2023中考数学一轮复习专题02 二次根式(同步练习卷）（通用版）

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第02讲 二次根式（精练）
二次根式有意义的条件

1. （2021秋•龙华区校级期中）设x，y为实数，且y＝6++，则|﹣x+y|的值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式，求出x，代入y＝6++求出y，把x、y的值代入|﹣x+y|计算．
【解答】解：∵，
∴，
∴x＝4．
∴y＝6，
∴|﹣x+y|＝|﹣4+6|＝2；
故选：B．
【点评】本题主要考查了解不等式组、代数式求值、二次根式有意义的条件，掌握根据二次根式有意义的条件列不等式，是解题关键．
2. （2021春•海淀区校级期末）如果是一个正整数，那么可取的最小正整数值为　　
A．2 B．4 C．3 D．12
【分析】由可得答案．
【解答】解：，
若是一个整数，则可取的最小正整数是3，
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
3. （2021春•龙岩期末）若在实数范围内是二次根式，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围
【解答】解：由题意可知：，
，
故选：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
4. （2020秋•汝阳县期末）无论取任何实数，下列一定是二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：、，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
、，根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
、，根号下部分不可能小于零，故此选项正确；
、，根号下部分有可能小于零，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5. （2021春•饶平县校级期中）下列式子：，，，，，，中，一定是二次根式的是　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，逐一判断．
【解答】解：在所列式子中，一定是二次根式的是，，，这4个，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
6. （2020春•晋中月考）如图，在数轴上所表示的的取值范围中，有意义的二次根式是　　

A． B． C． D．
【分析】根据数轴得出，再根据二次根式的定义和分式有意义的条件逐个判断即可．
【解答】解：从数轴可知：，
．当时，无意义，故本选项不符合题意；
．当时，有意义，故本选项符合题意；
．当时，无意义，故本选项不符合题意；
．当时，无意义，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，分式有意义的条件和二次根式的定义等知识点，能根据数轴得出是解此题的关键．
7. （2021秋•亳州月考）函数的自变量的取值范围是　　
A． B．
C．或且 D．且
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件得出且，再求出答案即可．
【解答】解：要使有意义，必须且，
解得：且，
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和函数自变量的取值范围等知识点，知道式子中是解此题的关键．
8. （2021春•凤山县期末）已知实数，满足，则的值是　　
A．1 B．4 C．5 D．9
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即可得到的值，进而得出的值．
【解答】解：实数，满足，
，
解得，
，
故的值是1．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式中的被开方数是非负数是解题关键．
9. （2020秋•乐亭县期末）已知，则的值是　　
A． B．3 C．5 D．
【分析】依据二次根式中被开方数为非负数，即可得到的值，进而得出的值，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可得，
解得，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及化简，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键．
10. （2021秋•静安区校级月考）若在实数范围内有意义，则取值范围是 　　．
【分析】根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．
11. （2021秋•徐汇区校级月考）要使式子有意义，则实数的取值范围是 　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式组求解．
【解答】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点为分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决此题关键．
12. （2021•开江县模拟）已知，都是实数，，则的值为 　8　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求出的值，进而可求出的值，最后代入原式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
，
原式，
故答案为：8．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
13. （2021秋•浦东新区校级月考）已知：，则　4　．
【分析】根据题意得出且，求出，再求出，最后求出答案即可．
【解答】解：要使有意义，必须且，
解得：，
当时，，
所有，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和求代数式的值，能根据二次根式有意义的条件得出不等式是解此题的关键．
14. （2021秋•浦东新区校级月考）若实数满足，则的值为 　31　．
【分析】已知等式整理后，利用非负数的性质求出的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由，得到，即，
已知等式整理得：，即，
两边平方得：，
解得：，
故答案为：31．
【点评】此题考查了实数的运算，以及算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
15. （2021春•芜湖期末）若，则　2021　．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，根据的取值范围去绝对值，化简即可得出答案．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：，
，
，
原式可化为：，
，
，
，
故答案为：2021．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
16. （2021春•澄海区期末）若实数，满足关系式，则　　．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到，代入关系式得到，从而得到．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：，
，
，
根据分式有意义的条件得：，
，
，
代入关系式得：，
，
，故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果，被开方数互为相反数，那么，这是解题的关键．
【解题技巧】
1.判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．






























最简二次根式

1. （2021秋•虹口区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是　　
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．
2. （2021秋•松江区期中）在下列各式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，被开方数不含分母，被开方数不含有能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫最简二次根式．
3. （2021秋•将乐县期中）下列二次根式属于最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：．是最简二次根式，故本选项符合题意；
．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．
4. （2019秋•叶县期末）把二次根式化成最简二次根式得到的结果是　　．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5. （2019春•凉州区期末）把二次根式化成最简二次根式，则　　．
【分析】根据二次根式的性质把根号内的因式开出来即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了最简二次根式和二次根式的性质，能正确根据二次根式的性质进行变形是解此题的关键．
6. （2017•双流区校级自主招生）把二次根式化为最简二次根式是　　．
【分析】根据二次根式的除法，可化简二次根式．
【解答】解：原式，
故答案为：．
【点评】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的除法是解题关键．
7. （2015秋•太原期末）将化成最简二次根式的结果为　　．
【分析】根据最简二次根式定义进行化简即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的条件是解答此题的关键．
8. （2015秋•农安县校级月考）将化为最简二次根式是　　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．



【解题技巧】
1. 二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．












二次根式的性质

1. （2021春•木兰县期末）若，则化简的正确结果是　　
A．2 B． C．6 D．
【分析】由已知可得，，原式可化为，根据绝对值的定义进行计算即可得出答案．
【解答】解：，
，，
，
即，




．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练应用二次根式的性质与化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
2. （2021春•亳州期末）实数在数轴上的位置如图所示，化简等于　　

A．2 B． C． D．4
【分析】由题得根据由算术平方根的性质，得，，进而推断出．
【解答】解：由题知：．
，．
，．
．
故选：．
【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数以及算术平方根的性质，熟练掌握数轴上的点表示的数以及算术平方根的性质是解决本题的关键．
3. （2021春•海淀区校级期末）为实数，化简：　　．
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再分类讨论，即可得出答案．
【解答】解：为实数，

，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的性质，能正确进行分类讨论是解此题的关键．
4. （2021春•永嘉县校级期末）把中根号外面的因式移到根号内的结果是　　．
【分析】判断得到为负数，利用二次根式性质化简即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
5. （2021春•饶平县校级期中）实数、、在数轴上的位置如图所示，化简的结果为　　．

【分析】先由数轴知，且，据此判断出、、的符号，再依据二次根式的性质2化简可得．
【解答】解：由数轴知，且，
则，，，
原式

，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是根据数轴判断出被开方数的底数的符号及二次根式的性质2．

【解题技巧】
二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．②a＝ （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a（a≥0）（算术平方根的意义）
















二次根式的运算

1. （2021•安徽模拟）计算的结果是　　
A．12 B． C． D．
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
2. （2021秋•普陀区校级期中）已知，，则，的关系是　　
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式
【分析】求出与的值即可求出答案．
【解答】解：，，
，
故选：．
【点评】本题考查分母有理化，解题的关键是求出与的值，本题属于基础题型．
3. （2021秋•浦东新区期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是　　
A．和 B．和 C．和 D．和
【分析】根据二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解：、，，不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；
、与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；
、与不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；
、与属于同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
4. （2021春•海珠区月考）化简：　　．
【分析】分子和分母同时乘以即可．
【解答】解：，
，
；
故答案为：．
【点评】本题考查了分母有理化，找对有理化因式，再相乘，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式的式子．
5. （2021春•永嘉县校级期末）实数的整数部分　2　，小数部分　　．
【分析】将已知式子分母有理化后，先估算出的大小即可得到已知式子的整数部分与小数部分．
【解答】解：，
，，
，即实数的整数部分，
则小数部分为．
故答案为：2；．
【点评】此题考查了分母有理化，以及估算无理数的大小，是一道中档题．
6. （2021春•前郭县期末）计算：　2　．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：


，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法，掌握是解题的关键．
7. （2021春•蒙阴县期末）计算的结果是 　1　．
【分析】按从左往右依次计算，也可以把除法化为乘法计算．
【解答】解：原式


．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除法法则和运算顺序是解决本题的关键．
8. （2021春•澄海区期末）计算的结果是 　3　．
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案．
【解答】解：原式，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
9. （2021春•黄埔区期末）计算：①　　，②　　，③　　．
【分析】①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；
②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；
③利用算术平方根的意义化简即可．
【解答】解：①；
②；
③．
故答案为：；5；．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，算术平方根的意义．二次根式的乘除法的结果一定要化成最简二次根式，这是解题的关键．
10. （2020秋•杏花岭区校级月考）计算：的结果是　　．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
11. （2021秋•黄浦区期中）如果最简根式与是同类二次根式，则x＝　﹣1　．
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2﹣6x＝5﹣2x，
解得：x1＝5，x2＝﹣1，
当x＝5时最简根式与无意义，
则x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，能得出关于x的一元二次方程是解此题的关键．
12. （2021秋•洛宁县月考）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值为 　3　．
【分析】根据同类项的定义得出，然后求解即可得出答案．
【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
13. （2020春•邗江区期中）最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 　4　．
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程组，求出方程组的解，再代入求出即可．
【解答】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，
解得：，，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查了同类二次根式和解二元一次方程组，能根据题意得出关于、的方程组是解此题的关键．
14. （2020春•太湖县期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则　2　．
【分析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答．
【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
则，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
15. （2020春•灵宝市校级月考）已化简的和是同类二次根式，则　　．
【分析】根据根指数及被开方数分别相同可列出方程，解出后可得出和的值，代入可得出答案．
【解答】解：已化简的和是同类二次根式，
可得：，
解得：，
把，代入，
故答案为：．
【点评】本题考查了同类二次根式及的知识，属于基础题，要熟练掌握最简同类二次根式的根指数相同，且被开方数相同．
16. （2021秋•南岗区校级期中）计算：　．　．
【分析】先化简二次根式，然后合并同类二次根式．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的减法运算，理解二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
17. （2021春•白云区校级月考）化简的结果是 　　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题的关键．
18. （2021春•任城区校级期末）计算的结果是 　　．
【分析】先化简，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查二次根式的加法运算，掌握二次根式的化简及合并同类二次根式．
19. （2021春•河东区期末）计算：　　．
【分析】先化简二次根式，然后合并同类二次根式．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的加减法，理解二次根式的性质正确化简各数是解题关键．
20. （2021春•金乡县期末）计算：　　．
【分析】直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
21. （2021春•樊城区期末）　　．
【分析】先化简原式，再计算即可求解．
【解答】解：，
故答案为．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
22. （2021春•甘肃期末）计算：　2　．
【分析】先开方、去括号，再合并同类二次根式即可得到答案．
【解答】解：原式

．
故答案为：2．
【点评】此题考查的是二次根式的减法运算，掌握其运算法则是解决此题关键．
23. （2021•西吉县一模）计算的结果是 　　．
【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：原式
．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式相加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
24. （2021春•营口期末）计算：　　．
【分析】先把化为最简二次根式，再根据去绝对值法则进行计算，再根据二次根式加减法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减及绝对值的化简，熟练掌握相关法则进行计算是解决本题的关键．
25. （2021秋•虹口区校级期中）计算：　　．
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式


．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和分母有理化是解决问题的关键．
26. （2021•胶州市一模）计算：　11　．
【分析】根据乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算．
【解答】解：原式


．
故答案为11．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
27. （2021•西城区校级开学）　　．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的乘法运算法则化简，进而合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
28. （2021秋•安岳县校级月考）已知，，求代数式的值 　　．
【分析】根据，，可得，，再将代数式变形为，合并同类项后代入计算即可求解．
【解答】解：，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是根据题意得到，．
29. （2021•岳池县模拟）请阅读材料，并解决实际问题：海伦秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积．这个公式称海伦公式．秦九韶（约，我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦秦九韶公式求的面积为 　　．
【分析】直接利用已知公式求出的值，进而代入三角形面积公式得出答案．
【解答】解：，，，
，
这个三角形的面积：


．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
30. （2021春•红塔区期末）已知三角形的三边长分别为，，，求其面积，古希腊的几何学家海伦，约公元50年）著作《度量》一书中，给出海伦公式（其中：我国南宋时期数学家秦九韶（约约，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式．海伦公式与秦九公式只是形式不同，实质上是同一个公式．若一个三角形的三边长分别为，2，，在以上两种形式的公式中，选择恰当的公式进行代入计算，可得这个三角形的面积为 　　．

【分析】根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：若一个三角形的三边长分别为，2，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
31. （2021春•汤阴县期末）古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．在中，，，所对的边长分别为，，，若，，，则的面积为 　　．
【分析】根据海伦秦九韶公式解决此题．
【解答】解：，，，
．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．


【解题技巧】
二次根式的运算
(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并；
(2)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)；
(3)二次根式的除法：=(a≥0，b＞0)；