2022-2023学年浙江省绍兴市春晖中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省绍兴市春晖中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】因为，即，不能推出，

反之，，一定有成立．

所以“”是“”必要不充分条件.

故选：B.

2．设，且，则的最大值为

A．80 B．77

C．81 D．82

【答案】C

【分析】利用基本不等式的性质求解.

【详解】∵x＞0，y＞0，∴x+y 当且仅当x=y时等号成立，

∵x+y=18，∴ ，解得xy81，

即x=y=9时，xy的最大值为81．

故选C.

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，必须同时满足：一正、二定、三相等，特别是式子中不能取等号时，不能应用基本不等式，可通过函数的单调性求最值.

3．函数的零点所在的大致区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.

【详解】是单调递增函数，是单调递增函数

是单调递增函数，

又因为，，所以，所以函数只有唯一一个零点，

所以函数的零点所在的大致区间是．

故选：B.

【点睛】判断函数的零点是否在区间内，①函数在区间上是连续不断的；②．

4．已知函数f（x）=，则f[f（）]等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】推导出f（），从而f[f（）]＝f（），由此能求出结果．

【详解】∵函数f（x），

∴f（），

f[f（）]＝f（）．

故选D．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6．设，则a，b，c的大小关示是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出结果.

【详解】因为，

，

，

所以．

故选：D．

7．已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可得出为偶函数，且在单调递减，等价于，解不等式即可得到答案.

【详解】由题易知，函数为偶函数，且在单调递减，

所以不等式等价于，

从而有，即，解得或，

对应区间为

故选：C．

8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

二、多选题

9．下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】CD

【分析】根据相等函数定义域，对应关系，值域相等解决即可.

【详解】对于A：．函数的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；

对于B：函数的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；

对于C：函数和的定义域均为，且，所以是同一函数；

对于D．函数和的定义域均为，且，所以是同一函数；

故选：CD．

10．若“，使得成立”是假命题，则实数可能的取值是（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】ABC

【分析】根据命题与命题的否定真假性相反解决即可.

【详解】因为，使得成立”是假命题，

所以“，使得成立”是真命题，

所以，

所以；

故选：ABC．

11．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】根据值域及，可求得定义域的最大范围，结合题意，分析即可得答案.

【详解】令，可得或，

解得或，

所以要满足的值域为，定义域为的子集，且必须包含x=1以及至少一个边界点，

A选项中，故错误；D选项中不包含边界点及，故错误.

BC满足题意.

故选：BC

12．已知函数，下面说法正确的有（    ）

A．当时，函数在R上单调递减

B．不存在非零实数a，使得在R上是增函数

C．当时，不等式恒成立

D．函数是偶函数

【答案】ABC

【解析】根据单调性判断AB，确定，的符号判断C，举例说明D错误．

【详解】A．时，，又，∴是减函数，A正确；

B．由无解，因此不可能是增函数．B正确；

C．时，，，，，在时是增函数，又时，，∴，C正确；

D．，，，不可能是偶函数．D错．

故选：ABC．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性，奇偶性，分段函数的单调性需两段的单调性一致外，端点处函数值也需满足相应的不等关系．判断函数奇偶性时，举反例说明函数不具有奇偶性是一种解题策略．

三、填空题

13．已知为幂函数，若，则________．

【答案】

【解析】设函数，代入求解.

【详解】因为为幂函数，设，因为，所以，.

故答案为：.

14．已知，，，则的最小值为______．

【答案】3

【分析】由可得，巧用，用基本不等式即可求出的最小值.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为3

故答案为：3.

15．已知函数（且在R上是增函数，则函数的减区间为______．

【答案】

【分析】因为函数（且在R上是增函数，解得，

令，分析和的单调性即可求得

的单调性.

【详解】因为函数（且在R上是增函数，

所以，即，

要使得函数的解析式有意义，则，即或，

令，则在上单调递减，在上单调递增

则在上单调递减

所以在上单调递增，在上单调递减

故的减区间为

故答案为：.

16．若函数满足在定义域内存在非零实数，使得成立，则称函数为“有偶函数”．若函数是在上的“有偶函数”，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据有偶函数的定义可得对应的方程有解，参变分离后可求参数的取值范围.

【详解】因为为上的“有偶函数”，故存在非零实数，使得

若，则，故方程有解

故在上有解，而

而，故的值域为，故

若，则，故方程有解

故在上有解，而

而，故的值域为，故

综上所述：

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，，．

(1)求；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题可解得集合A与集合B，由集合的基本运算即可求解.

（2）由，知即可求解.

【详解】（1）易知，，

则，故；

（2）由，知，故须满足，故的取值范围为．

18．计算下列各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)8

(2)

【分析】（1）根据指数运算性质即可；（2）根据指数运算性质即可.

【详解】（1）原式

（2）原式

19．已知函数．

(1)判断函数在的单调性；

(2)求函数在上的值域；

(3)作出函数，的图象．

【答案】(1)函数在上单调递增

(2)

(3)作图见解析

【分析】（1）用单调性定义证明，取值、作差、变形、定号即可得到函数在的单调性.

（2）函数，结合单调性综合分析即可求出函数在上的值域.

（3）结合（1）（2），即可作出函数，的图象.

【详解】（1）证明．设，则，

∵∴，即，故函数在上单调递增

（2）函数，所以函数在，上单调递增，

故当时，；当时，；

故在的值域为

（3）由（1）（2）可得，图象如图所示

20．第三届中国国际进口博览会于2020年11月5日至10日在上海国家会展中心举行，多个国家和地区的参展企业携大批新产品､新技术､新服务首发首展.某跨国公司带来了高端压缩机模型参展，通过展会调研，嘉兴某企业计划在2021年与该跨国公司合资生产此款压缩机.生产此款压缩机预计全年需投入固定成本1000万元，每生产x千台压缩机，需另投入资金y万元，且，根据市场行情，每台压缩机售价为0.899万元，且当年内生产的压缩机当年能全部销售完.

（1）求2021年该企业年利润z(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；

（2）2021年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？(注：利润销售额成本)

【答案】（1）；（2）2021年产量为100(千台)时，企业所获年利润最大为8250万元.

【解析】（1）由利润为销售收入减去每生产x千台压缩机，需另投入资金y万元和固定成本求解.

（2）由（1）中的函数，分和，分别利用二次函数的性质和基本不等式求解.

【详解】（1），

.

（2）由（1）知当时，，

当时，万元；

当时，，

因为，当且仅当时取等号，

所以当时，，

综上当时，万元，

所以2021年产量为100(千台)时，企业所获年利润最大为8250万元.

【点睛】思路点睛：

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式；

(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(3)解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；

(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

21．已知定义在上的奇函数，当时的解析式为．

(1)求的值并写出在上的解析式；

(2)求在上的最大值．

【答案】(1)，在上的解析式为；

(2)0.

【分析】（1）利用f(0)＝0求出的值，设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，利用函数的奇偶性求出函数的解析式；

（2）配方再利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）解：因为f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，

所以f(0)＝0，即1－a＝0，得a＝1.

设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，

∴f(x)＝－f(－x)＝－＝2x－4x，

即当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－4x.

（2）解：f(x)＝2x－4x＝－2＋，其中2x∈[1,2]，

所以当2x＝1，即x＝0时，f(x)最大值为0.

22．已知函数．

(1)若，求关于的不等式的解集；

(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

(3)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由，先化简函数解析式，再讨论和两种情况，分别解所求不等式，即可得出结果；

（2）先将函数解析式，写出分段函数的形式，分别讨论，，三种情况，根据函数单调性，即可求出结果；

（3）先将函数解析式，写出分段函数的形式，要使得函数在上有3个零点，

则需要满足

求解即可.

【详解】（1）由题知：当时，，

（1）当时，，解得：，则；

（2）当时，，解得．，则；

综上所述，不等式的解集为；

（2），

二次函数的对称轴为：直线，

（1）若，即时，满足函数在上单调递增；

（2）若，即时，只需满足即可满足题意，故此时满足函数在上单调递增；

（3）若，即时，要使得函数在上单调递增，即，

即时，可满足题意，此时满足函数在上单调递增；

综上所述，实数的取值范围为；

（3）函数，

要使得函数在上有3个零点，

则需要满足

解得：或，故实数的取值范围为