2023中考数学一轮复习专题08 不等式及不等式组(同步练习卷）（通用版）

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第08讲 不等式及不等式组（精练）
不等式及其性质

1. （2021春•罗湖区期末）我市某一天的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温变化范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的定义进行选择即可．
【解答】解：这天的最高气温是，最低气温是，
当天我市气温变化范围是，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键．
2. （2021春•江都区校级期末）下列各式中，不是不等式的是　　
A． B． C． D．
【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【解答】解：、是不等式，故不符合题意；
、是代数式，不是不等式，故符合题意；
、是不等式，故不符合题意；
、是不等式，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：、、、、．
3. （2021春•怀安县期末）下列式子：
①；②；③；④；⑤；⑥，
其中不等式有　　个
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据不等式定义可得答案．
【解答】解：①；②；③；⑤；⑥是不等式，共5个，
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
4. （2021春•罗湖区校级期末）给出下列数学表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是　　
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【解答】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤，共3个．
故选：．
【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：，，，，．
5. （2021秋•龙湾区期中）若，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质进行解答．
【解答】解：、在不等式的两边同时减去5，不等式仍然成立，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时除以5，不等式仍然成立，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等式号方向改变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等式号方向改变，即，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6. （2021秋•西湖区校级期中）已知，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知得出，再根据即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
7. （2021秋•西湖区校级期中）如果，，那么下列不等式中不成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
8. （2021秋•西湖区校级期中）已知，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：、在不等式的两边同时减去2，不等式仍成立，即，原变形错误，故本选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以2，不等式仍成立，即，原变形错误，故本选不项符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等式的符号方向改变，即，在不等式的两边同时加上3，不等式仍成立，即，原变形正确，故本选项符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等式的符号方向改变，即，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质．
9. （2021•梁园区校级一模）若，，则下列式子不一定成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
【解答】解：．当，，，时，，故本选项符合题意；
．若，，则，故本选项不合题意；
．若，，则，故本选项不合题意；
．若，，则，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
10. （2021•漳浦县模拟）已知，则，其根据是　　
A．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变
B．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
C．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
D．以上答案均不对
【分析】根据不等式的性质分析求解．
【解答】解：，
系数化1，得：，
这是依据的不等式性质3，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
故选：．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
不等式的性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等式的方向不变；
不等式的性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
11. （2021春•丰宁县期末）下列方程或不等式的变形中用到分配律的是　　
A．由，得 B．由，得
C．，得 D．由，得
【分析】根据各个选项中的式子，可以判断哪个选项中的式子用到的是分配律，本题得以解决．
【解答】解：．由，得，用到的是乘法分配律，故本选项符合题意；
．由，得，用的是等式的基本性质，故本选项不合题意；
．由，得，用的是等式的基本性质，故本选项不合题意；
．由，得，用的是不等式的基本性质，故本选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质以及二元一次方程的解，解决本题的关键是掌握不等式或等式的性质．
12. （2020春•椒江区期末）已知，若，则的取值范围是　　．
【分析】根据已知条件可以求得，然后将的值代入不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
【解答】解：由得，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
13. （2019秋•北碚区校级期末）已知，若满足，那么的取值范围是　　．
【分析】由，表示出，代入已知不等式中计算即可求出的范围．
【解答】解：由，得到，
代入已知不等式得：，
去分母得：，即，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组．能够正确用表示出是解本题的关键．
14. （2020春•齐齐哈尔期末）已知，且，，则的取值范围是　　．
【分析】利用不等式的性质解答即可．
【解答】解：，
，
又，
，
．
又，
，①
同理得：，②
由①②得
的取值范围是；
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如取表示另一个量如，然后根据题中已知量的取值范围，构建另一量的不等式，从而确定该量的取值范围，同法再确定另一未知量的取值范围．

【解题技巧】
①不等式：
基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．
注意问题归纳： 不等式组的解集是所有解得公共部分．
②不等式的性质：
基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．
注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
























一元一次不等式的解法及其解集表示

1. （2021春•金山区期末）如果不等式组的解集是，那么的值可能是　　
A． B．0 C． D．1
【分析】根据不等式组的解集是，确定的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：不等式组的解集是，
，
而，，，，
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的解集的意义是正确解答的前提．
2. （2020•莒县模拟）若不等式组的解集是，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据不等式组的解集得出不等式组，进而解答即可．
【解答】解：不等式组的解集是，
，
解得：，
故选：．
【点评】此题考查不等式组的解集，关键是根据不等式组的解集得出不等式组．
3. （2017春•新野县期中）不等式组的解集中任何的值均在的范围内，则的取值范围是　　
A． B． C． D．且
【分析】首先求出不等式组的解集是多少，然后根据不等式组的解集中任何的值均在的范围内，求出的取值范围即可．
【解答】解：，
，
不等式组的解集中任何的值均在的范围内，

的取值范围是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式组的解集，要熟练掌握，解答此题的关键是求出不等式组的解集是多少．
4. （2021春•甘孜州期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就符合题意．
【解答】解：、是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
、是二元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
、不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
、是一元一次不等式，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，能熟记一元一次不等式的定义的内容是解此题的关键．
5. （2021春•天心区期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【解答】解：依题意得：且，
解得．
故选：．
【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
6. （2021•兰州）关于的一元一次不等式的解集在数轴上表示为　　
A． B．
C． D．
【分析】解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．
【解答】解：，
，
，
．

故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式解题步骤，移项、合并同类项、把系数化为1是解题关键．
7. （2021春•罗湖区校级期末）在，，，，，中，是一元一次不等式的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【解答】解：是一元一次不等式的有：，共有2个．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
8. （2020秋•北碚区校级期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　　
A．4 B．2 C．4或2 D．不确定
【分析】根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意，，
所以，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义和绝对值．解题的关键是明确一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0．
9. （2020春•建安区期末）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义得出，求出的值，再把的值代入原式，再解不等式即可．
【解答】解：是关于的一元一次不等式，
，
，
，
该不等式的解集是；
故选：．
【点评】此题考查了一元一次不等式的定义和解法，关键是根据一元一次不等式的定义求出的值．
10. （2018秋•澧县期末）下列式子中，是一元一次不等式的有　　
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【解答】解：①是等式；
②中含有两个未知数，属于二元一次不等式；
③的左边不是整式；
④是一元二次不等式；
⑤符合一元一次不等式的定义．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
11. （2019春•寿光市期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　　
A．4 B． C．3 D．
【分析】根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意，解得，
所以．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0．
12. （2021春•饶平县校级期末）若是关于的一元一次不等式，则　　．
【分析】根据一元一次不等式的定义求解即可．
【解答】解：是关于的一元一次不等式，
，且．
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
13. （2020春•东坡区期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为　2　．
【分析】根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可．
【解答】解：不等式是一元一次不等式，
，
解得：，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．
14. （2020春•高新区校级月考）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　4　．
【分析】根据一元一次不等式的定义得出且，再求出即可．
【解答】解：是关于的一元一次不等式，
且，
解得：，
故答案为：4．
【点评】本题考查了绝对值和一元一次不等式的定义，能根据一元一次不等式的定义得出且是解此题的关键．
15. （2020春•凉山州期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为　4　．
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．
【解答】解：是关于的一元一次不等式，
，，
解得：，
故答案为：4
【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．
16. （2019春•南昌期末）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为　　．
【分析】先根据一元一次不等式的定义，且，先求出的值是0；再把代入不等式，整理得：，然后利用不等式的基本性质将不等式两边同时加上1，再同时除以，不等号方向发生改变，求解即可．
【解答】解：根据不等式是一元一次不等式可得：且，
原不等式化为：
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
本题主要考查：一元一次不等式的定义和其解法．“不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变”是所本题考查的解不等式的两个依据．
17. （2021秋•九龙坡区校级期中）若方程组的解满足，则的的取值范围为 　　．
【分析】根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：，
①②，得，
，
，
解得，，
故答案为：．
【点评】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确接一元一次不等式的方法．
18. （2021秋•西湖区校级期中）若，则的取值范围为 　　．
【分析】将左边4移到不等号右边即可．
【解答】解：
移项得：，
的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次方程的基本步骤是本题的关键．
19. （2021春•兴城市期末）不等式的解集是 　　．
【分析】先移项合并同类项，然后化系数为1即可．
【解答】解：移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
故答案为．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．
20. （2021•山西模拟）不等式的解集是 　　．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得．
【解答】解：，
，
，
故答案为．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
21. （2021秋•余杭区校级期中）不等式的正整数解是 　1，2　．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【解答】解：，
，
，
解得，
不等式的正整数解是：1，2；
故答案为：1，2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．



【解题技巧】
解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去 括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．



一元一次不等式组的解法及其解集

1. （2017春•雁塔区校级月考）下列不等式组：①，②，③，④，⑤．
其中一元一次不等式组的个数是　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可．
【解答】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组．
故有①②④三个一元一次不等式组．
故选：．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．
2. （2013秋•盱眙县校级期末）下列各式中不是一元一次不等式组的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可．由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组．
【解答】解：选项中存在两个未知数，
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的识别．属于基础题．
3. （2011春•阜阳校级月考）下列各式中不是一元一次不等式组的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据一元一次不等式组的定义判定则可．由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组．
【解答】解：选项中存在两个未知数，
它不是一元一次不等式组；
其它选项符合一元一次不等式组的定义．
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，此题较简单，根据一元一次不等式组的定义进行解答是此题的关键，属于基础题．
4. （2021春•新抚区期末）若关于的一元一次不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组，解之即可．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有4个整数解，
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组是解答此题的关键．
5. （2021春•吉安县期末）关于的不等式组共有3个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】先求出不等式组的解集（含字母，再根据不等式组有3个整数解确定的取值范围．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
又不等式组共有3个整数解，
不等式组的整数解为1、0、，
的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的基本步骤，并根据不等式组整数解的情况确定字母的取值范围．
6. （2021•新都区模拟）关于的不等式组有2个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】求出每个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有2个整数解，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组中的取值范围及整数解的个数得出关于的不等式组．
7. （2021春•福山区期末）若关于的不等式组有且只有3个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】先求出不等式组的解集（含有字母，利用不等式组有且只有三个整数解，逆推出的取值范围即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组的解集为，
又不等式组有且只有三个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键．
8. （2021春•富拉尔基区期末）关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，得出关于的不等式组，解不等式组确定出的范围即可．
【解答】解：，
解①得，
解②得，
因为不等式组只有4个整数解，
所以不等式组的解集为，
即不等式组只有4个整数解为，0，1，2，
所以，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9. （2021春•新余期末）若关于的不等式组恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数的值有 　4　个．
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组恰好只有2个整数解，确定出整数的值的个数即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组恰好只有2个整数解，
其整数解为0，1，
，
解得：，
则满足条件的整数的值为0，1，2，3，共4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
10. （2021春•遵义期末）若关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于的不等式组，解不等式组可得的范围．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组有四个整数解，
不等式组的整数解为、0、1、2，
则，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组有4个整数解得到关于的不等式组是关键．
11. （2021春•鹿邑县期末）若关于的不等式有且只有三个整数解，则的取值范围是 　　．
【分析】首先解两个不等式，根据不等式组只有三个整数解，即可得到一个关于的不等式组，从而求得的范围．
【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
不等式组有且只有三个整数解，
整数解一定是2，3，4．
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到．
12. （2021春•成华区期末）关于的不等式组的整数解只有4个，则的取值范围是 　　．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键
13. （2021春•灌云县期末）若关于的不等式组的整数解只有3个，则的取值范围是 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，得出不等式组的解集，再结合不等式组整数解的个数可确定的取值范围．
【解答】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的整数解只有3个，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14. （2021春•滁州期末）已知关于的不等式组的整数解只有3个，则的取值范围是 　　．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有3个，得到整数解为，0，1，
，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键．
15. （2021春•古丈县期末）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 　　．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，根据解集中有且只有两个整数解，确定出的范围即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：，
由②得：，
，
不等式组有且只有两个整数解，
不等式组的整数解为3，4，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是本题的突破点．
16. （2021春•重庆期末）若关于的不等式组至少有4个整数解，则满足的条件是 　　．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，求其整数解，进而求得的取值范围．
【解答】解：不等式组整理得，
关于的不等式组至少有4个整数解，
不等式组的整数解为0，1，2，3，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到．
17. （2021秋•上城区期中）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
这个不等式的解集为，
在数轴上表示如下：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
18. （2021秋•西湖区校级期中）解下列不等式组．
（1）；
（2）．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组解集为；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. （2021秋•建宁县期中）解不等式组：，并写出它的解集在下列数轴中表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

故不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20. （2021秋•东莞市校级月考）解不等式组，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．

【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
解集在数轴上表示为：

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
21. （2021•安溪县模拟）解不等式组：．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集是．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22. （2021•漳浦县模拟）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23. （2021•射阳县二模）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24. （2021•宜都市一模）解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
由不等式①，得：，
由不等式②，得：，
故原不等式组的解集是，
解集在数轴上表示如下所示：
．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
25. （2021•中宁县模拟）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

【解题技巧】
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．
注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．






















一元一次不等式的实际应用

1. （2021春•平罗县期末）在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场扣1分，某队预计在赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，则这个队至少胜 　27　场才有希望进入季后赛．
【分析】设这个队胜场，则负场，利用得分胜的场数负的场数，结合得分不少于48分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出这个队至少胜27场才有希望进入季后赛．
【解答】解：设这个队胜场，则负场，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
可以取的最小值为27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
2. （2021春•榆阳区期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购、两种型号的一体机共1100套，已知去年每套型一体机1.2万元每套、型一体机1.8万元，经过调查发现，今年每套型一体机的价格比去年上涨，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，则该市最多可以购买 　600　套型一体机．
【分析】设该市可以购买套型一体机，则购买套型一体机，利用总价单价数量，结合购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出型一体机的最大购买量．
【解答】解：设该市可以购买套型一体机，则购买套型一体机，
依题意得：，
解得：．
故答案为：600．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
3. （2021春•民权县期末）“祝融号”飞天之际，某校组织了一次航天科普知识竞赛，一共有25道题，规定答对一题得10分，答错（或不答）一题扣5分．小明同学的成绩超过100分，则他至少答对 　16　道题．
【分析】设小明答对了道题，则答错（或不答）道题，根据小明同学的竞赛成绩答对题目数答错（或不答）题目数结合小明同学的竞赛成绩超过100分，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了道题，则答错（或不答）道题，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
4. （2021春•夏邑县期末）2020年6月1日，李克强总理在考察山东时表示，地摊经济小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．小明的爸爸采购了一大批服装准备摆地摊，已知每套服装进价为240元，出售标价为360元，为了吸引顾客，小明爸爸准备打折销售，但要保持利润不低于，那么至多可打 　八　折．
【分析】设打折销售，利用利润售价进价，结合利润不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：设打折销售，
依题意得：，
解得：，
至多打八折．
故答案为：八．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
5. （2021春•兰山区期末）某医院为了提高服务质量，对病人挂号情况进行了调查，其调查结果如下；当还未开始挂号时，有个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人数平均每分钟增加人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若医院承诺10分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开放 　3　个窗口．
【分析】设要同时开放个窗口才能满足要求，由题意：当还未开始挂号时，有个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人数平均每分钟增加人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；当同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．列出方程组，解得解得：，，再由题意得，则，解得：，即可求解．
【解答】解：设要同时开放个窗口才能满足要求，
由题意得：，
解得：，，
，
，
解得：，
即至少同时开放3个窗口才能满足要求，
故答案为：3．
【点评】本题看了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，找准数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键．
6. （2021春•厦门期末）某科研机构计划购买甲、乙两种实验器材，其中甲实验器材每套310元，乙实验器材每套460元．若该科研机构需购买甲、乙两种实验器材共50套，且支出不超过18000元，则甲实验器材至少要购买 　34　套．
【分析】设种实验器材购买了套，则种实验器材购买了套，根据总价单价数量结合购买支出不超过18000元，列出关于的一元一次不等式，解之取最小整数值即可得出答案．
【解答】解：设甲种实验器材要购买套，则乙种实验器材要购买套，
由题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为34，
即种实验器材至少要购买34套，
故答案为：34．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
7. （2021春•丰都县期末）为保证“庆祝建党100周年文艺汇演”顺利开展，某学校王老师到滨江路采购荧光棒．发现有甲、乙、丙三种型号荧光棒，每支单价分别为2元、3元、5元，王老师想每种荧光棒都至少买一支，拿回学校供老师们讨论决定，买完后他共付钱20元，后来发现有种荧光棒买多了，准备退还这种荧光棒2支，但营业员零钱只有5元，没有足够的钱退还．此时王老师所购得的荧光棒总数最多是 　7　支．
【分析】设甲、乙、丙三种荧光棒各买支、支、支，根据题意分三种情况讨论即可．
【解答】解：设甲、乙、丙三种荧光棒各买支、支、支、、均为正整数且，，，
根据题意，得：，
显然，
①当时，，
解得：，；
②当时，，
解得：，；
③当时，，
解得：，或，，
准备退还这种荧光棒2支，但营业员零钱只有5元，没有足够的钱退还，
退还的荧光棒只能是乙种或丙种，
，，
如果退还的是乙种荧光棒，购买的就是③中，，这种情况，
此时（支，
如果退还的是丙种荧光棒，购买的就是①中，，这种情况，
此时（支，
王老师所购得的荧光棒总数最多是7支，
故答案为：7．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，关键是根据题意分类讨论．
8. （2021春•开州区期末）某公司以、两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每份含2克、2克；乙产品每份含2克、1克，甲乙两种产品每份成本价分别为、两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为16元，公司在核算成本的时候把、两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多760元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么公司每天的实际成本最多为 　860　元．
【分析】设每克种食材的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，餐厅每天实际成本为元，则每1克种食材的成本价为元，根据实际成本比核算时的成本多760元，即可得出，利用餐厅每天实际成本每份甲产品的成本销售数量每份乙产品的成本销售数量，可得出，由每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，可得出，将其代入中可求出的取值范围，取其最大值即可得出结论．
【解答】解：设每克种食材的成本价为元，每天销售份甲产品，份乙产品，餐厅每天实际成本为元，则每100克种食材的成本价为元，
依题意，得：，
化简，得：．
，，
．
餐厅每天实际成本最多为860元．
故答案为：860．
【点评】本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．
9. （2021春•江夏区期末）某种商品的进价为800元，标价为1200元．由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于，则至少可以打 　八　折．
【分析】设打了折，根据利润率，代入数据，列不等式求解．
【解答】解：设打了折，由题意得
．
解得．
答：至少打八折．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
10. （2021•宜宾二模）在“抗疫”期间，某药店计划一次购进、两种型号的口罩共200盒，每盒型口罩的销售利润为7.5元，每盒型口罩的销售利润为10元，若要求型口罩的进货量不超过型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是 　1875　元．
【分析】设购进型口罩盒，则购进型口罩盒，根据“要求型口罩的进货量不超过型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出可以取的各值，再利用总利润每盒的销售利润销售数量，可分别求出取各值时获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：设购进型口罩盒，则购进型口罩盒，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以取50，51，52，
当时，该药店在此次进货中获得的利润是（元；
当时，该药店在此次进货中获得的利润是（元；
当时，该药店在此次进货中获得的利润是（元．
，
该药店在此次进货中获得的最大利润是1875元．
故答案为：1875．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11. （2021春•邗江区校级月考）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少12元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”则这本书的价格（元所在的范围为 　　．
【分析】根据甲说：“至少12元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”可以得到相应的不等式组，从而可以得到的取值范围．
【解答】解：甲说：“至少12元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”
，
解得，
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
12. （2021春•抚顺期末）七年级下册数学课本有如下6章：《相交线与平行线》、《实数》、《平面直角坐标系》、《二元一次方程组》、《不等式与不等式组》、《数据的收集、整理与描述》．期末试卷编题要求，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，若本次期末试卷的全卷总题数为，则的取值范围是 　　．
【分析】设本次期末试卷的全卷总题数为，根据七年级下册数学课本有6章，每章至少有3个题，全卷总题数不超过26题，即可列出关于的不等式组．
【解答】解：设本次期末试卷的全卷总题数为，根据题意得
，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意得到不等关系是解题的关键．
13. （2021春•阳新县期末）为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生 　158　人．
【分析】设星期天选派同学值勤的交通路口有个，则这个中学共选派值勤学生人，根据“若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：设星期天选派同学值勤的交通路口有个，则这个中学共选派值勤学生人，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
，
．
故答案为：158．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
14. （2020秋•綦江区期末）金秋十月，丹桂飘香，重庆市綦江区某中学举行了创新科技大赛，该校初二年级某班共有18人报名参加航海组、航空组和无人机组三个项目组的比赛（每人限参加一项），其中航海组的同学比无人机组的同学的两倍少3人，航空组的同学不少于5人但不超过9人，班级决定为航海组的每位同学购买2个航海模型，为航空组的每位同学购买3个航空模型，为无人机组的每位同学购买若干个无人机模型，已知航海模型75元每个，航空模型98元每个，无人机模型165元每个，若购买这三种模型共需花费6939元，则其中购买无人机模型的费用是　4125元　．
【分析】设无人机组有人，则航海组有人，航空组有人，根据航空组的同学不少于5人但不超过9人，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数即可得出的值，根据总价单价数量结合购买这三种模型共需花费6939元，可分别求出当或时购买无人机模型的费用，利用数量总价单价可求出购买无人机模型的数量，结合该值为整数即可得出结论．
【解答】解：设无人机组有人，则航海组有人，航空组有人，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为4或5．
当时，，买航海模型的费用为（元；，买航空模型的费用为（元，
购买无人机模型的费用为（元，
购买无人机模型的数量为（个，
购买无人机模型的数量为整数，
不符合题意，舍去；
当时，，买航海模型的费用为（元；，买航空模型的费用为（元，
购买无人机模型的费用为（元，
购买无人机模型的数量为（个，符合题意．
故答案为：4125元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
15. （2021春•武城县期末）在“新冠肺炎”这场没有硝烟的战争中，各行各业都涌现出了一批“最美逆行者”，其中抗疫最前沿的就是护士．某医院安排护士若干名负责护理新冠病人，每名护士护理4名新冠病人，有20名新冠病人没人护理，如果每名护士护理8名新冠病人，有一名护士护理的新冠病人多于1人不足8人，这个医院安排了　6　名护士护理新冠病人．
【分析】设医院安排了名护士，由题意列出不等式组，则可得出答案．
【解答】解：设医院安排了名护士，由题意得，
，
解得，，
为整数，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．


【解题技巧】
基础知识归纳：
1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：
　　（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．
　　（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
　　（3）列一元一次不等式（组）　　（4）解一元一次不等式（组）．
　　（5）检验，看解集是否符合题意．
　　（6）写出答案．
2．解应用题的书写格式：
　　设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．
基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．
注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．