高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数备课ppt课件

4.1.1 n次方根与分数指数幂（作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1．（2022·四川省仪陇宏德中学高一开学考试）下列选项中，计算结果等于4a3的是（    ）

A．  B．   C．  D．

【答案】D

【分析】根据指数幂的运算法则，即可判断出答案.

【详解】由题意可得，A错误；

时，，B错误；

，C错误；

，D正确，

故选：D

2．（2022·全国·高一课时练习）设，为方程的两个根，则（    ）

A．8 B．-8 C．1 D．3

【答案】A

【分析】利用根与系数的关系，结合指数幂的运算，可得答案.

【详解】由于，为方程的两个根,

利用根与系数的关系，得，

所以,

故选:A

3．（2022·江苏·高一）若，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定根式，结合其变形及结果列式计算作答.

【详解】因，则有，即，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D

4．（2022·湖南·长郡中学高一期末）如果关于的不等式的解集是，那么等于（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】B

【分析】根据三个二次的关系确定参数，结合指数运算可得结果.

【详解】∵不等式的解集是，

∴是方程的两个实根，

∴，∴，

∴.

故选：B.

5．（2022·全国·高一课时练习（理））若，，则的值为（    ）

A．1 B．5 C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.

【详解】依题意，，，

则，

所以的值为1.

故选：A

二、多选题

6．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）若，则下列说法中正确的是（       ）

A．当为奇数时，的次方根为

B．当为奇数时，的次方根为

C．当为偶数时，的次方根为

D．当为偶数时，的次方根为

【答案】BD

【分析】根据，讨论为奇数和为偶数两种情况，求出的次方根，即可判断得出结果.

【详解】当为奇数时，的次方根只有1个，为；

当为偶数时，由于，所以的次方根有2个，为.

所以B，D说法是正确的.

故选：BD.

7．（2022·福建省永泰县第一中学高一开学考试）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）

A． B．y=t+1 C． D．

【答案】BD

【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数.

【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.

函数的定义域是.

的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；

与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；

与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.

故选：BD．

三、填空题

8．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）比较大小：___________.（填：>､<､=）

【答案】<

【分析】将已知两式化简即，比较分母大小，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

因为，故，

即，

故答案为：<

9．（2022·全国·高一专题练习）如果，，那么的值是______.

【答案】

【分析】根据平方差公式即可求解.

【详解】由知：为非负数，

∵，

∴

故答案为：

10．（2022·全国·高一专题练习）计算：的结果是__________________．

【答案】2

【分析】根据根式的运算法则即可求解.

【详解】  

故答案为：2．

11．（2022·全国·高一专题练习）________.

【答案】

【分析】利用分母有理化化简即得解.

【详解】解：原式

=.

故答案为：.

12．（2022·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________．

【答案】21

【分析】根据已知分析出x＋y＝19，得到＋＝0，再利用非负数的性质求解.

【详解】解：由题意得：，

则，∴x＋y＝19，

∴＋＝0，

则3x＋5y−2−m＝0①，2x＋3y−m＝0②，

①−②得：x＋2y−2＝0，∵x＝19－y，∴y＝−17，∴x＝36，

∴，∴m＝21．

故答案为：21．

13．（2022·全国·高一专题练习）二次根式成立的条件是_________

【答案】

【分析】利用得到，从而得到.

【详解】二次根式，所以.

故答案为：

14．（2022·全国·高一专题练习）化简的结果为________

【答案】##

【分析】直接将表示成，结合平方差公式即可得结果.

【详解】.

故答案为：.

15．（2022·全国·高一课时练习）求值_______．

【答案】4

【分析】直接利用根式的运算性质化简

【详解】.

故答案为：4

16．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习），则实数a的取值范围_________ 

【答案】

【分析】由二次根式的化简求解

【详解】由题设得，

，

所以

所以，．

故答案为：

17．（2022·辽宁锦州·高一期末）______．

【答案】8

【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂求解作答.

【详解】.

故答案为：8

18．（2022·江苏·高一）已知，则________.

【答案】

【分析】通过平方，得两式的转化关系，，从而得，再由，开方即可求得.

【详解】因为，所以，又因为

，所以

故答案为：.

19．（2022·河南洛阳·高一期末）计算：______．

【答案】

【分析】根据幂的运算法则，根式的定义计算．

【详解】．

故答案为：．

四、解答题

20．（2022·全国·高一专题练习）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)0

【分析】根据根式的运算即可求解（1）（2）.

（1）

；

（2）

=0

21．（2022·全国·高一课时练习）计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】本题应用，为奇数，进行整理计算．

（1）

（2）

22．（2022·江苏·高一）计算：．

【答案】.

【分析】根据给定条件利用根式及指数运算法则计算作答.

【详解】原式=.

23．（2022·江西南昌·高一期末）（1）若求的值；

（2）计算：．

【答案】（1）23；（2）.

【分析】（1）由两边同时平方可得答案.

（2）利用分数指数幂的运算性质结合根式的运算性质可得答案.

【详解】（1）

（2）原式

24．（2022·全国·高一）化简下列各式：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用根式与分数指数幂的转化和幂的运算性质即可求解；

（2）利用根式与分数指数幂的转化及幂的运算性质即可求解.

(1)

(2)

【能力提升】

一、单选题

1．（2022·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可.

【详解】 ，即 ， ，

.

故选：A .

2．（2022·江苏·高一）已知实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次根式的运算求解.

【详解】设，，

，，

，

.

.

又，，

，.

故选：D

3．（2022·全国·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求.

【详解】解：由，

可得，即．实数的取值范围是．

故选：．

4．（2022·全国·高一课时练习）化简(其中，)的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.

【详解】因，，所以.

故选：C

5．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，则下列不等式正确的是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】由函数的单调性可得.再由的单调性可得.从而可得选项.

【详解】因为在R上递减，且，所以 .又因为 在R上递增，且，所以 .所以.

故选：D.

【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用之比较指数式的大小，属于中档题.

6．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值是

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意知，

，

由于，故，则原式.

故选B.

【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题.

7．（2022·全国·高一课时练习）若，则等式成立的条件是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由题意利用根式的性质得到关于x,y的不等式组，然后确定x,y的符号即可.

【详解】，，．由 ，得 .

故选C.

【点睛】本题主要考查根式的定义与运算法则，属于基础题.

8．（2022·全国·高一）设函数，则满足的x的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.

详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.

点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.

二、填空题

9．（2022·全国·高一专题练习）化简：________．

【答案】

【分析】分析式子可以发现，若在结尾乘以一个，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以即可﹒

【详解】原式

故答案为：﹒

10．（2022·全国·高一专题练习）若，则的立方根为_______.

【答案】2

【分析】首先根据函数有意义可求出的值，把的值代入即可求出的值，从而可求出答案.

【详解】由，得，

所以，

所以，所以的立方根为.

故答案为：.

11．（2022·全国·高一专题练习）关于圆周率，祖冲之的贡献有二：①；②用作为约率，作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题.约率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：，舍去0.0625135，得到逼近的一个有理数为，类似地，把化为连分数形式：（m，n，k为正整数，r为0到1之间的无理数），舍去r得到逼近的一个有理数为__________.

【答案】.

【分析】利用题中的定义以及类比推理直接进行求解即可.

【详解】舍去得到逼近的一个有理数为.

故答案为：

【点睛】本题考查了类比推理，解题的关键是理解题中的定义，属于基础题.

12．（2022·全国·高一专题练习）已知m=2，n=3，则[÷]3的值是______．

【答案】

【分析】先利用有理指数幂的运算法则化简，再代值．

【详解】m=2，n=3，则原式=

=m•n-3=2×3-3=，

故答案为．

【点睛】本题考查了有理指数幂及根式．属基础题．

三、解答题

13．（2022·全国·高一专题练习）阅读材料，解决问题：

化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．

令，，令，得；

∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，；

当时，原式；当时，原式=5；当时，原式．

(1)求和的零点值；

(2)化简：．

(3)求方程：的整数解．

【答案】(1)，

(2)答案见解析

(3)，，，，，，

【分析】（1）令，，求出的值即可．

（2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．

（3）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．

（1）

解：可令和，

解得和，∴，分别为和的零点值．

（2）

解：

当时，

，

原式

当时，

，

原式

当时，

，，

原式

（3）

解：当时，

∴，

∴方程左边；

当时，∴，

∴方程左边；

当时，∴，，

∴方程左边，

∴，

∴整数解为：，，，，，，．

14．（2022·全国·高一课时练习）（1）若，求的值；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用立方差公式将分解为，结合已知即可求得答案;

（2）将化为，化简并结合，可求得答案.

【详解】（1），

则．

（2），

且,

．

15．（2022·江苏·高一单元测试）求下列各式的值；

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】分析：（1）利用 进行化简，求得答案；

（2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案.

（1）

= ．

（2）

原式=

因为，所以，

当，即时，

当，即时，,

所以.

16．（2022·全国·高一课时练习）（1）计算：；

（2）已知，求．

【答案】（1）3；（2）.

【分析】（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案；

（2）先判断出，然后将平方后结合条件求得答案.

【详解】（1）原式，

．

（2）由于，所以，，

所以．

17．（2022·江苏·高一）计算下列各式：

(1).

(2).

(3)已知，求的值.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】(1)利用实数指数幂的运算法则直接计算作答.

(2)利用实数指数幂的运算法则结合单项式的除法法则直接计算作答.

(3)将给定等式两边平方直接计算即可作答.

(1)

原式.

(2)

原式.

(3)

因，两边平方得，

所以.

18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且），其中a，b均为实数.

(1)若函数的图象经过点，，求函数的解析式；

(2)如果函数的定义域和值域都是，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知点代入函数即可求出；

（2）讨论和根据函数单调性列出方程即可求解.

（1）

因为函数的图象经过点，，

∴，∴

∴函数.

（2）

如果函数的定义域和值域都是，

若，则函数为增函数，

∴，无解.

若，则函数为减函数，

∴，解得，

∴.

19．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，，且，用，表示；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1） ；（2） .

【分析】（1）先分母有理化，再利用完全平方公式得到的值，进而求解出结果.

（2）通过除以法则，变为乘法，看出分子是立方差公式的逆用，进而约分，化为最简，再代入求值

【详解】（1），

因为，所以，所以．

原式．

（2）原式=．

20．（2022·全国·高一专题练习）设表示不超过的最大整数，如，，.化简：（结果用表示，其中是大于0的整数）.

【答案】

【分析】利用设表示不超过的最大整数，依次化简个根式，然后利用裂项相消法即可得结论.

【详解】由题意，表示不超过的最大整数，设为正整数，则，于是，，

原式

.

【点睛】本题主要考查对定义的理解以及用裂项相消对数列求和.

21．（2022·全国·高一课时练习）（1）化简：；

（2）计算：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分和，结合指数幂的运算法则求解即可；

（2）直接利用指数的幂运算及分母有理化求解即可.

【详解】（1）由题中式子可知，

当时，

原式＝

；

当时，

原式＝

.

综上.

（2）原式＝.

【点睛】本题主要考查了指数的幂运算，第一问的解题忽视的情况是易错点，属于中档题.

22．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，化简.

（2）设，，，求的值.

【答案】（1）；（2）8

【分析】（1）用完全平方公式将根式内多项式配方，再根据指数运算化简；

（2）观察题中式子的特点，令，，将用表示出来，简化运算.

【详解】（1）由，得，

∴.

（2）令，，则

，，

，

.

∴.

【点睛】本题考查了指数幂的运算，考查了学生的分析观察能力，运算能力，属于中档题.

23．（2022·安徽·合肥一中高一期末）已知函数（为常数且）的图象经过点，

（1）试求的值；

（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值.

（2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.

【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.

（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.