2022-2023学年四川省成都市成都高新实验中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市成都高新实验中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合运算求解即可.

【详解】解：因为集合，，

所以

故选：A

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用全称量词命题的否定是特称量词命题即可求解.

【详解】该命题的否定：，.

故选：B.

3．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】取，可判断A选项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.

【详解】对于A选项，若，则，A错；

对于B选项，取，，，，则，B错；

对于C选项，因为，，由不等式的性质可得，C对；

对于D选项，取，，，，则，D错.

故选：C.

4．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将分式不等式化为整式不等式，结合一元二次不等式的解法运算求解.

【详解】∵，则，解得

故不等式的解集为

故选：D.

5．下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；    ②与；

③与；    ④与

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.

【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；

②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；

③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；

④与是同一函数；

所以是同一函数的是③④.

故选：C.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数解析式，结合奇偶性定义判断其奇偶性，可排除两个选项，再根据常见函数的单调性，判断函数在上的单调性即可确定.

【详解】解：函数，定义域为，所以

所以函数为偶函数，故排除选项B，C；

当时，，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故选项D符合，排除A.

故选：D.

7．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.

【详解】依题意且，

所以函数的定义域是．

故选 ：B．

8．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】用偶函数的性质转化为，再根据单调性比较的大小即可.

【详解】因为函数是偶函数，所以，

因为在上是增函数，且，

所以，即.

故选：D.

二、多选题

9．下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据奇函数的定义即可逐一选项求解.

【详解】对于A,的定义域为R,关于原点对称，而，为偶函数，

对于B,的定义域为，关于原点对称，且，为奇函数，

对于C，的定义域为R，关于原点对称，且，为奇函数，

对于D,的定义域为R，关于原点对称，而，不是奇函数，

故选：BC

10．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．设，则“”是“”的必要不充分条件

C．命题“若，则”的否定是“存在，则”

D．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

【答案】ABC

【分析】根据各选项中两个条件之间的推出关系可判断ABD的正误，根据全称量词命题的否定的结构形式可判断C的正误.

【详解】对于A，若，则；

取，则，但不成立，故“”是“”的充分不必要条件，

故A正确.

对于B，当时，，此时不成立，

当，则，故“”是“”的必要不充分条件，

故B正确.

对于C，命题“若，则”的否定是“存在，则”，

故C正确.

对于D，当且时，，

取，此时成立，但且不成立，

故“且”是“”的充分而不必要条件，故D错误，

故选：ABC.

11．已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小值是2 B．的最小值是1

C．的最小值是4 D．的最大值是

【答案】AD

【分析】A.利用“1”代换求最值

B.直接运用基本不等式

C.先把式子变形，再运用基本不等式

D.先构造，再运用基本不等式

【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确.

B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误.

C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误.

D.因为，所以，则，当且仅当时等号成立，故选项D正确.

故选：AD.

12．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据函数奇偶性的图象性质，结合函数的平移，以及周期性，可得答案.

【详解】对于A，令，由是奇函数，则是奇函数，即，故，则A正确；

对于B，函数图象可由函数图象向右平移个单位可得，由为奇函数，则函数图象关于原点对称，即函数图象关于对称；

函数图象可由函数图象向右平移个单位可得，由为偶函数，则函数图象关于轴对称，即函数图象关于直线对称；

由直线关于对称的直线为轴，则函数图象关于轴对称，即，故B正确；

对于C，由B选项，关于直线对称的是，由这一规律，可得函数的图象的对称轴为直线，对称中心为，

故函数的周期，故C错误；D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若函数，，则__________．

【答案】

【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得出的值.

【详解】由已知可得，因此，.

故答案为：.

14．满足的集合有______个.

【答案】8

【分析】根据题意依次列举即可得答案.

【详解】解：因为，

所以集合可以为，共8个

故答案为：8

15．已知函数，则函数的解析式为________.

【答案】

【分析】设，求出代入后可得，再把换成．

【详解】设，所以，

所以，即．

故答案为：．

16．设，满足，若不等式恒成立，则实数的范围是__________.

【答案】

【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再解可求得答案

【详解】解：因为，且，

所以，当且仅当，即时取等号，

所以不等式恒成立，等价于不等式恒成立，

由，得，解得，

所以实数的范围是，

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求出；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先求出,再求出得解；

（2）对集合分两种情况讨论，解不等式即得解.

【详解】（1）（1）当时， ,所以=或，

所以= 或.

（2）（2）由.

①当为空集时，成立.

②当不是空集时，，，

综上①②，.

18．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．

现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；

写出函数的解析式和值域．

【答案】（1）递增区间是，，图像见解析

（2）

【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间;

直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.

【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:

由图可得函数的递增区间是,.

设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,,

故的解析式为,

由图像可得值域为.

【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.

19．已知．

(1)讨论在上的单调性并用定义法证明；

(2)求在的最值．

【答案】(1)在上为减函数，在上为增函数，证明见解析.

(2)最小值为4，最大值为5.

【分析】（1）利用证明函数单调性的定义法，作差因式分解得，再分类讨论即可.

（2）利用（1）中的单调性，分别代入进行比较值即可.

【详解】（1）根据题意，设，则

当时，则，则即，函数为减函数；

当时，则，则，即，函数为增函数；

故函数在上为减函数，在上为增函数;

（2）由（1）函数在上为减函数，在上为增函数，而，故当时，，而，，故，

所以在上最小值为4，最大值为5.

20．某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x百件，需另投入成本（单位：万元），当年产量不足30百件时，；当年产量不小于30百件时，．若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．

(1)求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；

(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

【答案】(1)

(2)年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．

【分析】（1）根据题意，分段求函数解析式即可；

（2）利用二次函数的性质结合基本不等式，分段求函数的最大值，再比较即可．

【详解】（1）解：当时，，

当时，，

．

（2）解：当时，，

当时，，

当时，，

当且仅当，即时，，

年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．

21．已知函数．

(1)当时，求函数在上的最小值；

(2)当时，求函数在上的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数化简，结合基本不等式即可求得其最小值；

（2）用单调性的定义证明函数在上单调递减，在单调递增，

然后分与分别得到其最小值即可.

【详解】（1）当时，，

当时，

当且仅当时，即时等号成立.

所以的最小值为.

（2），设，

则

因为，所以，即，所以

所以在上，单调递减，同理可证在单调递增，

故当,的最小值为；

当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为

所以的最小值为

22．已知函数y=f(x)的定义域为R，且对一切xR都有f(x)+2f(-x)=-(+1)x+3a恒成立.

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意有，消去，即可得出答案；

（2），分类讨论，即可得出答案.

【详解】（1）解：由题，

消去，得；

（2）解：由(1)有，

①当时，；

②当时，

1)若，即时，解为或；

2)若，即时，解为或；

③当时，

1）若，即时，解为；

2）若，即时，解为；

综合有：当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为或；

当时，解集为或.