2023中考数学一轮复习专题11反比例函数(精讲学案）（通用版）

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第11讲 反比例函数（精讲）


1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的关系式
2. 能画出反比例函数的图像，根据图像和关系式y=(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况
3. 能用反比例函数解决简单实际问题

































知识点精析
1.反比例函数的概念：
（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝；②; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2.反比例函数图像与性质

3.反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．


考点1：反比例函数的概念、图像与性质


1. （2018•柳州）已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．


2. （2021•荆门）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象是　　

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
3. （2021•聊城）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为　　
A．B． C D．
4. （2021•黔西南州）对于反比例函数，下列说法错误的是　　
A．图象经过点 B．图象位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
5. （2021•德州）小红同学在研究函数的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当时，随的增大而增大；④该函数图象关于轴对称；⑤直线与该函数图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6. （2021•杭州）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是　　
A．和 B．和
C．和 D．和
7. （2021•青岛）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A．B． C． D．















【例题1】 （2021秋•隆回县期中）下面的函数是反比例函数的是　　
A． B． C． D．
【例题2】 （2021春•肇源县期末）若函数是反比例函数，则的值是　　
A．1 B． C．2或 D．2
【例题3】 （2021•南岗区校级开学）下面每个选项中的两种量成反比例的是　　
A．和互为倒数
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数和差
D．除数一定，商和被除数
【例题4】 （2021秋•市中区期中）反比例函数与在同一坐标系的图象可能为　　
A．B． C． D．
【例题5】 （2021秋•金牛区校级期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是　　
A．B．C． D．





【例题6】 （2021•天长市月考）函数与在同一坐标系的图象可能是下列选项中的　　
A．B．C． D．
【例题7】 （2021秋•任城区期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是　　
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当时，随的增大而增大
【例题8】 （2021秋•道县期中）对于反比例函数，下列说法不正确的是　　
A．图象分布在二、四象限内
B．图象经过点
C．当时，随的增大而增大
D．若点，，，都在函数的图象上，且时，则
【例题9】 （2021•茶陵县模拟）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为　　．









【变式1】 （2021秋•蜀山区校级期中）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是　　
A．B．C．D．
【变式2】 （2021秋•岳阳县月考）函数与在同一坐标系的图象大致是图中的　　
A．B．C． D．
【变式3】 （2021秋•新化县校级期中）在下图中，反比例函数的图象大致是　　
A．B．C． D．
【变式4】 （2021秋•瑶海区校级期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是　　

A．B．C． D．

【变式5】 （2021•河北模拟）直线与双曲线的图象如图所示，则的结果　　

A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定
【变式6】 （2021•湘潭模拟）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【变式7】 （2021•宝安区二模）函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则函数和的大致图象是　　

A．B．C． D．



【变式8】 （2021秋•栖霞市期中）已知反比例函数，则下列结论正确的是　　
A．点在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．随的增大而减小
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
【变式9】 （2021•卧龙区二模）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是　　
A．图象必经过点
B．图象在第一、三象限
C．若，则
D．点，，，图象上的两点，且，则
【变式10】 （2021秋•灌阳县期中）对于反比例函数，下列说法正确的是　　
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大
【变式11】 （2021春•沙坪坝区校级期末）已知函数是反比例函数，则的值为 　　．
【变式12】 （2021春•江岸区校级月考）已知函数是反比例函数，则的值为　　．
【变式13】 （2021•饶平县校级模拟）若函数是反比例函数，则　　．












知识点精析
待定系数法：只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.
考点2：确定函数解析式


1. （2020•上海）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是　　
A． B． C． D．
2. （2020•黔西南州）如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为　　

A． B． C． D．
3. （2021•兰州）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为4，则　　

A．16 B．12 C．8 D．4


4. （2021•西藏）如图．在平面直角坐标系中，的面积为，垂直轴于点，与双曲线相交于点，且．则的值为　　

A． B． C．3 D．
5. （2021•罗湖区）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为18，则的值为　　

A．6 B．12 C．18 D．24
6. （2020•黔南州）如图，正方形的边长为10，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的解析式为　　．





【例题1】 （2021秋•永定区期中）一个反比例函数图象过点，则这个反比例函数的解析式是 　　．
【例题2】 （2021秋•雁塔区期中）如图，菱形的边在轴上，点，，若反比个例函数的图象经过点，则反比例函数解析式为 　　．

【例题3】 （2021•路北区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象的交于点，连接，若．
（1）反比例函数的解析式为 　　；
（2）若直线与轴的交点为，则的面积为 　　．












【变式1】 （2021春•长春期末）已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的表达式是 　　．
【变式2】 （2021•广东模拟）已知平行四边形中，、，，反比例函数是经过线段的中点，则反比例函数解析式为 　　．
【变式3】 （2021•泗洪县三模）如图，反比例函数的图象经过的顶点，为斜边的中点，则过点的反比例函数图象的函数表达式为　　．









知识点精析
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：

考点3：反比例函数与几何综合


1. （2021•玉林）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 　　．

2. （2021•齐齐哈尔）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点且与反比例函数的图象交于点，，连接，．若的面积为6，则　　．

3. （2021•罗湖区）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为　　．

























【例题1】 （2021秋•招远市期中）如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是2和3，则的面积是　　

A．4.5 B．3.5 C．2.5 D．1.5
【例题2】 （2021•费县模拟）如图，点、在反比函数的图象上，、的纵坐标分别是3和6，连接、，则的面积是　　

A．9 B．8 C．7 D．6
【例题3】 如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，点在轴上，且，则的值为　　

A．7 B． C． D．5


【例题4】 （2021•十堰一模）如图，已知，，，，反比例函数的图象与线段交于，两点，若，则　　

A． B．4 C．3 D．
【例题5】 （2021春•芝罘区期末）如图，中，，点在轴上，反比例函数的图象过斜边的中点，与交于点．若的面积为3，则的值是　　

A．1 B． C．2 D．3












【变式1】 （2021秋•天长市月考）如图，点与点分别在函数与的图象上，线段的中点在轴上．若的面积为3，则的值是 　　．

【变式2】 （2021•射阳县二模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点．若，的面积为1，则的值为 　　．

【变式3】 （2021•鞍山一模）如图，点、在反比例函数的图象上，直线经过原点，点在轴正半轴上，且，，，则的值为 　　．



【变式4】 （2021秋•鄞州区月考）如图，等腰中，底边轴，与轴交于点，点，在函数的图象上，点在函数的图象上，若与的面积差为12．则的值为　　．

【变式5】 （2021•泗洪县二模）如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积为　　．

【变式6】 （2020秋•罗湖区校级期末）如图，反比例函数经过边的中点，与边交于点，且，连接，若的面积为，则的值为　　．

知识点精析
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
考点4：反比例函数与一次函数综合


1. （2021•南通）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，其中点在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交轴于，两点，则的值为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
2. （2021•威海）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，的取值范围是　　
A． B．或 C． D．或
3. （2021•宁波）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，当时，的取值范围是　　

A．或 B．或
C．或 D．或
4. （2021•通辽）定义：一次函数的特征数为，，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于，两点，且点，关于原点对称，则一次函数的特征数是　　
A．， B．， C．， D．，
5. （2021•荆州）已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与轴、轴分别交于，两点，则下列结论错误的是　　

A． B．是等腰直角三角形
C． D．当时，

















【例题1】 （2021•枣庄）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是 　　．

【例题2】 （2021•碑林区校级模拟）反比例函数与正比例函数图象的一个交点为第三象限内一点．则不等式的解集为 　　．
【例题3】 （2020秋•南平期末）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为　　．
【例题4】 （2021•雁塔区校级模拟）如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于、两点，连接、，若的面积为4，则值为 　　．






【例题5】 （2021•巴中）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点、，已知点，连接、．
（1）求，，的值；
（2）求的面积；
（3）作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值．




















【变式1】 （2021秋•道县期中）如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是 　　．

【变式2】 （2021春•新吴区期末）已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为 　　．
【变式3】 （2021•河南模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，在第二象限内，当时，的取值范围是，则　　．










【变式4】 （2021•乐山）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4．
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．













知识点精析
1.一般步骤：
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点5：实际问题与反比例函数


1. （2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是　　

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
2. （2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式是　　
A． B． C． D．





3. （2020•玉林）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方千立方米，总需用时间天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？

























【例题1】 （2021•沂源县一模）某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是　　

A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
【例题2】 （2021•朝阳区校级一模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分，则当时，大棚内的温度约为　　

A． B． C． D．





【例题3】 （2021秋•道县期中）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与药物点燃后的时间（分成正比例，药物燃尽后，与成反比例（如图所示），已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为12毫克．
（1）求药物燃烧时和药物燃尽后，与之间的函数表达式；
（2）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于6毫克，且持续5分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．

【例题4】 （2021•峨山县模拟）为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元千克，在销售过程中发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
（1）求每天的销售量与销售单价之间的函数关系；
（2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？










【变式1】 （2020秋•平舆县期末）某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是　　

A．4月份的利润为45万元
B．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元
D．9月份该企业利润达到205万元
【变式2】 （2020秋•德州期末）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是　　

A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．9月份该厂利润达到200万元
D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元

【变式3】 （2021春•沙坪坝区校级期末）为了推动“成渝地区双城经济圈”的建设，某工厂为了推进产业协作“一条链”，自2021年1月开始科学整改，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，整改前是反比例函数图象的一部分，整改后是一次函数图象的一部分，下列选项正确的有 　　．
月份的利润为50万元；
．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元；
．治污改造完成前共有4个月的利润低于100万元；
月份该厂利润达到200万元．

【变式4】 （2021秋•禅城区校级期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．
（1）求反比例函数的关系式，并求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．







【变式5】 （2020秋•如皋市期末）为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求关于的函数关系式？自变量的取值范围是什么？药物燃烧后与的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？