2022-2023学年四川省泸州市泸县泸县第四中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县泸县第四中学高一上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市泸县泸县第四中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据交集的运算方法直接选出答案.【详解】由题意，．故选：B2．下列函数中与函数是同一函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】对于A、B：定义域不同，即可判断；对于C：定义域相同，但解析式不同，即可判断；对于D：定义域相同，解析式也相同，即可判断是同一函数.【详解】函数的定义域为R.对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.故选：D.3．若，下列命题正确的是（    ）A．若，则 B．，若，则C．若，则 D．，，若，则【答案】C【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，当时，，故D错误，故选：C.4．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和值域即可判断.【详解】 所以为偶函数，所以图象关于 轴对称，故排除B，当 时， 故排除 A，当 时， 故排除 D故选：C .5．已知函数的定义域是，则的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域求解.【详解】因为定义域为，所以，所以，故函数满足，解得，所以的定义域是.故选：C.6．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，即当时，函数的最小值为；当时，，要使得函数的最小值为，则满足解得．故选：A．7．已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（       ）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【答案】B【分析】由于f(x) 关于直线x＝1对称，可以得到f(-1)＝f(3)，因为当x2＞x1＞1时，，所以f(x)在(1，+∞)上单调递减，这样就能对比f(3)、、f(2)的大小，进而得到答案【详解】解：由题意得，f(x)在(1，+∞)上单调递减，因为函数图象关于x＝1对称，所以f(x)在(-∞，1)上单调递增，因为f(-1)＝f(3)，且3＞e＞2＞1，所以f(3)＜f(e)＜f(2)，所以a＜c＜b．故选：B．8．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解【详解】函数的定义域为，即不等式的解集为（1）当时，得到，显然不等式的解集为；（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；综上，的取值范围为故选：B 二、多选题9．下列关系中，正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据元素与集合间的关系逐项判断即可.【详解】因为是整数集，故，所以A正确；因为是实数集，故，所以B错误；因为是有理数集，故，所以C错误；因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD.10．已知幂函数的图像经过，则幂函数具有的性质是（    ）A．在其定义域上为增函数 B．在上单调递减C．奇函数 D．定义域为【答案】BC【分析】设幂函数，将代入解析式即可求出解析式，根据幂函数性质判断选项即可.【详解】设幂函数，幂函数图象过点，，， 定义域为，满足，是奇函数，值域为，在定义域内不单调，在上单调递减.故选：BC11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②对于定义城上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，其中选项ABC可直接判断单调性和奇偶性，选项D通过画图判断单调性和奇偶性.【详解】根据条件可得“理想函数”不仅为奇函数，又为单调递减函数，对于A.，函数不为奇函数，故不为“理想函数”；对于B.为定义域上的单调递减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；对于C.为定义域上的单调递增函数，故不为“理想函数”；对于D.的图像如下：由图像可得该函数为定义域上的单调减函数，也为奇函数，故为“理想函数”；故选：BD.12．记，已知，，，则（    ）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合基本不等式有，解不等式可得的最值，进而由可知的最值情况，又，可得，可得最小值，而可确定最小值，进而判断各选项.【详解】由题意，结合基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，设，则，解得，即有，故A选项正确；而，故B选项错误；又，所以，当且仅当时，等号成立，故C选项正确；又，所以当时，有最小值为，故D选项正确；故选：ACD. 三、填空题13．已知正数满足，则的最小值为________．【答案】##【分析】变换，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，当，即，时，等号成立.故答案为：.14．函数的单调递增区间为________．【答案】【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间.【详解】令，解得或，函数的定义域为.内层函数的减区间为，增区间为.外层函数在上为增函数，由复合函数法可知，函数的单调递增区间为.故答案为.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，常用的方法有复合函数法、图象法，另外在求单调区间时，首先应求函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．某学校100名学生在一次语数外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，1人三项都没有参加，则三项都参加的有________人.【答案】7 【分析】集合元素个数的求解可利用容斥原理直接列方程解决【详解】设三项都参加的有人，因为有一人三项均未参加则由已知，解得故答案为：716．已知为上的偶函数，当，函数，那么当时=_______．【答案】【解析】设设，则，进而得，再结合偶函数性质得当时，.【详解】解：设，则，由于当，函数，所以，因为函数为上的偶函数，所以，所以.故当时，.故答案为： 四、解答题17．已知集合或.（1）分别求和；（2）若集合，若是充分不必要条件的，求实数的取值范围．【答案】（1），或；（2）．【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，应用集合交、补运算求、、，最后由集合并运算求.（2）根据题设充分不必要条件有，结合已知列不等式求的取值范围．【详解】（1）由题设，，而或，∴，又或，，∴或.（2）由题设知：，显然，即不为空集，∴，解得.18．已知函数（1）求奇偶性（2）画出函数的图像：（3）求，的值域【答案】（1）奇函数；（2）作图见解析；（3）.【解析】（1）先求函数的定义域得，再求的值即可得答案；（2）结合二次函数的图象和奇函数的性质即可得函数图象；（3）根据（2）中的函数图象即可得值域.【详解】解：（1）∵∴为奇函数（2）当时，当时，当时，∴∴的函数图象为（3）由（2）可知，当和时函数单调递增，时函数单调递减，所以，，的值域为19．已知，，若命题p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】【分析】首先，求解命题中涉及到的不等式，然后求解命题中涉及到的一元二次不等式的解集，最后，结合是的充分不必要条件，限定的取值情形，从而得到实数的取值范围．【详解】由命题，即，，，，，，，，是的充分不必要条件，或，即或，，所以实数m的取值范围.20．某公司对两种产品A，B的分析如下表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【答案】（1），其中；，其中；（2）答案见解析．【分析】（1）利润等于单件产品的盈利与件数的乘积；（2）分别根据函数的类型确定单调性求出最大值，作差比较二者大小即得．【详解】（1），其中，其中（2）∵，∴，∴在定义域上是增函数∴当时，又，∴当时，当时，即时，投资A产品可获得最大年利润．当时，即时，投资A或B产品可获得最大年利润．当时，即时，投资B产品可获得最大年利润．21．已知二次函数，.（1）若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下，在区间[－3，－1]上恒成立，试求的取值范围．【答案】（1）；单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]；（2）(－∞，1)．【解析】（1）由时二次函数最小值为0，求出得函数解析式，写单调区间即可；（2）可转化为在区间[－3，－1]上恒成立，求出最小值即可.【详解】(1)由题意知，解得，∴.由知函数的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．（2）由题意知，在区间[－3，－1]上恒成立，即在区间[－3，－1]上恒成立，令，x∈[－3，－1]，由知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，故k的取值范围是(－∞，1)．【点睛】关键点点睛：二次函数的解析式求法，大多用到待定系数法，本题需根据当时二次函数最小值为0，建立方程组求解，即可求出函数解析式.22．已知函数对任意的实数，，都有，且当时，有.（1）求的值；（2）求证：在上为增函数；（3）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）利用赋值法，m＝n＝0求f（0）；（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，令m＝x2﹣x1，n＝x1，通过函数的单调性的定义直接证明f（x）在R上为增函数；（3）由原不等式可化为f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，化为f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1），对任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，然后构造函数g（x）＝x2﹣（a+1）x+3，即g（x）min＞0成立即可，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解实数a的取值范围．【详解】（1）由，故此令，则，则；（2）设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，则令m＝x2﹣x1，n＝x1，则f（x2）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，所以f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，由x1＜x2得x2﹣x1＞0，所以f（x2﹣x1）＞1，故f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），故此，函数为上增函数；（3）由已知条件得：，故此，∵，∴，∴，由（2）可知f（x）在R上为增函数，∴，即，令，即成立即可.①当时，即，在单调递增，∴，∴∴②当时，即，在先递减后递增，∴，∴，解得，∴.综上，∴.【点睛】关键点点睛：在（3）转化为在恒成立，构造函数，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解最小值.