2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期第二次月考数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期第二次月考数学试题(解析版),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市第八中学校高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据已知条件,由交集的定义即可求解.【详解】解:因为集合,,所以,即,故选:B.2.命题“,”的否定为( )A., B.,C., D.,【答案】C【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解.【详解】命题“,”的否定为 “,”.故选:C.3.在用“二分法”求函数零点近似值时,若第一次所取区间为,则第二次所取区间可能是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据二分法的步骤,取中间数2,判断是否为0,然后判断由2分开的两个区间端点函数值乘积的正负,故选出结果.【详解】解:由题知第一次所取区间为,取中间值,则则第二次所取区间可能是.故选:D4.函数的单调递减区间为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】求出函数的定义域,利用复合函数法可求得函数的单调递减区间.【详解】对于函数,,解得或,所以,函数的定义域为.内层函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,外层函数为增函数,因此,函数的单调递减区间为.故选:A.5.已知,则的大小关系是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】利用1作为中间量,结合指数函数,对数函数单调性,可比较与大小.利用对数函数单调性,可比较与大小.【详解】设,,则在上单调递减,在上单调递减.又,则,即.故选:B6.函数的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】C【分析】先判断函数是偶函数可淘汰B,然后将代入函数可淘汰D,再算出函数的零点个数可淘汰A,即可求解【详解】由可得,所以是偶函数,故淘汰B选项;因为,故淘汰D选项,令,解得,故只有两个零点,故淘汰A选项,故选:C7.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制,采用数字和字母共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如表:16进制012345678910进制0123456789101112131415 例如:十进制数“28”用十六进制表示就是“1C”(因为),同理,用十进制表示的加法“14+13=27”,在十六进制下的加法为“”,那么,在十六进制下,( )A.9C B.84 C. D.【答案】A【分析】先根据十进制求出与的积,再把结果转化为十六进制即可.【详解】解:.故选:A.8.设对恒成立,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】令,分(不满足题意)和 ,解得,两种情况解决即可.【详解】令,若,则,于是,与题意矛盾,所以,此时,那么恒成立,代入,知,解得,所以,所以,当时,对恒成立,满足题意,综上可得,的最大值为,故选:C 二、多选题9.若,则下列说法正确的是( )A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】AC【分析】根据基本不等式或不等式的性质可判断AC的正误,根据反例可判断BD的错误.【详解】因为,故,故,当且仅当时等号成立.故A成立.因为,故,故C成立.若,则,故不成立,故B错误.取,则,故D错误.故选:AC.10.设函数,对于任意的,下列命题正确的是( )A. B.C. D.【答案】ACD【分析】根据指数运算法则可知A正确,利用反例可知B错误;根据指数函数单调性可知C正确;结合基本不等式可确定D正确.【详解】对于A,,A正确;对于B,令,,则,,,,B错误;对于C,为定义在上的增函数,,C正确;对于D,,,D正确.故选:ACD.11.设正实数,满足,则( )A. B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为4【答案】ACD【分析】根据已知等式,利用换元法转化可判断A,C,根据基本不等式的应用判断B,D.【详解】选项A,由,可得,所以,故选项A正确;选项B,由,可得,当且仅当,即时等号成立,则,故选项B错误;选项C,,当时,等号成立,故选项C正确;选项D,由,当且仅当,即时等号成立,故选项D正确.故选:ACD.12.已知定义域为的函数对任意实数都有,且,则以下结论正确的有( )A. B.是偶函数C.关于中心对称 D.【答案】BCD【分析】根据赋值法,可判断或,进而判断A,根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C,根据偶函数即可判断对称性,根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性,进而可判断CD.【详解】令,则或,故A错误,若时,令,则,此时是偶函数若时,令,则,此时既是偶函数又是奇函数;因此B正确,令,则,所以关于中心对称,故C正确,由关于中心对称可得,结合是偶函数,所以,所以的周期为2,令,则,故,进而,故D正确,故选:BCD 三、填空题13.函数的定义域是_______.【答案】或.【解析】根据题意得,解不等式即可得答案.【详解】解:要使函数有意义,则需满足,解得:.故函数的定义域为或故答案为:或【点睛】本题考查函数定义域的求解,考查运算能力,是基础题.14.已知,则__________.【答案】【分析】将配凑为的形式即可求得结果.【详解】.故答案为:.15.已知函数(为常数).若在区间上是增函数,则的取值范围是__________.【答案】【分析】去绝对值得分段函数,即可得分段函数的单调性,即可根据条件确定参数范围.【详解】,则在区间上是增函数,又在区间上是增函数,∴.故答案为:.16.设函数,若方程有4个不同的实数根,则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】把方程拆成,且讨论根的情况即可.【详解】令,根据图像可得:(1)当或时,方程有一个解;(2)当或时,方程有二个解;(3)当时,方程有三个解;(4)当时,方程有个解;因为则变为:;若方程有4个不同的实数根,可以转化为:(Ⅰ)①方程在上有两个根,则满足即②方程有两个根,且一个根为,另一个根在之间,当一个根为时,即,所以变为:,只有一个根这与方程有两个根矛盾,故不成立.(Ⅱ) ①方程有两个根,一个小于,一个在之间.,则满足:即②方程有两个根,一个等于,一个在之间.,则满足:当一个根为时,即即,当时方程变为:即另一个根 为,不符合题意,即不成立.综上或故答案为: 四、解答题17.已知集合,(1)当,求集合;(2)若集合,且,求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据一元二次不等式的解法解不等式,即可得解;(2)由,得,再分和两种情况讨论,列出不等式,即可得解.【详解】(1)解:当,;(2)解:因为,所以,,,当,即时,,则,解得,当,即时,,此时,所以不符题意,综上,.18.已知幂函数为偶函数,(1)求函数的解析式;(2)若函数在上的最大值为2,求实数的值.【答案】(1)(2)或 【分析】(1)根据幂函数的定义及性质求出参数,即可得解;(2)首先得到的解析式,再对对称轴与区间中点的关系分类讨论,即可求出函数的最大值,从而求出参数的值;【详解】(1)解:因为为幂函数,所以,解得或因为为偶函数,所以,故的解析式;(2)解:由(1)知,对称轴为,开口向上,当即时,,即;当即时,,即;综上所述:或.19.已知,(1)用定义证明在单调递增;(2)解不等式.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1) 设任意且,作差,整理变形,比较与零的大小关系即可证明;(2)将不等式等价转化,也即,根据(1)的结论列出不等式组,解之即可求解.【详解】(1)设任意且,则,因为,所以,因为,则,所以,所以,即,也即,又因为,故函数在单调递增.(2)因为不等式可化为,也即,因为函数,故,由(1)知:函数在单调递增,则有,解得:,所以原不等式的解集为.20.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是℃,空气的温度是℃,那么后物体的温度(单位:℃)可由公式求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,e是自然对数的底数.现有85℃的物体,放在5℃的空气中冷却,10以后物体的温度是45℃.(1)求k的值;(2)求该物体的温度由85℃降到30℃所需要的冷却时间.(冷却时间精确到0.1,参考数据:)【答案】(1);(2)16.8min. 【分析】(1)根据题意可得出,,从而只需求,时的值即可.(2)利用(1)求出的解析式,根据对数的运算求时的值即可.【详解】(1)由题意可知,,当时,,于是,整理得,所以,所以.(2)由(1)知,,当时,,所以,所以,所以,所以该物体的温度由85℃降到30℃,需要16.8min.21.已知,且对恒成立,(1)求实数的值;(2)当,求证:函数的图象是中心对称图形,并求对称中心.【答案】(1)4(2)证明过程见详解,对称中心为 【分析】(1)根据,代入表达式化简即可求解;(2)由得出的中心对称性,从而进一步证明出的中心对称性.【详解】(1)因为,所以,所以,所以所以两边同时乘以,得,得,得,从而得,又因为恒为正数,所以,所以,(2)因为,所以,所以关于中心对称,因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以函数的图象是中心对称图形,且对称中心为.22.已知定义在的函数满足以下条件:①;②当时,;③对,均有.(1)求和的值;(2)判断并证明的单调性;(3)求不等式的解集.【答案】(1),;(2)在上单调递增,证明见解析;(3). 【分析】(1)利用赋值法求解即可;(2)利用单调性的定义结合已知条件证明即可;(3)由(2)可知当时,,则,所以将原不等式转化为,再由已知条件可得,由于,则,再转化为,再构造函数,再由其单调性和可求得结果.【详解】(1)因为,,所以令,则,令,则,令,则,即,得或,令,则,即,若,则,与已知矛盾,所以;(2)在上单调递增,证明如下:任取,且,则,所以,则,令,则,所以,当时,,所以,所以,则,所以,即,所以当时,,所以,因为,所以,即,所以在上单调递增;(3)由(2)可知当时,,所以,所以可化为,所以,所以,所以,因为在上单调递增,所以,令,则在上单调递增,因为,所以可化为,所以,即原不等式的解集为.【点睛】关键点点睛:此题考查函数的综合应用,考查函数单调性的证明和应用,考查利用函数的单调性证明不等式,第(3)问解题的关键是将原不等式转化为,再次转化为,再由的单调性转化为,然后构造函数利用其单调性可求得不等式的解集,考查数学转化思想,属于较难题.
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