高分突破，智取压轴小题19 解析几何中的范围问题

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解析几何中的范围问题

一．方法综述
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．
二．解题策略
类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例1】已知，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】山东省滨州市2021届高三二模（5月）数学试题
【答案】A
【解析】在中，，由正弦定理得，，
又点是双曲线上在第一象限内的一点，所以，所以，，
在中，由，得，即，所以，
又，所以.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：求解离心率取值范围的关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式，本题是利用点是双曲线上在第一象限内的一点，结合三角形两边之和大于第三边，构造不等式.
【举一反三】
1．（2020·河南高考模拟（理））设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若，则该双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：由双曲线方程可知其渐近线方程为，将代入上式可得即．因为，由图形的对称性可知，即．因为，所以，即．因为，所以．故B正确．
2．（2020·湖北高考模拟（理））设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8，
∴ ，
，
解得
.故选D．
3.（2020六安市第一中学模拟）点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的左焦点为，则
故要求的最小值，即求的最小值，圆的半径为2
所以的最小值等于，的最小值为，故选D.
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围
【例2】（2020·玉林高级中学高考模拟（理））已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得， ．
设点的坐标为，则
．
∴，
又且，
∴或，
故的取值范围为．选D．
【举一反三】
1.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．

2.（2020哈尔滨师大附中模拟）已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由，得.
设，，则，，
.
又到直线的距离，
则的面积 ，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
此时，. 故选A.
类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围
【例3】（2020·安徽马鞍山二中高考模拟）已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F：的圆心，有两顶点恰好是圆F与y轴的交点．若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称，则实数t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的圆心为，可得椭圆的，
圆与轴的交点为，可得椭圆的，
可得，
即有椭圆方程为，
设椭圆上关于直线对称的两点连线的方程为，
设两点的坐标为，，，
由，得，
△，
，，
设．的中点，，
则，，
中点在上，
，即，得．故选．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力．
【举一反三】
1.（2020河南省天一大联考）已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
作出抛物线，如图所示.

由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.
设直线的方程为，联立
得.令，得，
此时，所以.
2.（2020四川省内江模拟）若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）
【答案】D
【解析】
圆与直线联立，
整理得
图像有两个交点
方程有两个不同的实数根，即

得.
圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.
，解得，
故选D项.
【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.
类型四 利用基本不等式求范围
【例4】（2020·辽宁高考模拟（理））已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于点，若与直线的斜率的乘积为，则的最小值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值.
【举一反三】
1.如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为．
由抛物线的定义得，又，所以．
同理．
①当直线与x轴垂直时，则有，
∴．
②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
∴，当且仅当时等号成立．
综上可得．选C．
【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．
2.（2020河南省安阳市一模）已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
由圆Ω：的圆心（2，0），可得焦点，，
双曲线C的渐近线方程为，可得，
且，
解得，，
设，可得，
，当且仅当时取等号，
可得．
故选：B．
3.（2020四川省凉山州市高三第二次诊断）已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．
【答案】8
【解析】
设，
设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到
由抛物线的弦长公式得到
代入两根之和得到，已知，

类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值
【例5】（2020·江西高考模拟（理））已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】设P（），则Q（2，），当≠0时，求出两直线方程，解交点的横坐标为，利用|x0|范围，得|x|范围，当＝0时，求得|x|＝1即可求解.
【详解】设P（），则Q（2，2），
当≠0时，
kAP，kPM，
直线PM：y﹣（x﹣），①
直线QB：y﹣0（x），②
联立①②消去y得x，
∴，由||＜1得x2＞1，得|x|＞1，
当＝0时，易求得|x|＝1，故选：A．
【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
【举一反三】
1.（2020上海市交大附中模拟）过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为
，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．
【答案】
【解析】
∵点为直线上的任意一点，∴可设，
则过的圆的方程为，
化简可得，
与已知圆的方程相减可得的方程为，
由直线的方程为，
联立两直线方程可解得，，
故线段的中点，
∴点到直线的距离，
∵，∴，
∴，∴，
∴，即
故答案为：
2.已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为
【答案】
【解析】
由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，
所以，故．
由可得，整理得 ，
显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．
3.（2020山东师范大学附属中学模拟）已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：设双曲线的左焦点为，连接，，
，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，
，

，
由，可得，
则，可得，
即有，
则，
即有．
故答案为：．

类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围
【例6】（云南省保山市2019年高三统一检测）已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据题意，直线，即，
则有，解可得，则直线恒过点．
设，又由与直线垂直，且为垂足，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
所以；即的取值范围是；
故答案为：．
【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．
2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；
（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；
（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；
【举一反三】
1.已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）
可得∠B1PA等于向量与的夹角，
∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）
∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），
∵∠B1PA为钝角，∴与的夹角大于，
由此可得•＜0，即﹣ac+b2＜0，
将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，
不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，
解之得e＜或e＞，
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为（，1）．

2．（2020·湖北高考模拟（理））已知是双曲线：上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】用两点间的距离公式表示，根据点M在双曲线上化简变形，即可得到所求范围.
【详解】因为，所以，所以，又，消去得，，所以.
三．强化训练
1．（2020·福建高考模拟（文））已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点， 与的内切圆切于点，则的最小值为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义= ,当且仅当A,B,共线时取等，故选：B
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，直线过A点且与x轴垂直，P为直线上的任意一点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷）
【答案】A
【解析】由题意可知，，直线的方程为，
设直线，的倾斜角分别为，
由椭圆的对称性，不妨设点P为第二象限的点，即，
则，
，
当且仅当，即时取等号.
，，且满足，则，，∴，
则的最大值为，故的最大值是.
当P为第二或第四象限的点时，的取值范围是；
当P为x轴负半轴上的点时，.
综上可知，的取值范围为，
故选：A.
3．（2020·黑龙江高考模拟）在平面直角坐标系中，点为椭圆：的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是平行四边形，因此且，
故，代入椭圆方程可得，所以．
因，所以即，
所以即，解得，故选A．
4．已知椭圆的焦点分别为、，，若椭圆上存在点，使得，则椭圆短轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】江西省九江市2021届高三三模数学（文）试题
【答案】D
【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，则，，
椭圆的标准方程为，以为直径的圆的方程为，
联立，可得，所以，，
，可得，因此，椭圆短轴长的取值范围是.
故选：D.
5.（2020河北省石家庄市第二中学）已知实数满足，，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解析】设点在圆上，且，
原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，

如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，
作直线于点，直线于点，
取的中点，作直线于点，
由梯形中位线的性质可知，
当直线时，直线方程为，
两平行线之间的距离：，
由圆的性质，
综上可得：的最大值.
本题选择D选项.
6．设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】内蒙古赤峰市2021届高三二模 数学（文）试题
【答案】D
【解析】设，则，那么，
两式相减得：，整理得：，即 ，
又因为双曲线的离心率为，所以，所以，
故，其中，所以
故选：D.
7已知是椭圆的左焦点，直线与该椭圆相交于两点，是坐标原点，是线段的中点，线段的中垂线与轴的交点在线段上．该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题
【答案】A
【解析】设的中点为，中垂线与轴交于点，

设，，由得：，
，，
，
，，直线方程为：，
令，解得：，即，
在线段上，，整理可得：，即，
又椭圆离心率，，即椭圆离心率的取值范围为.
故选：A.
8．已知抛物线，过其焦点的直线与其交于两点，若，则直线的倾斜角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省商丘市新乡市部分学校2021届高三5月联考文科数学试题
【答案】D
【解析】由已知得焦点，当直线的斜率不存在时，.满足要求.
当直线的斜率存在时，设其方程为)，与抛物线方程联立，得，
设，，
由抛物线定义知，，，
所以解得或，所以直线倾斜角的范围是或，
所以直线的倾斜角的最大值为，
故选：D.
9．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，且四边形的面积为，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过B作BB1⊥l于B1，设直线AB与l交点为D，

由抛物线的性质可知AA1=AF，BB1=BF，CF=p，
设BD=m，BF=n，则===，
即=，
∴m=2n．
又=，∴==，∴n=，
∴DF=m+n=2p，∴∠ADA1=30°，
又AA1=3n=2p，CF=p，∴A1D=2p，CD=p，
∴A1C=p，
∴直角梯形AA1CF的面积为（2p+p）•p=6，
解得p=2，
∴y2=4x，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵=λ，
∴y1=λy2，
设直线l：x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=4，
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣2=4m2﹣2，
由①②可得4m2==λ++2，
由1＜λ≤2可得y=λ++2递增，即有4m2∈（4，]，即m2∈（1，]，
又MN中点（2m2﹣1，2m），
∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m（x﹣2m2+1），
令y=0，可得x0=2m2+1∈（3，]，故选：A．
10．（2020·山东省实验中学西校区高考模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由
,解得,又
,又, ,
双曲线C的方程为,
即,又,解得或,
所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.
11．已知椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的直线与椭圆交于，两点，则面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【来源】河南省济源平顶山许昌2021届高三三模数学（理）试题
【答案】D
【解析】设，由条件知，得又，
所以，，故的方程．
依题意当轴不合题意，故设直线，设，，，
将代入，得，
当△，即时，
从而
又点到直线的距离，
所以的面积，
设，则，，
当且仅当，等号成立，且满足△，
故的面积的最大为1．
故选：．
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
设点，可得，
则，解得，
由椭圆的几何性质可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
13．（2020·广东高考模拟（理））设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是
【答案】
【解析】根据椭圆对称性得周长等于,(为右焦点),由得，
即周长的取值范围是.
14．（2020北京市大兴区高三一模）已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，
因为，当y＞0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是增函数，
所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.
当y≤0时，y=,所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.
综上所述，的取值范围是.
15．设直线与双曲线的右支交于两点，是坐标原点，是等腰直角三角形，若这样的直线恰有两条，则双曲线离心率的取值范围是___________.
【来源】浙江省2021届高三下学期水球高考命题研究组方向性测试Ⅲ数学试题
【答案】
【解析】由题意，直线与双曲线的右支交于两点，是坐标原点，如图：

其中是等腰直角三角形，且这样的直线有两条，由对称性知，直线l不能垂直于x轴，否则这样的直线是奇数条，
l不垂直于x轴，即点O不能为直角顶点，则双曲线两条渐近线所成的含x轴的对顶角不大于，
则只能是以点P或Q为直角顶点的两种情况，且点P，Q分别在x轴的上方和下方，
不妨以Q为直角顶点，则有，而，，
所以双曲线的渐近线的倾斜角有，，
而，，，则，
离心率.
故答案为：
16.（2020北京市顺义区高三期末）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则______；若，则的取值范围为______．
【答案】3
【解析】
解：由题意，抛物线的准线为，，所以另一种情况同理．

所以AF的斜率为，方程为，
代入抛物线方程可得，所以可得，
因为：，
所以，
设直线AB的方程为，代入到，可得，
，
由，可得，
，，
，
，
，
，
，
解得
故答案为：3，．
17．（2020·河南高考模拟）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由题得直线AB的方程为即y=x-1,设A，
联立
所以，
|AB|=
所以AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.
所以该圆E的方程为.
所以点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，
使得DP⊥DQ，显然当DP,DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，
此时应满足∠PDQ，所以，
整理得.解之得.
18．已知是抛物线的焦点，，为抛物线上任意一点，当取最小值时，__________．
【来源】安徽省芜湖市2021届高三下学期5月教育教学质量监控理科数学试题
【答案】
【解析】由题意得，抛物线的准线方程方程为，点在准线上，如图所示，

过向抛物线的准线作垂线，垂足为，
根据抛物线的定义知，
所以，
即问题转化为当直线的倾斜角的正弦值最小时，求的值；
设，当直线与抛物线相切时，倾斜角的正弦值最小.
联立，
判别式时，解得，
此时，∴.
故答案为：.
19．已知抛物线，斜率小于0的直线交抛物线于、两点，点是线段的中点，过点作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则直线的斜率的最大值为________．
【来源】江西省重点中学盟校2021届高三第二次联考数学（理）试题
【答案】
【解析】设：，代入
得，
由韦达定理知：，，
由知，，，，，
.
当且仅当“”即时，等号成立.
故答案为：.
20．已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为__________．
【来源】天一大联考2021届高三阶段性测试（六）理科数学试题
【答案】
【解析】由题意可知：点F到渐近线的距离等于，
从而即，
又，所以，
则，又，
所以，解得.
故答案为：.