2023中考数学一轮复习专题16相似三角形(同步练习卷）（通用版）

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（2021秋•乐平市期中）若，且，则下列式子成立是
A．B．C．D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：、，
，故本选项错误，不符合题意；
、，
，故本选项正确，符合题意；
、，
，故本选项错误，不符合题意；
、，
，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
（2021•山西模拟）如图，在中，，，以点为圆心任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，若，则的长为
A．B．C．D．
【分析】证，再证，得，则，则点是的黄金分割点，求出的长，即可求解．
【解答】解：，，
，
由题意得：平分，
，
，，
，，
，，
点是的黄金分割点，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（2021秋•朝阳区期末）如图，直线，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，则的长为
A．1.5B．6C．9D．12
【分析】由，可得，由此即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确应用平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
（2020秋•徐汇区期末）若，则 12 ．
【分析】根据比例的性质即可得出答案．
【解答】解：，
，
，
故答案为12．
【点评】本题主要考查比例的性质，关键是要能根据比例的性质得出．
（2020秋•富川县期末）已知，则 ．
【分析】根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，因此可以把看作比例的两外项乘积，看成比例的两内项乘积，然后转化成比例式．
【解答】解：因为，根据比例的基本性质得．
故答案为：．
【点评】此题重在考查比例的基本性质及其运用，只要掌握住比例的基本性质，此类问题很好解决．
（2021秋•徐汇区校级月考）已知，，则 ．
【分析】利用，可设，，再利用比例性质得到，即，则可用表示，所以，然后约分即可．
【解答】解：，
设，，
，
，即，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．
（2021•禹州市一模）若，则的值为 2 ．
【分析】直接利用比例的性质将原式变形进而得出答案．
【解答】解：，
，
故，
则．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
（2020秋•铜仁市期末）在比例尺为地图上，量得甲、乙两地的距离是，则两地的实际距离为 240 ．
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离即可直接得出实际的距离．
【解答】解：根据比例尺图上距离：实际距离，得：甲、乙两地的实际距离为．
故答案为：240．
【点评】本题考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
（2021秋•锡山区校级期中）在比例尺的地图上，量得两城市的距离为6.4厘米，则这两城市的实际距离为 512 千米．
【分析】根据比例尺代入数据计算即可．
【解答】解：设两城市的实际距离为，
比例尺，
，
，
这两城市的实际距离为512千米．
故答案为：512．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺是解题的关键．
（2021秋•鹿城区校级期中）已知线段，，则线段，的比例中项是 6 ．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：设比例中项为，根据比例中项的概念结合比例的基本性质，
得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，
所以，即，解得，（不合题意，舍去），
故答案为：6．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．
（2021•任城区一模）如图，，，，，则的值为 4 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可得到的长．
【解答】解：，
，
，，，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
（2021•铁岭模拟）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，，则 7.2 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：，
，即，
解得，，
故答案为：7.2．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
（2020秋•姜堰区期末）如图，是的中线，点在边上，交于点，若，，则的长度为 1.2 ．
【分析】过点作交于点，如图，利用得到，则，所以，再利用得到，然后利用比例的性质求．
【解答】解：过点作交于点，如图，
是的中线，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
．
故答案为1.2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作为解题的关键．
（2020秋•马鞍山期末）如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于点，若，则的长为 9 ．
【分析】过点作交于，如图，先由，根据平行线分线段成比例得到，再由得到，然后利用比例的性质求的长．
【解答】解：过点作交于，如图，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为9．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
（2021秋•松江区月考）如图，，，，那么 4 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理由可以得出，再根据条件就可以求出结论．
【解答】解：，
．
，
，
．
，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，解答时找准对应线段是解答的关键．
（2020秋•金山区期中）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，，如果，，那么的长为 6 ．
【分析】由直线，推出，由，即可推出．
【解答】解：直线，
，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，熟记“两条直线被一组平行线所截，所截的对应线段成比例”是解决问题的关键．
（2020秋•西城区校级期中）如图，在中，，若，，则等于 4 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质计算的长．
【解答】解：，
，
，
即，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
（2020秋•成华区校级月考）如图，在中，，，则 ．
【分析】作交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点作交于，
则，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
【解题技巧】
①平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
相似三角形的判定
如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是
A．B．C．D．
【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：，
．
、，，故本选项不符合题意；
、，，故本选项不符合题意；
、，，故本选项不符合题意；
、，与的大小无法判定，无法判定，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
（2021秋•驻马店期中）如图，在中，是边上的一点，且，，则下列说法不正确的是
A．B．
C．D．
【分析】由平行四边形的性质得出，．证明．由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，．
．
，
，，，
，，选项不符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，利用平行判定三角形相似是解题的关键．
（2021秋•周口月考）如图，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是
A．B．C．D．
【分析】由图可知有公共角，结合相似三角形的判定条件进行分析即可．
【解答】解：由题意可得，
、当时，能判定，故不符合题意；
、当时，不能判定，故符合题意；
、当时，有，能判定，故不符合题意；
、当时，能判定，故不符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
（2021秋•金安区校级期中）如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
【解答】解：在和中，，
当时，满足两组角对应相等，可判断，故正确；
当时，满足两组角对应相等，可判断，故正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断，故不正确；
故选：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．
（2021秋•大连期中）如图，中，点是上一点，补充下列条件后，仍不能判定的是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
【解答】解：、根据题意可知：，，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
、根据题意可知：，，由两角对应相等两三角形相似．本选项不符合题意．
、根据题意可知：，，根据两边成比例夹角相等两三角形相似，本选项不符合题意．
、根据题意可知：由条件无法判断两三角形相似．本选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（2021秋•包河区期中）在中，为边上一点，则下列条件一定能得到一对相似三角形的是
A．B．C．D．
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似，可判定．
【解答】解：如图，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（2019秋•白银区校级期中）如图，在中，已知，点、、、分别在同一条直线上，且，求证：．
【分析】由条件可得到，结合和，可得到，即可证得结论．
【解答】证明：，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等．
（2021秋•房山区期中）已知：如图，在中，，于，求证：．
【分析】根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（2021秋•浦东新区校级月考）已知：如图，，求证：．
【分析】根据，得到，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】证明：，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（2021秋•市中区期中）如图，已知，求证：．
【分析】根据题意，可得：，，变形可得：，又因为，即，从而求解．
【解答】证明：，
，，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形判定条件是解决问题的关键．
（2021春•朝阳区校级期末）如图所示，在四边形中，是的角平分线，且，求证：．
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】证明：平分，
，
，
，
．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
（2021•余干县校级二模）如图，在平行四边形中，为上一点，连接，为上一点，且．求证：．
【分析】由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，且，
又，
，
，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和平行线的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（2020秋•宁德期末）如图，在矩形中，点是边上的点，，垂足为．求证：．
【分析】利用“两角法”证得结论．
【解答】证明：四边形是矩形，
．
．
又，
．
．
．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和矩形的性质，注意解题过程中“等角的余角相等”的应用．
【解题技巧】
相似三角形的判定
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）两角对应相等，两三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（4）三边对应成比例，两三角形相似；
（5）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
（6）直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
相似三角形的性质
（2021秋•扬州月考）如图，已知，若，，，则的长是
A．12B．13C．14D．15
【分析】直接利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：，
，
，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．
（2021秋•闵行区校级期中）如果两个相似三角形对应边之比，那么它们的对应中线之比是
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
【解答】解：两个相似三角形对应边之比，
两个相似三角形的相似比为，
它们的对应中线之比是，
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比是解题的关键．
（2021秋•拱墅区期中）如图，已知，若，，，则的长是
A．3.2B．4C．5D．20
【分析】直接利用相似三角形的性质得出，进而求出答案．
【解答】解：，
，
，，，
，
解得：，
故选：．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比是解题关键．
（2021秋•槐荫区期中）两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为
A．16B．8C．2D．1
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【解答】解：设另一个三角形的周长为，则
，
解得：．
故另一个三角形的周长为8，
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
（2021秋•闵行区期中）下列有关相似三角形的性质，正确的是
A．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为
B．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为
C．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为
D．如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：、如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应角平分线的比为，不符合题意；
、如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的周长的比为，正确，符合题意；
、如果两个相似三角形的相似比为，那么它们的面积的比为，不符合题意；
、如果两个相似三角形的相似比为，那么它们对应中线的比为，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（2021•集美区模拟）如图，已知，则下列哪条线段与的比等于相似比
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的相似比的概念解答即可．
【解答】解：，
，
与的比等于相似比，
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是相似比是解题的关键．
（2021•天宁区校级模拟）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边为
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：设另一个三角形的最长边为，
两个三角形相似，
，
解得，，
则另一个三角形的最长边为，
故选：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
（2020秋•溧阳市期末）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个相似三角形的面积比为
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．
【解答】解：两个相似三角形的相似比为，
这两个相似三角形的面积比为．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
（2020秋•扶风县期末）若两个相似三角形的面积之比为，则它们对应角平分线之比为
A．B．3C．D．
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【解答】解：两个相似三角形的面积比为，
它们对应角的角平分线之比为，
故选：．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比．
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
【解题技巧】
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．．
基本方法归纳：关键是熟练掌握相似三角形的判定．
注意问题归纳：相似条件的寻找．
相似三角形的证明与计算
（2021秋•宝安区校级期中）如图，正方形的边长为3，点是的中点，连接与对角线交于点，连接并延长，交于点，连接交于点，连接．以下结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【分析】由正方形的性质可得，，，，可证，，可得，由余角的性质可得；由勾股定理可求的长，由面积法可求，由相似三角形的性质可求，可得的长，即可判断②；如图，过点作，由，可得，由垂直平分线的性质可得；由平行线分线段成比例可求的长，即可判断④．
【解答】解：四边形是边长为3的正方形，点是的中点，
，，，，
，，
，，，
，
，
，且，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故②正确；
如图，过点作，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，故③正确；
，，
，，
，，
，
，
，
，故④正确，
故选：．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
（2021秋•零陵区期中）如图，在中，、分别在、上，且，下列比例式不成立的是
A．B．C．D．
【分析】利用平行线分线段成比例和相似三角形的性质可逐一判断．
【解答】解：，
，
，
故、正确，不符合题意；
，
，
，
故正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解题的关键．
（2021•韶关一模）如图，在正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有
A．①②③B．①②C．①②③④D．③④
【分析】②根据正方形的性质可得，，因为点、分别是、的中点，可得，
即可求证，可判断②正确；①根据三角形内角和为和全等三角形的性质即可判断①正确；③根据三角函数的性质可判断③正确；④根据锐角三角函数性质可判断④错误．
【解答】解：在正方形中，，，，
点、分别是、的中点，
，
，
，，
故②正确；
，
，
，
，
故①正确；
在中，，，
，
故③正确；
在中，，
，
故④错误，
故选：．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解决问题的关键．
（2020秋•庐阳区校级期末）如图，四边形内接于，延长、交于点，若点为的中点，且，，则的长为
A．4B．C．D．
【分析】先由圆周角定理得，从而得，即可证明出．再由得，即可求出．
【解答】解：四边形内接于，
．
，
．
，
．
，
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是证明出．
（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为 2.7 ．
【分析】根据，可得，进而得出即可．
【解答】解：如图，过作于，则，
，即，
解得，
故答案为：2.7．
【点评】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质．
（2019•沈阳）如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是 ．
【分析】如图，作于．利用勾股定理求出，再证明，可得，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作于．
四边形是正方形，，
，，
，，
，
，
，，
，
在中，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
（2021秋•长宁区期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形中，、分别是和的中点，若，，，，且过点，那么正方形的边长为 300 ．
【分析】根据题意，可知，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【解答】解：、分别是和的中点，，
，，
，
由题意可得，，
，
即，
解得：，
故答案是：300．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
（2020•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
【分析】根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解答】解：四边形为正方形，
，
；
设正方形零件的边长为，则，，
，
，
，
解得：．
答：正方形零件的边长为．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
【解题技巧】
基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合．
基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键．
注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误．