2023中考数学一轮复习专题13几何初步与平行线(精讲学案）（通用版）

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通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。
会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义
掌握基本事实：两点确定一条直线
掌握基本事实：两点之间线段最短
理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离
理解角的概念，能比较角的大小
认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差
理解对顶角的概念、探索并掌握对顶角的性质
理解互为余角和补角的概念
探索并掌握同角（等角）余角、补角的性质
理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线
理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离
掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
识别同位角、内错角、同旁内角
理解平行线概念
掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线
探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行
探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）
了解平行于同一条直线的两条直线平行
知识点精析
①基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
考点1：直线与线段

（2017•黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
（2021•台州）小光准备从地去往地，打开导航、显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，（如图）．能解释这一现象的数学知识是
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短C．三角形两边之和大于第三边D．两点确定一条直线
（2021•泰州）互不重合的、、三点在同一直线上，已知，，，这三点的位置关系是
A．点在、两点之间B．点在、两点之间
C．点在、两点之间D．无法确定
（2020•凉山州）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为
A．B．C．或D．或
（2019•日照）如图，已知，，为的中点，则线段的长为 ．
（2021秋•灞桥区校级期中）如图中的线段、射线或直线，根据它们的基本特征判断，其中能够相交的是
A．（1）（2）（3）B．（2）（3）（5）C．（2）（4）（5）D．（1）（4）（5）
（2020秋•郑州期末）轩轩同学带领自己的学习小组成员预习了“线段、射线、直线”一节的内容后，对图展开了讨论，下列说法不正确的是
A．直线与直线是同一条直线
B．射线与射线是同一条射线
C．射线与射线是同一条射线
D．线段与线段是同一条线段
（2020秋•新疆期末）如图，下列说法正确的是
A．直线与直线是同一条直线
B．线段与线段是不同的两条线段
C．射线与射线是两条不同的射线
D．射线与射线是同一条射线
（2021春•岳麓区校级月考）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，从地到地有三条路线，由上至下依次记为路线、、，则从地到地的最短路线是，其中蕴含的数学道理是
A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短
C．经过一点有无数条直线D．直线比曲线短
（2021秋•乌兰察布期末）已知直线上有，，三点，其中，，则 ．
（2020秋•南充期末）已知点在线段上，，，是线段的中点，则的长为 ．
（2021•饶平县校级模拟）直线上的线段、分别长，，、分别是、的中点，则 ．
（2020秋•津南区期末）如图，线段，点是上一点，，点是线段的中点，则线段的长是 ．
（2020秋•柳州期末）已知线段的长度为8，线段的中点是，的中点是，的中点是，则 ．
（2020秋•铜梁区校级期末）如图，图中以为一个端点的线段共有
A．2条B．3条C．4条D．5条
（2020秋•福州期末）下列说法正确的是
A．射线和射线是同一条射线
B．延长线段和延长线段的含义是相同的
C．延长直线
D．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线
（2020秋•子长市期末）在下列生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是
A．用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拔木条，木条能转动
B．植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程
D．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线
（2020秋•天桥区期末）如图所示，由到有①、②、③三条路线，最短的路线选①的理由是
A．两点确定一条直线B．两点间距离的定义
C．两点之间，线段最短D．因为它直
（2020秋•石狮市期末）如图，已知线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点．若，则线段的长为 ．
（2021秋•庆云县月考）线段，延长到点，使，反向延长到点，使为的中点，则线段的长为 ．
（2021秋•潍坊期中）如图，点，是线段上的两点，，，点为线段的中点，则线段的长为 ．
（2021秋•铁西区期中）已知点是直线上一点，且，若，则 ．
已知线段，若是的三等分点，是的中点，则线段的长度为 ．
（2021春•莱阳市期末）线段的长为，延长到点，使，再延长到点，使，则线段的长为 ．
（2021春•香坊区校级期末）点是线段的中点，点是线段的中点，点是直线上一点，，若，则 ．
（2020秋•香洲区期末）已知点，，都在直线上，，点，分别为，的中点，，则 ．
（2020秋•增城区期末）如图，点是的中点，，，则 ．
（2020秋•云南期末）点在直线上，，，点、分别是、的中点，则线段的长为 ．
知识点精析
①概念：
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
②角的度量：
1°＝60′，1′＝60''，1°＝3600''
③余角和补角：
（1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
④对顶角、邻补角：
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
考点2：角及相交线的相关计算

（2021•兴安盟） ．
（2019•梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是
A．B．C．D．
（2020•通辽）如图，点在直线上，．则的度数是 ．
（2017•呼伦贝尔）计算： ．
（2020秋•房山区期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是
A． B．
C．D．
（2020秋•河西区期末）如图，下列说法中不正确的是
A．与是同一个角B．与是同一个角
C．也可以表示为D．
（2020秋•偃师市月考）如图，下列说法错误的是
A．也可用表示B．也可用表示
C．也可用表示D．也可用表示
（2021秋•迁安市期中）当分针指向12，时针这时恰好与分针成的角，此时是
A．9点钟B．10点钟
C．11点钟或1点钟D．2点钟或10点钟
（2020秋•临河区期末）如图是的平分线，是的平分线，则下列各式正确的是
A．B．C．D．
（2020秋•南沙区期末）9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为 度．
（2020秋•建湖县期末）计算的结果为 ．
（2021春•龙口市期末）将用度表示为 ．
（2020秋•和平区期末） 度 分 秒．
（2020秋•武都区期末） ， ．
（2021春•香坊区校级期末）如图，是的平分线，是的平分线，已知，则 度．
（2021秋•朝阳区校级月考）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．若与重合，则为 度．
（2020秋•海曙区期末）如图，在的内部，已知是的平分线，平分，若，，则 ．
（2020秋•鄞州区期末）一个角的余角的3倍等于它的补角，则这个角的度数为 ．
（2021春•任城区校级期末）一个角的余角的2倍比这个角的补角少，那么这个角的度数是 ．
（2021春•昌图县期末）一个锐角的补角比它的余角的3倍少，这个锐角的度数是 ．
（2018秋•奈曼旗期末）比较： （填“”、“ ”或“” ．
（2021秋•菏泽月考）下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是
A．B．C．D．
（2021秋•曲阳县期中）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是
A．B．C．D．
（2020秋•雁江区期末）如图所示，是的平分线，平分，且，则的度数是
A．B．C．D．
（2020秋•紫阳县期末）如图，点是直线上的一点，若，平分，，下列结果错误的是
A．B．C．D．
（2020秋•红谷滩区校级期末）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中、、三点在同一直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是
A．B．C．D．
（2021春•东平县期末）如图，平分，平分，，则
A．B．C．D．
（2021秋•金牛区校级期中）当时钟指向上午10点20分时，时针与分针的夹角是 度．
（2020秋•渝中区校级期末）钟表上1点30分，时钟的时针与分针所夹的角是 度．
（2020秋•和平区期末）如图，方向是北偏西方向，平分，则的度数为
A．B．C．D．
（2020秋•奉化区校级期末）是内部一条射线，是平分线，是平分线，是平分线，是平分线，则
A．B．C．D．
（2020秋•拱墅区期末）计算： ．
（2021春•哈尔滨期末） ．
（2020秋•洪山区期末）计算： ．
（2020秋•江汉区期末）计算： ．
（2020秋•薛城区期末） ．（将度分秒转化成度）
（2020秋•罗庄区期末） ．
（2020秋•金昌期末） ．
（2021春•菏泽月考）一个角的余角是它的3倍，则这个角的度数是 ．
（2021春•深圳期中）一个角比它的补角的2倍还少，则这个角的度数为 度．
（2021春•沙坪坝区校级月考）一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的余角是 度．
（2021春•沙坪坝区校级期中）一个角的补角与这个角的3倍相等，则这个角的度数为 ．
（2020秋•遵化市期末）已知，，则 ．（填“大于、小于或等于”
（2010秋•江津区期末）比较大小： （填、或
（2009秋•兰溪市期末）比较大小： （填“”、“ ”或“” ．
知识点精析
①垂线：
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
考点3：垂线及其性质

（2021•桂林）如图，直线，相交于点，，则的度数是
A．B．C．D．
（2020•北京）如图，和相交于点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
（2018•贺州）如图，下列各组角中，互为对顶角的是
A．和B．和C．和D．和
（2017•贺州）下列各图中，与互为邻补角的是
A．B．
C．D．
（2021•北京）如图，点在直线上，．若，则的大小为
A．B．C．D．
（2020•陕西）如图，，直线经过点，若，则的大小为
A．B．C．D．
（2020•河北）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有
A．0条B．1条C．2条D．无数条
（2020•乐山）如图，是直线上一点，，射线平分，．则
A．B．C．D．
（2021•大庆）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点．
（2021•益阳）如图，与相交于点，是的平分线，且恰好平分，则 度．
（2019•广州）如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是 ．
（2021•自贡期末）在墙上要钉牢一根木条，至少要钉两颗钉子．能解释这一实际应用的数学知识是
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．直线比线段长
D．两条直线相交，只有一个交点
（2021春•上杭县期末）下面各图中和是对顶角的是
A．B．
C．D．
（2021春•庐江县期中）以下图形中，与表示邻补角的是
A．B．C．D．
（2021春•海口期末）如图，直线与直线相交于点，，垂足为，，则的度数
A．B．C．D．
（2021春•曹县期末）如图，，，平分，则的度数为
A．B．C．D．
（2021秋•南岗区校级期中）如图，在直线上有一点，，是的角平分线，当时， ．
（2021秋•南岗区校级月考）如图，点在直线上，于，平分，平分，则的度数为 ．
（2021春•咸安区期末）如图，中，，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
（2021春•滦南县期末）按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是
A．B．
C．D．
（2021春•拱墅区月考）在同一平面内，不重合的三条直线的交点有 个．
A．1或2B．2或3C．1或3D．0或1或2或3
（2021秋•香坊区校级期中）下列各图中，与是对顶角的是
A．B．
C．D．
（2021秋•香坊区校级期中）下列各图中，与是对顶角的是
A．B．
C．D．
（2021春•雨花区校级期末）已知与是对顶角，与是邻补角，则的度数为
A．B．C．D．
（2021春•荆门期末）图中与互为邻补角的是
A．B．
C．D．
（2021春•香洲区期末）下列图形中，与互为邻补角的是
A．B．
C．D．
（2021春•孝义市期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，若，则的度数为
A．B．C．D．
（2021春•大连期末）如图，直线与相交于点，，，则的度数为
A．B．C．D．
（2021春•松桃县期末）已知，如图所示，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是
A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角
（2021春•红塔区期末）如图，直线，与射线相交于同一点，，若，则的度数为
A．B．C．D．
（2021春•同安区月考）如图，，，表示点到直线距离的是线段 的长度．
（2021春•珠海期中）如图所示，已知，若，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ．
（2020春•杨浦区期中）如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长．
（2021秋•南岗区校级月考）如图，直线、、相交于点，，且，，则 ．
（2021秋•香坊区校级期中）如图，已知，，则点到的距离是线段 的长度．
（2021春•普陀区校级月考）如图，点到直线的距离是线段 的长度．
（2021春•柳州期末）如图，，且，，，则点到的距离是 ．
（2021春•浦东新区期末）如图，点到直线的距离是线段 的长度．
知识点精析
①三线八角
（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;（3）同旁内角：形如“U”.
②平行线：
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等两直线平行
②内错角相等两直线平行
③同旁内角互补两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
考点4：平行线的性质及其判定

（2021•贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是
A．与B．与C．与D．与
（2020•河池）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
（2019•邵阳）如图，已知两直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是
A．B．C．D．
（2018•广州）如图，直线，被直线和所截，则的同位角和的内错角分别是
A．，B．，C．，D．，
（2021•铜仁市）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
（2020•梧州）如图，已知直线，被直线所截，下列条件不能判断的是
A．B．C．D．
（2020•郴州）如图，直线，被直线，所截．下列条件能判定的是
A．B．C．D．
（2020•江西）如图，，，则下列结论错误的是
A．B．C．D．
（2021•陕西）如图，直线，直线、被直线所截，若，则的大小为
A．B．C．D．
（2021•内江）如图，，，，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•黔西南州）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•锦州）如图，，，，则的度数是
A．B．C．D．
（2021•荆州）阅读下列材料，其①④步中数学依据错误的是
A．①B．②C．③D．④
（2021•武汉）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，，求证：．
（2020•武汉）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且．求证：．
（2021秋•南岗区校级月考）下面四个图形中，与是同位角的是
A．B．
C．D．
（2021春•双峰县期末）如图，下面结论正确的是
A．和是同位角B．和是内错角
C．和是同旁内角D．和是内错角
（2021春•青龙县期末）如图，已知直线，被直线所截，下列有关与说法正确的是
A．与是同位角B．与是内错角
C．与是同旁内角D．与是对顶角
（2021春•李沧区期末）如图，和属于同位角的有
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①②⑤
（2021春•江阴市月考）如图，和不是同旁内角的是
A．B．
C．D．
（2021春•西湖区校级期中）如图，下列判断错误的是
A．和是同旁内角B．和是内错角
C．和是同旁内角D．和是同位角
（2021•碑林区校级开学）如图，已知，，，则的度数为
A．B．C．D．
（2021春•西宁期末）如图，在下列条件中，能使的是
A．B．
C．D．
（2021春•曹县期末）如图，在四边形中，若，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
（2021春•费县期末）如图，下列条件：①，②，③，④，⑤．其中能判断的是
A．①③④⑤B．②③④C．①④⑤D．①②③
（2021春•新田县期末）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，与之间的距离为5，与之间的距离为2，则与之间的距离为 ．
（2021春•宁津县期末）已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
（2021春•鹿邑县期末）如图，现有以下条件：①，；②，；③；④，其中可以得到的是
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
（2021秋•农安县期末）如图，已知，于，于．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
（2021•贺州模拟）如图，下列两个角是内错角的是
A．与B．与C．与D．与
（2021春•丰台区校级期末）下列图形中，与不具有同位角、内错角或同旁内角关系的是
A．B．
C．D．
（2021春•利川市期末）如图，点在直线上，在，，，，中，的同旁内角有
A．2个B．3个C．4个D．5个
（2021春•曾都区期末）如图，下列说法不正确的是
A．与是对顶角B．与是同位角
C．与是内错角D．与是同旁内角
（2021春•松江区期末）如图，下列判断正确的是
A．与是同位角B．与是内错角
C．与是内错角D．与是同位角
（2021春•滨江区期末）如图，下列说法不正确的是
A．和是同旁内角B．和是内错角
C．和是同位角D．和是同旁内角
（2021春•萧山区月考）如图，是同位角的是
A．B．C．D．
（2021春•宁远县期末）如图，直线截、分别交于、两点，则的同位角是
A．B．C．D．
（2021•鞍山一模）如图，，则的度数是
A．B．C．D．
（2021春•夏邑县期末）如图直线，分别被直线，所截，已知，，则的度数等于
A．B．C．D．
（2021春•渝北区期末）如图，给出下列条件①；②；③且；其中能推出的条件个数是
A．0个B．1个C．2个D．3个
（2021春•霍邱县期末）如图，已知，，垂足分别为、，下列条件不能推出的是
A．B．
C．D．
（2021春•卢龙县期末）如图，下列能判定的条件有 个．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
A．1B．2C．3D．4
（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①；②；③；④，能判断的是
A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④
（2021春•招远市期末）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；⑥，其中能判断直线的有
A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④
（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明
如图，点在上，，平分，，点．
求证：．
证明：（已知）
两直线平行，内错角相等
（已知）
即
平分（已知）

（等量代换）


（已知）

．
（2021春•德江县期末）在同一平面内，设、、是三条互相平行的直线，与之间的距离为8，与之间的距离为3，则与之间的距离为 ．
（2021春•铜仁市期末）已知直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与之间的距离是 ．
（2021春•鼓楼区校级期中）按要求完成下列证明：
已知：如图，，．求证．
证明：；
．
．
．
．
（2021春•丰台区校级期末）如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
（2021秋•福田区校级月考）已知，若，，求证：．
如图：已知直线，，求证：．
证明：①（已知）
（垂直的定义）
②又（已知）
（同位角相等，两直线平行）
③（等量代换）
④（垂直的定义）