2023中考数学一轮复习专题14三角形与全等三角形(精讲学案）（通用版）

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理解三角形、理解三角形的内角、外角
理解三角形的中线、高线、角平分线、了解三角形的稳定性
探索并证明三角形的内角和定理
掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
证明三角形的任意两边之和大于第三边
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角
掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等
掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
知识点精析
①三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
②角平分线：
（1）角平线上的点到角两边的距离相等
（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
③中线：
（1）将三角形的面积等分
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
④高：
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
考点1：与三角形有关的边

（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2018•贵阳）如图，在中有四条线段，，，，其中有一条线段是的中线，则该线段是
A．线段B．线段C．线段D．线段
（2017•永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，，，给出三角形，则这块玻璃镜的圆心是
A．，边上的中线的交点
B．，边上的垂直平分线的交点
C．，边上的高所在直线的交点
D．与的角平分线的交点
（2021•雅安）如图，将沿边向右平移得到，交于点．若．．则的值为
A．2B．4C．6D．8
（2018•河北）下列图形具有稳定性的是
A．B．
C．D．
（2021•宜宾）若长度分别是、3、5的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是
A．1B．2C．4D．8
（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 ．
（2019•南京）在中，，，，则的长的取值范围是 ．
（2021秋•东光县期中）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是
A．表示等腰三角形，表示等边三角形，表示三边均不相等的三角形
B．表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边均不相等的三角形
C．表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形
D．表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，表示等腰三角形
（2021秋•富裕县期末）如图，在中，边上的高是
A．线段B．线段C．线段D．线段
（2021秋•思茅区校级期中）如图，是的中线，，，和的周长差为
A．2B．4C．6D．10
（2021秋•河西区期中）如图所示四个图形中，线段能表示三角形的高的是
B．C．D．
（2021•诸暨市模拟）在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为．”
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．”
对以上两位同学的说法，你认为
A．两人都不正确B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确D．两人都正确
（2021春•龙华区期末）甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法
A．甲、乙两人均正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙两人均错误
（2021春•柳南区校级期末）如图，在中，．则下列说法中，正确的是
A．是的中线B．是的角平分线
C．是的高线D．是的中线
（2021秋•新丰县期中）如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于
A．2B．3C．4D．5
（2020秋•重庆期末）如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有
①是的角平分线；
②是边上的中线；
③是边上的高；
④是的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2021春•重庆期中）如图，直角三角形中，，于点，，，，，，则点到的距离是 ．
（2021秋•诸暨市校级月考）如图，在中，于，为的平分线，且，，则 ．
（2021春•罗湖区校级期末）如图，在中，，，于，于，与交于，则 ．
（2016秋•小金县校级期末）中，下列说法正确的有 （填序号）
①三条角平分线的交点到三边的距离相等；
②三条中线的交点到三边的距离相等；
③三条中垂线的交点到三顶点的距离相等；
④三边的高的交点一定在三角形的内部．
（2021春•靖江市期末）的两条边的长度分别为2和5，若第三条边为奇数，则的周长为 ．
（2021秋•黄冈期中）的两边长分别是2和7，且第三边为奇数，则第三边长为 ．
（2021春•宛城区期末）下列关于三角形的分类，正确的是
A．B．
C．D．
（2021春•道外区期末）如图，图中三角形的个数共有
A．3个B．4个C．5个D．6个
（2021秋•婺城区校级月考）如图，中，边上的高是线段
A．B．C．D．
（2021秋•杭锦后旗期中）下列说法中：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，其中说法正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
（2021秋•寿县期中）下列四个图形中，线段是的高的是
A．B．
C．D．
（2021春•信都区期末）如图，的角平分线，中线交于点，则结论：①是的角平分线；②是的中线．其中
A．①、②都正确B．①、②都不正确
C．①正确②不正确D．①不正确，②正确
（2015秋•山西校级期中）如图，、分别是的高和角平分线，且，，则 ．
（2011春•思明区校级期末）已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ．
（2010秋•泸县校级期中）如图，在中，，，交于点
（1） 是的角平分线；
（2） 是的角平分线；
（3） 是的中线；
（4） 是的中线．
（2020秋•松桃县期末）三角形的三边长分别为2，5，，则的取值范围是 ．
（2021秋•钟山县校级月考）在中，，，则的取值范围是 ．
（2021秋•孝昌县校级月考）若三角形三边分别为5，7，，则的取值范围是 ．
知识点精析
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.
考点2：与三角形有关的角

（2021•梧州）在中，，，则等于
A．B．C．D．
（2021•湖北）如图，在中，，点在上，，若，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•宿迁）如图，在中，，，平分交于点，，交于点，则的度数是
A．B．C．D．
（2021•陕西）如图，点、分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为
A．B．C．D．
（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是
A．B．C．D．
（2021•河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．求证：．
下列说法正确的是
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
（2020•湖北）将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数是
A．B．C．D．
（2021秋•江油市期末）在中，，的平分线交于点，若，则 度．
（2020秋•济阳区期末）如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为 ．
（2021秋•仙居县期中）如图，将一角折叠，若，则 ．
（2021秋•天山区校级期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，则的度数是 ．
（2021秋•宣州区校级期中）如图，平分，平分，已知，，则 ．
（2021秋•确山县期中）当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中称为“希望角”，如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 ．
（2021秋•陵城区期中）当三角形中一个内角是另外一个内角的时，我们称此三角形为“友好三角形”， 为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为，那么这个“友好三角形”的“友好角”的度数为 ．
（2021春•商河县校级期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 ．
（2021秋•江岸区校级月考）如图，的平分线与的平分线相交于．若，，则 ．
（2021秋•诸暨市期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数 ．
（2021秋•交城县期中）在中，，，则的形状是 ．
（2021秋•铜官区校级期中）中，平分，为上一点，于，，，则的度数为 ．
（2021秋•朝阳区校级期中）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则 ．
（2021秋•仓山区期中）如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为 ．
知识点精析
①全等三角形的性质：
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
②三角形全等的判定
考点3：全等三角形

（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30°B．25°C．35°D．65°
（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
（2021•重庆）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．AC∥FD
（2021•滨州）在锐角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，连接MD、MF、FE、FN．根据题意小明同学画出草图（如图所示），并得出下列结论：①MD＝FE，②∠DMF＝∠EFN，③FM⊥FN，④S△CEF=12S四边形ABFE，其中结论正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
（2021•威海）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEBB．CD∥ABC．DE＝GED．BF2＝CF•AC
（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事．
A．①B．②C．③D．①③
（2021•德州）如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 ，使△ABF≌△DCE．
（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
（2021•陕西）如图，∠A＝∠BCD，CA＝CD，点E在BC上，且DE∥AB，求证：AB＝EC．
（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
（2019•孝感）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
（2021秋•禹州市期中）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个周长相等的圆是全等图形
D．形状相同的两个图形是全等图形
（2021秋•江油市期末）如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝37°，∠C'＝23°，则∠B＝（ ）
A．60°B．100°C．120°D．135°
（2020秋•铜官区期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．BE＝DCD．AD＝DE
（2021秋•武昌区月考）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝（ ）
A．8B．173或6C．10D．193或6
（2021秋•肇源县期末）如图，AD和BC相交于O点，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加（ ）
A．AB＝CDB．∠A＝∠CC．OB＝ODD．∠AOB＝∠COD
（2021秋•博兴县期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，若AB＝DE，BC＝EF，则下列条件中能满足△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠EDFB．AD＝CFC．∠BCA＝∠FD．BC∥EF
（2021秋•天河区校级期中）如图，在△ABE和△CDF中，点C、E、F、B在同一直线上，BF＝CE，若AB∥CD，∠A＝∠D．求证：AB＝CD．
（2021秋•新吴区期中）如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．
（2021秋•思南县期中）有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2021秋•海淀区校级期中）如图各组两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
（2021秋•新泰市期中）如图，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是（ ）
A．26°B．22°C．34°D．30°
（2021秋•单县期中）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝96°，则∠BAC的度数的值为（ ）
A．84°B．60°C．48°D．42°
（2021秋•富县期中）如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为（ ）
A．35°B．30°C．60°D．65°
（2021秋•盐湖区期中）如图，点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE．若∠A：∠C＝5：3，则∠DBC的度数为（ ）
A．12°B．24°C．20°D．36°
（2021秋•滨江区校级期中）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，当BC∥OA时，∠ABO的度数为（ ）
A．26°B．32°C．36°D．38°
（2020秋•袁州区校级月考）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，当添加一个条件时，仍不能判定△ABC≌△DEF，则这个添加的条件是（ ）
A．∠B＝∠EB．AC∥DFC．BC＝EFD．AC＝DF
（2020秋•番禺区期末）如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A．AC＝ADB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．∠CBE＝∠DBE
根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠C＝90°，∠B＝30°D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
（2020秋•石狮市期末）如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DFB．AB＝DEC．∠A＝∠DD．AB∥DE
（2020秋•永城市期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
（2021秋•德州期中）如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
（2021秋•郸城县期中）如图，在△ABC和△FED，A、F、C、D在同一直线上，AC＝FD，AB＝DE，当添加条件 时，就可得到△ABC≌△DBF（只需填写一个你认为正确的条件即可）．
（2021秋•潍坊期中）如图，若要判断△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是 ．
A．∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠B
B．AC＝AB，AD＝AE
C．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE
D．AC＝AB，CD＝BE
（2021秋•覃塘区期中）如图，已知AB＝AC，∠ABD＝∠ACF，∠ADB＝∠AFC，点D、E、F、C在同一条直线上，对于下列四个结论：①△ABD≌△ACF；②AD＝AF；③∠DAF＝∠BAC；④△BCE≌△BAD．其中正确结论的序号是 ．
（2018春•原州区期末）已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
（2019秋•恩阳区 期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，BF＝CE，求证：AE＝AF．
（2021秋•肇源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
证法1：如图，
（三角形内角和定理），
又（平角定义），
（等量代换）．
（等式性质）．
证法2：如图，
，，
且（量角器测量所得）
又（计算所得）
（等量代换）．