2022-2023学年河北省邯郸市峰峰矿区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市峰峰矿区九年级（上）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，三月份共生产90台，设二，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省邯郸市峰峰矿区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（　　）
A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x
2．（3分）下列图形中不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件属于随机事件的是（　　）
A．掷一次，骰子向上的一面点数大于0
B．掷一次，骰子向上的一面点数是7
C．掷两次，骰子向上的一面点数之和是13
D．掷三次，骰子向上的一面点数之和是偶数
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
5．（3分）已知⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三个点，OA＝7，OB＝6，OC＝5，则（　　）
A．点A在⊙O内 B．点B在⊙O上 C．点C在⊙O外 D．点C在⊙O上
6．（3分）二次函数y＝kx2﹣x（k＜0）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）若反比例函数y，当x＞0时，函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜3 D．m＞3
8．（3分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）

A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
9．（3分）把抛物线y＝3（x+1）2﹣2先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线y＝3x2，则n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　）
A．y B．y C．y D．y
11．（3分）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　）

A．点M B．点N C．点O D．点P
12．（3分）某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．20（1+x）2＝90
B．20（1﹣x）2＝90
C．20（1+x）+20（1+x）2＝90
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝90
13．（3分）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x＝3
14．（3分）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
二、填空题（本大题共3个小题，每小题均有两个空，每个空2分，共12分）
15．（4分）若，则　 　；　 　．
16．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）k的取值范围是 　 　；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，则k＝　 　．
17．（4分）在△ACB中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点O是△ACB的内心，过O作OD⊥AB于D点．
（1）∠C＝　 　；
（2）AD＝　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（8分）如图，P为等边三角形ABC内部一点，△ABP旋转后能与△CBP′重合．
（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？
（2）连接PP′，△BPP′是什么三角形？并说明你的理由．

19．（8分）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：2x2+4x﹣8＝0
二次系数化为1，得x2+2x﹣4＝0…第一步
移项，得x2+2x＝4…第二步
配方，得x2+2x+4＝4+4，即（x+2）2＝8…第三步
由此，可得第四步
所以，，第五步
（1）小明同学解题过程中，从第 　 　步开始出现错误．
（2）请给出正确的解题过程．
20．（9分）一个袋中装有三个只有颜色不同的小球，其中1个白色，2个红色．
（1）从袋中随机摸出1个球，则摸到的是红色小球的概率是 　 　．
（2）从袋中随机摸出1个球，不放回，摇匀后再摸一个球，求两个球都是红色小球的概率．（请用列表法或画树状图说明）
21．（9分）如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y的图象上．
（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将▱ABCD向上平移得到▱EFGH，使点F在反比例函数y的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连结AE，求AE的长及点M的坐标．

22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．

23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点C为圆心，以3为半径作半圆C，交BC及其延长线于点E、F．

（1）在半圆C上取一点M，则DM的最小值为 　 　；
（2）绕点E逆时针旋转半圆C得到半圆C'，半圆C'的直径为EF'，设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①当半圆C'与矩形ABCD的边AB相切时，切点为N，求弧EN的长；
②若D落在EF'上，半圆C'交AD于G，求DG的长．

24．（12分）某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x台电子产品的成本y（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x成正比例，人工成本（单位：元）与x的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：
x（单位：台）
20
40
y（单位：元）
2104
2216
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某月平均每台电子产品的成本26元，求这个月共生产电子产品多少台？
（3）若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q（单位：元），且有Q＝mx+n（m、n均为常数），已知当x＝2000台时，Q为35元，且此时销售利润W（单位：元）有最大值，求m、n的值（提示：销售利润＝销售收入﹣成本费用）

2022-2023学年河北省邯郸市峰峰矿区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）将方程7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为（　　）
A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x
【分析】首先移项，把7x﹣3移到等号右边，然后再确定一次项系数即可．
【解答】解：由7x﹣3＝2x2，得2x2﹣7x+3＝0，
所以一次项系数是﹣7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
2．（3分）下列图形中不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件属于随机事件的是（　　）
A．掷一次，骰子向上的一面点数大于0
B．掷一次，骰子向上的一面点数是7
C．掷两次，骰子向上的一面点数之和是13
D．掷三次，骰子向上的一面点数之和是偶数
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、掷一次，骰子向上的一面点数大于0是必然事件；
B、掷一次，骰子向上的一面点数是7是不可能事件；
C、掷两次，骰子向上的一面点数之和是13是不可能事件；
D、掷三次，骰子向上的一面点数之和是偶数是随机事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，则点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质，横纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，﹣1），点B与点A关于原点O对称，
∴点B的坐标是（2，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（3分）已知⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三个点，OA＝7，OB＝6，OC＝5，则（　　）
A．点A在⊙O内 B．点B在⊙O上 C．点C在⊙O外 D．点C在⊙O上
【分析】先确定圆的半径，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：∵⊙O的直径为12，
∴⊙O的半径为6，
∵OA＝7＞6，
∴点A在⊙O外；
∵OB＝6，
∴点B在⊙O上；
∵OC＝5＜6，
∴点C在⊙O内；
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
6．（3分）二次函数y＝kx2﹣x（k＜0）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，k＜0，则该二次函数图象开口向下，且当x＝0时，y＝0，故其过原点，由此分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，k＜0，则该二次函数图象开口向下，
且当x＝0时，y＝0，故其过原点，
分析选项可得，只有C符合，
故选：C．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质如开口方向、对称轴、顶点坐标等与系数的关系．
7．（3分）若反比例函数y，当x＞0时，函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜3 D．m＞3
【分析】根据反比例函数的性质可得3﹣m＞0，再解不等式即可．
【解答】解：∵当x＞0时，函数值y随x的增大而减小，
∴3﹣m＞0，
解得：m＜3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：
（1）反比例函数y＝xk（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
8．（3分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　）

A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
9．（3分）把抛物线y＝3（x+1）2﹣2先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线y＝3x2，则n的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则得到平移后的解析式，即可得到﹣2+n＝0，解得n＝2．
【解答】解：把抛物线y＝3（x+1）2﹣2先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到：y＝3（x+1﹣1）2﹣2+n，即y＝3x2﹣2+n，
由题意可知﹣2+n＝0，
∴n＝2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10．（3分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　）
A．y B．y C．y D．y
【分析】根据等量关系“每只玩具熊猫的成本＝总成本÷数量”列出关系式即可．
【解答】解：由题意得：y与x之间满足的关系为y．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的运用，重点是找出题中的等量关系．
11．（3分）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　）

A．点M B．点N C．点O D．点P
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，
故选：D．

【点评】此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
12．（3分）某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）
A．20（1+x）2＝90
B．20（1﹣x）2＝90
C．20（1+x）+20（1+x）2＝90
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝90
【分析】设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产某大型机器20（1+x）台，三月份生产某大型机器20（1+x）2台，根据二、三月份共生产90台，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产某大型机器2（1+x）台，三月份生产某大型机器2（1+x）2台，
依题意，得：20（1+x）+20（1+x）2＝90．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（3分）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x＝3
【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴．
【解答】解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，
∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，
∵这两个点关于对称轴对称，
∴对称轴是直线x1．
故选：A．
【点评】此题考查对称轴的性质：抛物线上的两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．
14．（3分）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
【分析】判断出∠BOC的度数，可得结论．
【解答】解：由题意，∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
∴n12．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是理解正n边形中心角的概念．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题均有两个空，每个空2分，共12分）
15．（4分）若，则　　；　2　．
【分析】将变形为a＝2b，然后代入即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴a＝2b，
∴，
2，
故答案为：，2．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，利用分类讨论得出是解题关键．
16．（4分）已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0有两个不相等的实数根．
（1）k的取值范围是 　k＜5　；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，则k＝　4　．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＞0，然后解不等式即可；
（2）把x＝﹣2代入方程x2+2x+k﹣4＝0，求出k的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＞0，
解得k＜5．
故答案为：k＜5；
（2）∵x＝﹣2是该方程的一个根，
∴（﹣2）2+2×（﹣2）+k﹣4＝0，
∴k＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
17．（4分）在△ACB中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点O是△ACB的内心，过O作OD⊥AB于D点．
（1）∠C＝　90°　；
（2）AD＝　6　．

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设⊙O与△ABC各边分别相切于D、E、F，如图，连接OD、OE、OF，利用切线的性质得OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，再利用四边形OECF为正方形，设CE＝r，则CF＝r，AD＝AE＝8﹣r，BF＝BD＝6﹣r，则6﹣r+8﹣r＝10，然后求出r，从而得到AD的长．
【解答】解：（1）∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
故答案为：90°；
（2）设⊙O与△ABC各边分别相切于D、E、F，如图，

连接OD、OE、OF，
则OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF为正方形，
设CE＝r，则CF＝r，AD＝AE＝8﹣r，BF＝BD＝6﹣r，
∵AD+BD＝AB，
∴6﹣r+8﹣r＝10，
解得r＝2，
∴AD＝8﹣r＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
三、解答题（本大题共7个小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（8分）如图，P为等边三角形ABC内部一点，△ABP旋转后能与△CBP′重合．
（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？
（2）连接PP′，△BPP′是什么三角形？并说明你的理由．

【分析】（1）因为△ABC为等边三角形，所以AB＝BC，∠ABC＝60°．
△ABP旋转后能与△CBP′重合，显然是AB与BC重合，可判断是绕点B顺时针旋转60°得到的．
（2）根据旋转角和对应边可判断△BPP′是等边三角形．
【解答】解：（1）根据题意，AB与BC重合，所以旋转中心是点B，旋转角等于∠ABC＝60°．

（2）△BPP′等边三角形．
∵旋转角为60°，即∠PBP′＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′等边三角形．
【点评】结合图形，把握旋转的对应关系是解题的关键．
19．（8分）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：2x2+4x﹣8＝0
二次系数化为1，得x2+2x﹣4＝0…第一步
移项，得x2+2x＝4…第二步
配方，得x2+2x+4＝4+4，即（x+2）2＝8…第三步
由此，可得第四步
所以，，第五步
（1）小明同学解题过程中，从第 　三　步开始出现错误．
（2）请给出正确的解题过程．
【分析】（1）第三步应该把方程两边加上一次项系数一半的平方，从而可判断第三步错误；
（2）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误；
故答案为：三；
（2）2x2+4x﹣8＝0
x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，
即（x+1）2＝5，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
20．（9分）一个袋中装有三个只有颜色不同的小球，其中1个白色，2个红色．
（1）从袋中随机摸出1个球，则摸到的是红色小球的概率是 　　．
（2）从袋中随机摸出1个球，不放回，摇匀后再摸一个球，求两个球都是红色小球的概率．（请用列表法或画树状图说明）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵袋中装有三个只有颜色不同的小球，其中1个白色，2个红色，
∴从袋中随机摸出1个球，则摸到的是红色小球的概率是；
故答案为：；

（2）根据题意画图如下：

共有6中等可能的情况数，其中两个球都是红色小球的有2种，
则两个球都是红色小球的概率是．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（9分）如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y的图象上．
（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将▱ABCD向上平移得到▱EFGH，使点F在反比例函数y的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连结AE，求AE的长及点M的坐标．

【分析】（1）由点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），得AB＝4，DO＝3，CD＝AB＝4，即可求解点C坐标（﹣4，3），得反比例函数的表达式为：y；
（2）▱ABCD向上平移得到▱EFGH，得点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是﹣6，由点F在反比例函数y的图象上，得点F的坐标为（﹣6，2），BF＝2，AE＝2，HD＝2，可得点M的纵坐标HO＝5，即可求解点M的坐标为（，5）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），
∴AB＝4，DO＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
∴点C坐标为（﹣4，3），
∵点C在反比例函数y的图象上．
∴反比例函数的表达式为：y；
（2）∵▱ABCD向上平移得到▱EFGH，
∴点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是﹣6，
∵点F在反比例函数y的图象上，
∴点F的坐标为（﹣6，2），
∴BF＝2，
∴AE＝2，HD＝2，
∴点M的纵坐标HO＝5，
点M的横坐标为，
∴点M的坐标为（，5）．
【点评】本题考查了反比例函数关系式求法，图象上点的坐标特征，平行四边形平移特征，解题关键是理解对应点平移的距离相等．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．

【分析】（1）利用平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，再证明∠DFC＝∠B，则可判断△DFC∽△CBE；
（2）利用平行四边形的性质得到BC＝AD＝4，利用平行线的性质得DE⊥DC，则利用勾股定理可计算出CE＝3，然后利用相似比求出DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE3，
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，
∴DF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点C为圆心，以3为半径作半圆C，交BC及其延长线于点E、F．

（1）在半圆C上取一点M，则DM的最小值为 　1　；
（2）绕点E逆时针旋转半圆C得到半圆C'，半圆C'的直径为EF'，设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①当半圆C'与矩形ABCD的边AB相切时，切点为N，求弧EN的长；
②若D落在EF'上，半圆C'交AD于G，求DG的长．

【分析】（1）判断出点M在CD上时，DM最小，即可求出答案；
（2）①连接C'N，判断出四边形BEC'N是矩形，最后用弧长公式求解，即可得出答案；
②先求出DE＝5，进而得出C'D＝2，再判断出△DHC'∽△ECD，求出DH，C'H，再用勾股定理求出HG，即可求出答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，
∴CD＝AB＝4，
∵点M是半圆C上的点，
∴点M在CD上时，DM最小，其值为CD﹣CM＝4﹣3＝1，
故答案为：1；

（2）①如图，

连接C'N，则C'N＝3，C'N⊥AB，
在四边形ABCD中，∠B＝90°，
∴C'N∥BE，
∵半圆C的半径为3，
∴CE＝3，
∵BC＝6，
∴BE＝3，
∴C'N＝BE，
∴四边形BEC'N是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴▱BEC'N是矩形，
∴∠EC'N＝90°，
∴的长为π；

②如图，

连接C'G，过点C'作C'H⊥AD于H，
则C'G＝CE＝3，∠C'HD＝∠C'HG＝90°，
在矩形ABCD中，AB＝4，
∴∠C＝90°，AD∥BC，CD＝AB＝4，
在Rt△CDE中，CE＝3，
根据勾股定理得，DE5，
∴C'D＝DE﹣C'E＝2，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠C＝∠DHC'＝90°，
∴△DHC'∽△ECD，
∴，
∴，
∴DH，C'H，
在Rt△C'HG中，C'G＝3，
根据勾股定理得，HG，
∴DG＝DH+HG．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，旋转的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
24．（12分）某电子公司，生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x台电子产品的成本y（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x成正比例，人工成本（单位：元）与x的平方成正比例，在生产过程中得到数下数据：
x（单位：台）
20
40
y（单位：元）
2104
2216
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某月平均每台电子产品的成本26元，求这个月共生产电子产品多少台？
（3）若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q（单位：元），且有Q＝mx+n（m、n均为常数），已知当x＝2000台时，Q为35元，且此时销售利润W（单位：元）有最大值，求m、n的值（提示：销售利润＝销售收入﹣成本费用）
【分析】（1）先根据题意设出y＝ax2+bx+2000，再根据表格中x，y的对应值求出a，b即可；
（2）当y＝26x时，解关于x的一元二次方程即可；
（3）先根据销售利润＝销售收入﹣成本费用得出W关于x的函数解析式，再根据函数的性质得出4000m+n＝45，以及当x＝2000台时，Q为35元，联立方程组，解方程组得出m，n的值．
【解答】解：（1）由题意设y＝ax2+bx+2000，
∵当x＝20时，y＝2014，当x＝40时，y＝2216，
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为yx2+5x+2000；
（2）根据题意得26xx2+5x+2000，
解得x1＝2000，x2＝100，
答：若某月平均每台电子产品的成本26元，这个月共生产电子产品100台或2000台；
（3）根据题意得：W＝x（mx+n）﹣（x2+5x+2000）＝（m）x2+（n﹣5）x﹣2000，
∵当x＝2000台时，销售利润W（单位：元）有最大值，
∴200，
化简得4000m+n＝45，
又∵当x＝2000时，Q＝35＝2000m+n，
∴联立方程组，
解得．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
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