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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数备课课件ppt
展开4.4.1 对数函数的概念(分层作业)(夯实基础+能力提升)
【夯实基础】
一、单选题
1.(2022·云南丽江·高一期末)函数 的定义域是( )
A. B.(0,1]
C. D.[0,1]
【答案】B
【分析】根据题意列出不等式组,进而解得答案.
【详解】要使函数有意义,则需满足,解得.
故选:B.
2.(2022·广东汕尾·高一期末)函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据对数的真数大于0且分母不为0可得到结果
【详解】由可得又因为,所以的定义域为
故选:C
3.(2022·全国·高一课时练习)下列函数是对数函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数(且)为对数函数,
所以ABC均为对数型复合函数,而D是底数为自然常数的对数函数.
故选:D.
4.(2022·四川内江·高一期末)已知函数,则( )
A.0 B.1 C.2 D.
【答案】B
【分析】利用代入法,结合对数和指数的运算性质进行求解即可.
【详解】,
故选:B
5.(2022·湖南衡阳·高一期末)函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据给定函数直接列出不等式,再解不等式作答.
【详解】依题意,,解得且,
所以函数的定义域为.
故选:D
6.(2022·山东济宁·高一期末)已知函数则( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】D
【分析】先根据分段函数求出,再根据分段函数,即可求出结果.
【详解】因为,
所以.
故选:D.
7.(2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习)函数y=+lg(5-3x)的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域.
【详解】由题设,,可得.
所以函数定义域为.
故选:B
8.(2022·全国·高一单元测试)设 ,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式,先计算的值,再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.
【详解】 ,
故,
故选:C
9.(2022·陕西·西安高新第三中学高一开学考试)已知函数,则的定义域为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】通过求解f(x)的定义域,确定f(2x)的中2x的范围,求出x范围,就可确定f(2x)定义域
【详解】要使函数有意义,则,解得,的定义域为,由,解得,的定义域为,
故选D.
10.(2022·湖北·罗田县育英高级中学高一阶段练习)已知定义在上的奇函数满足,当时,,则( ).
A. B.2 C. D.
【答案】A
【分析】根据题意可知:的周期,,再根据奇函数得,代入求解.
【详解】∵,则的周期
∴
故选:A.
二、多选题
11.(2022·广东汕头·高一期末)下列函数,表示相同函数的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】BD
【分析】两个函数相同要求定义域相同,对应法则相同,依次判断即可
【详解】对于A:,分别为指数运算与对数运算,不为相等函数,故A错误;
对于B:由于故是相等函数,故B正确;
对于C:定义域为,定义域为,不是相等函数,故C错误;
对于D:因为,所以与是同一函数,故D正确;
故选:BD
三、填空题
12.(2022·新疆巴音郭楞·高一期末)函数定义域为________.(用区间表示)
【答案】
【分析】由对数真数大于0,偶次根式被开方式大于等于0,列出不等式组求解即可得答案.
【详解】解:由,得,
所以函数的定义域为,
故答案为:.
13.(2022·全国·高一课时练习)已知为对数函数,,则______.
【答案】1
【分析】根据,求得对数函数解析式,再将代入计算即可.
【详解】设(,且),则,∴,即,
∴,
∴.
故答案为:1.
14.(2022·四川宜宾·高一期末)函数的定义域为________.
【答案】##
【分析】根据题意直接列出所满足的关系式,从而可求函数的定义域.
【详解】由题意知,所以,所以,
所以函数的定义域为.
故答案为:.
15.(2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末)函数的定义域为________.
【答案】
【分析】要使得根式和对数式有意义,列出不等关系求解即可
【详解】由题意,要使得根式和对数式有意义,则
解得:
故函数的定义域为
故答案为:
16.(2022·河南·高一阶段练习)已知函数,则______.
【答案】11
【分析】根据函数的解析式,可令 ,即求得答案.
【详解】令,则,
即,
故答案为:11
17.(2022·全国·高一单元测试)函数的定义域是_______.
【答案】或
【分析】利用对数函数的性质得真数大于0,即可求解.
【详解】解:由,解得或,故答案是或.
18.(2022·全国·高一课时练习)函数是对数函数,则___________.
【答案】3
【分析】根据对数函数的概念求出,然后代入求函数值即可.
【详解】由对数函数的概念可知,
解得,所以,
则.
故答案为:3.
四、解答题
19.(2022·全国·高一专题练习)计算:
(1);
(2)求的值:.
【答案】(1)0;
(2).
【分析】(1)根据对数的运算法则计算即可;
(2)根据对数的概念将对数式改为指数式即可求解.
(1)
原式
=0;
(2)
.
20.(2022·辽宁·大连二十四中高一期末)2021年04月17日,在“实现碳达峰、碳中和,企业何为”论坛上,中华环保联合公副主席杨朝飞表示:“环境污染实际上就是资源的浪费,不管什么污染物,原本都是资源.因为没有充分利用,排放出去,进入到水、空气、土壤中,变成了污染源.”这就要求企业主动升级.为此,某化工企业积极探索先进技术,来减少排放的废气中所含有的污染物的浓度.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物浓度为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度为,则第次改良工艺后所排放的废气中的污染物浓度可由函数模型给出,其中是指改良工艺的次数.已知改良工艺前排放的废气中污染物浓度为的(单位:),第一次改良工艺后排放的废气中污染物浓度为(单位:).
(1)求的值并写出改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度的函数模型;
(2)依据国家环保要求,企业所排放废气中含有的污染物浓度不能超过0.08,(单位:)试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物浓度达标.(参考数据:取)
【答案】(1),,
(2)6次
【分析】(1)由题意可得,,,故当时,,代入数值,即可求解.
(2)根据已知条件,可得,化简整理,结合对数运算公式,即可求解.
(1)
解:令则,,
所以,即.
则改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度的函数模型为,;
(2)
解:由题意:,,
两边取以10为底的对数,得,
∵,∴,,的最小值为6
至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物浓度达标.
21.(2022·湖南·高一课时练习)记,(且),写出和的具体表达式并化简.尝试说明这里的表达式和化简结果与对数的基本恒等式和的关系.
【答案】;,关系见解析.
【分析】将函数的解析式代入,并利用对数的运算性质化简可得答案,观察对照与对数恒等式间的关系得出结论.
【详解】由,(且)
则
的表达式即为恒等式;
的表达式即为恒等式
【能力提升】
一、单选题
1.(2022·陕西汉中·高一期末)已知,则a,b,c的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断的范围,即可判断大小,即得答案.
【详解】由于,
故,
故选:C
2.(2022·宁夏银川·高一期末)设函数,若是奇函数,则的值是( )
A.2 B. C.4 D.
【答案】D
【分析】根据为奇函数,可求得,代入可得答案.
【详解】若是奇函数,则,
所以,,
.
故选:D.
3.(2022·全国·高一课时练习)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】将不等式变为,根据的单调性知,以此去判断各个选项中真数与的大小关系,进而得到结果.
【详解】由得:,
令,
为上的增函数,为上的减函数,为上的增函数,
,
,,,则A正确,B错误;
与的大小不确定,故CD无法确定.
故选:A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到的大小关系,考查了转化与化归的数学思想.
4.(2022·全国·高一课时练习)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得、、,利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系,由,得,结合可得出,由,得,结合,可得出,综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、,,;
由,得,由,得,,可得;
由,得,由,得,,可得.
综上所述,.
故选:A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用,考查推理能力,属于中等题.
二、多选题
5.(2021·全国·高一单元测试)存在函数满足:对于任意都有( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【分析】根据函数的定义判断各选项的对错.
【详解】对于A,取可得,取可得,与函数定义矛盾,故A错误,
对于B,设,则,所以可化为,B正确,
对于C,设,则,所以可化为,C正确,
对于D,设,则,所以可化为,D正确,
故选:BCD.
6.(2021·全国·高一课时练习)函数在上是减函数,那么( )
A.在上递增且无最大值 B.在上递减且无最小值
C.在定义域内是偶函数 D.的图象关于直线对称
E.,满足在上是减函数
【答案】ADE
【分析】先求得的定义域,根据复合函数的单调性、对称性,结合对数函数的性质,判断出的单调性、最值、奇偶性、对称性以及的取值.
【详解】由得,函数的定义域为.
设则在上为减函数,在上为增函数,
且的图象关于对称,所以的图象关于对称,D正确;
因为在上是减函数,所以,所以E正确;
由上述分析知在上递增且无最大值,A正确,B错误;
又,
所以C错误,
故选:ADE.
【点睛】本小题主要考查对数型复合函数单调性、对称性、最值、奇偶性,属于中档题.
7.(2021·福建省福州格致中学高一期中)对于函数,下列说法正确的有( )
A.是偶函数
B.是奇函数
C.在区间上是减函数,在区间上是增函数
D.没有最小值
【答案】AD
【分析】根据奇偶函数的定义判定A,B.再去绝对值将写成分段函数判断C,D即可.
【详解】对A,B,因为,故,
又,故为偶函数.故A正确,B错误.
对C.因为.
当时,因为在为减函数,故为减函数,所以在区间为减函数.故C错误.
对D,因为当时, 为减函数.故且当时, .
故没有最小值.故D正确.
故选:AD
【点睛】本题主要考查了函数性质的判定,需要根据奇偶性的定义以及函数图像变换与单调性的结合分析,属于中档题.
三、填空题
8.(2022·安徽·合肥市第六中学高一期末)函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x-1)是奇函数,且当时,,则________.
【答案】1
【分析】由函数f(x)是定义在R上的偶函数及f(x-1)是奇函数得到函数的周期,进而根据函数的性质求得答案.
【详解】根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,则有f(-x)=f(x),又f(x-1)是奇函数,则f(-x-1)=-f(x-1),所以f(x+2)=f[-(x+2)]=f[-(x+1)-1]=-f[(x+1)-1]=-f(x),即f(x+2)=-f(x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,则,,故.
故答案为:1.
9.(2022·河南南阳·高一期末)若函数的定义域为,则函数的定义域为______.
【答案】
【分析】利用的定义域,求出的值域,再求x的取值范围.
【详解】 的定义域为
即 的定义域为
故答案为:
10.(2022·全国·高一单元测试)已知函数,,则________.
【答案】
【分析】发现,计算可得结果.
【详解】因为,
,且,则.
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质,由函数解析式,计算发现是关键,属于中档题.
四、解答题
11.(2022·云南保山·高一期末)已知函数.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若,且,求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用对数运算将函数化简,再使用换元法即可求得函数值域;(2)用换元法得到两根的关系,再根据方程有两根,以及韦达定理,即可求得参数范围.
(1)
因为定义域为,
则
设,
令,
所以值域为
(2)
设,
因为
所以
即,
即,所以
则的两根为
整理得
因为
解得
再由韦达定理可得:
则
解得
综上,
12.(2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末)已知函数(a>0且a≠1)的图象过点.
(1)求的值;
(2)若,求的定义域并判断其奇偶性.
【答案】(1);
(2)定义域为,偶函数.
【分析】(1)根据给定条件结合指数式与对数式的互化计算作答.
(2)由(1)求出的解析式,列不等式求定义域,利用奇偶性定义判断作答.
(1)
因函数(a>0且a≠1)的图象过点,则,即,又且,解得,
所以的值是3.
(2)
由(1)知,,则,
由得,因此,的定义域为,
,有,则,即有是偶函数,
所以定义域为,是偶函数.
13.(2022·辽宁·高一阶段练习)已知函数为奇函数.
(1)求实数a的值.
(2)当时,的值域为的值域为同时成立,求b,c的值.
【答案】(1)-1
(2)
【分析】(1)根据奇函数的定义求出a即可;
(2)令,转化为,利用二次函数的单调性即可求解,再由简单的指数方程求出即可.
(1)
因为函数为奇函数
所以
解得:
(2)
由(1)知,
则,
令,
则,
由题意,时,
因为,
所以,即
所以时,为增函数.故
所以m,n为的两个根.解得
又为增函数,所以当时,
解得:.
14.(2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末)已知函数的图象过点与点.
(1)求,的值;
(2)若,且,满足条件的的值.
【答案】(1),;(2).
【分析】(1)由给定条件列出关于,的方程组,解之即得;
(2)由(1)的结论列出指数方程,借助换元法即可作答.
【详解】(1)由题意可得,解得,,
(2)由(1)可得,而,且,
于是有,设,,
从而得,解得,即,解得,
所以满足条件的.
15.(2022·全国·高一课时练习)设为定义在上的奇函数,且当时,.
(1)求当时,的解析式;
(2)解不等式.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)根据得到,由此求解出的解析式,再根据奇偶性可知,则时的解析式可求;
(2)对进行分类讨论:、、,分别求解出不等式的解集然后取并集求得结果.
【详解】解:(1) 当时,,,
所以;
(2)当时,,解得 ;
当时,,满足题意;
当时, ,解得;
综上可知,解集为.
16.(2022·全国·高一课时练习)已知函数.
(Ⅰ)若,求函数的定义域和值域;
(Ⅱ)若函数的定义域为,值域为,求实数的值.
【答案】(Ⅰ)定义域为,值域为;(Ⅱ).
【分析】(Ⅰ)由,得到,由,求解,即可得出定义域;令,得到,根据判别式法,即可求出结果;
(Ⅱ)由定义域为可得:恒成立,即,令,由于的值域为,则,又,根据判别式大于等于0,解集为,得到和是方程的两个根,由根与系数关系,列出方程组,求解,即可得出结果.
【详解】(Ⅰ)若,则,由,得到
,得到,故定义域为.
令,则
当时,符合.
当时,上述方程要有解,则,得到或,
又,所以,
所以,则值域为.
(Ⅱ)由于函数的定义域为,则恒成立,则,即,令,由于的值域为,则,而
,则由解得 ,故和是方程即的两个根,则,得到,符合题意.所以.
【点睛】本题主要考查求函数定义域,以及由函数值域求参数的问题,熟记函数求值域的方法,以及三个二次之间关系即可,属于常考题型.