和为__________.

【答案】6

【分析】可设，根据函数图像为抛物线，结合题意求出的值，再解对应的不等式，从而求出不等式的非负整数解的和．

【详解】设，不合题意，∴，函数图像为抛物线．

对于任意一个给定的值，其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足时整数解只有有限个，所以．

因为0为其中的一个解，所以，解得，

又因为，所以或，

当时不等式为，解不等式得，

因为为非负整数，所以；

当时不等式为，解不等式得；

因为为非负整数，所以0，1，2，3；

综上知，全部不等式的非负整数解的和为．

故答案为：6

五、解答题

19．已知函数（且），．

（1）若，求的取值范围；

（2）求不等式的解集．

【答案】（1）；（2） ．

【分析】（1）根据求出的值，由得出的范围，由对数函数的性质可得结果；

（2）由对数的性质可得，进而可得的范围.

【详解】（1）函数（且），，

，函数．

若，，

故的取值范围为．

（2）不等式，即，，解得，

故不等式的解集为．

20．（1）计算的值.

（2）已知，是第三象限角，求的值.

【答案】（1）13 ；（2）

【分析】（1）利用换底公式将原式中的每个对数都化成常用对数，然后进行计算即可．

（2）利用诱导公式和同角三角函数的关系进行化简求值.

【详解】（1）

．

（2），

.

21．已知关于的不等式的解集为或．

(1)求的值；

(2)当，且满足＝1时，有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得；

（2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以1和2是方程的两个实数根且，

所以，解得，

经检验满足条件，

所以；

（2）由（1）知，于是有，

故，

（当时等号成立）

依题意有，即，

解得，

所以的取值范围为.

22．已知函数是上的偶函数.

(1)求实数的值；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；

(3)求函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】(1)

(2)单调递增，理由见解析；

(3).

【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；

（2）根据单调性的定义进行判断证明即可；

（3）根据偶函数的性质，结合单调性进行求解即可.

【详解】（1）因为函数是上的偶函数，

所以有，

因为，所以；

（2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下：

设是上任意两个实数，且，即，

，

因为，所以，

所以函数在区间上单调递增；

（3）由（2）可知：函数在区间上单调递增，而函数是偶函数，所以函数在上单调递减，因为，，

所以.

23．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．

(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？

(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

【答案】(1)小时

(2)小时

【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.

【详解】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，

即血液含药量须不低于4微克，可得，           

解得，                                       

所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．

（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；

若，药物浓度，                        

解得，                                       

若，药物浓度，         

化简得，所以；                

若，药物浓度，                

解得，所以；                          

综上，                                      

所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．