2023中考数学一轮复习专题19圆(同步练习卷）（通用版）

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第19讲 圆（精练）
垂径定理及其运用

1. （2020秋•宜州区期末）下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弧的分类、圆的性质对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①直径是最长的弦，故本小题说法正确；
②弦是不一定是直径，故本小题说法错误；
③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题说法正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本小题说法错误．
故选：．
【点评】本题考查的是圆的认识，熟知轴对称的性质以及弦的定义．注意熟记定理是关键．
2. （2020秋•武安市期末）如图，是圆弦的是　　

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【分析】根据弦的定义确定答案即可．
【解答】解：弦是圆上两点间的的线段，图中是弦，其他均不是，
故选：．
【点评】考查了圆的认识，了解弦的定义是解答本题的关键，难度不大．
3. （2021秋•盱眙县期中）下列说法中，不正确的是　　
A．直径是最长的弦
B．同圆中，所有的半径都相等
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D．长度相等的弧是等弧
【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【解答】解：、直径是最长的弦，说法正确；
、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了圆的认识，关键是掌握能重合的弧叫等弧．
4. （2020秋•扬州期末）、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦求解．
【解答】解：圆中最长的弦为直径，
．
故选：．
【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中最长的弦是直径最关键．
5. （2021春•永嘉县校级期末）如图，的弦交直径于，，，若，则的长为　　

A． B． C． D．
【分析】过点作于点，根据垂径定理以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：过点作于点，
设，，
，，
由垂径定理可知：，
，
由勾股定理可知：，
在中，
由勾股定理可知：，
，
，
故选：．

【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于中等题型．
6. （2021•饶平县校级模拟）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为　　

A． B．8 C． D．
【分析】根据垂径定理求出，根据三角形的中位线求出，再根据勾股定理求出即可．
【解答】解：连接，

为直径，
，
，过，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出是解此题的关键．
7. （2020秋•饶平县校级期末）如图，已知的半径为5，，垂足为，且，则的长为　　

A．3 B．4 C． D．
【分析】连接，作于，于，根据弦、弧、圆心角、弦心距的关系定理得到，得到矩形为正方形，根据正方形的性质得到，根据垂径定理和勾股定理求出，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接，作于，于，
则，四边形为矩形，
，，，
，
矩形为正方形，
，
在中，，
，
故选：．

【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
8. （2021•黄石模拟）如图，过点、，圆心在等腰直角的内部，，，，则的半径为　　

A． B． C．4 D．
【分析】连接并延长，交于，连接，根据垂径定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接并延长，交于，连接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．

【点评】本题考查的是垂径定理、等腰直角三角形的性质，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
9. （2021•迁西县模拟）如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知交矩形的边于点，，已知，则球的半径长为　　

A． B． C． D．
【分析】由题意得与相切，记切点为，作直线，分别交、劣弧于点、，连接，易求得的长，设的半径为，则，然后在中，由勾股定理得，解此方程即可求得答案．
【解答】解：由题意得：与相切，记切点为，作直线，分别交、劣弧于点、，连接，如图所示：
四边形是矩形，
，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即球的半径长为，
故选：．

【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质和垂径定理以及勾股定理是解题的关键．
10. （2020秋•沭阳县校级月考）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则的长是　　

A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
【分析】由垂径定理得（寸，设的长为寸，则寸，寸，在中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接，如图所示：
，且寸，
（寸，
设的长为寸，则寸，
寸，
寸，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
（寸．
故选：．

【点评】此题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
11. （2020•黄冈模拟）我国古代数学著作《九章算术》中记载了弓形面积的计算方法．如图，弓形的弦长为，拱高（弧的中点到弦的中点之间的距离）为，则这个弓形的面积是　　．

A． B． C． D．
【分析】设弧所在圆的圆心为，连接、，在构造的中，利用垂径定理和勾股定理即可求出弧的半径长，解直角三角形求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：设弧所在圆的圆心为，连接、、，则与的交点即为点，如图所示：

在中，设，则，，
，
即，
解得，
，
，
，
，

弓形的面积，
故选：．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，三角形的面积的计算，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
12. （2020•奉化区模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为　　

A． B． C． D．
【分析】根据题意，可以推出是等边三角形，若设半径为，则，根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：连接，
点是这段弧所在圆的圆心，
，
，
是等边三角形，
，
设，
点是的中点，
，
，，三点共线，
，
在中，
，
，
，
解得：，
这段弯路所在圆的半径为，
故选：．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为后，用表示出、的长度．
13. （2021秋•宝应县期中）如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为　1　．

【分析】连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，再求出即可．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
当的值最小时，的值最大，
而时，最小，此时、两点重合，
，
即的最大值为1，
故答案为：1．

【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点的位置是解此题的关键．
14. （2021•饶平县校级模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，过点作，垂足为，若，，则的长度是　　．

【分析】连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：连接，
，
，
由勾股定理得，，
，
，又，
，
故答案为：．

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
15. （2021秋•海州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于、两点，则弦的长的最小值为　　．

【分析】易知直线过定点，运用勾股定理可求出，由条件可求出半径，由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题．
【解答】解：对于直线，当时，，
故直线恒经过点，记为点．
过点作轴于点，
则有，，．
点，
，
．
由于过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短，如图所示，
因此运用垂径定理及勾股定理可得：
的最小值为．
故答案为．

【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点以及运用“过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短”这个经验是解决该选择题的关键．
16. （2020秋•永嘉县校级期末）如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为　　．

【分析】作于，连接，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以．
【解答】解：作于，连接，如图，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
，
．
故答案为：

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
17. （2020秋•依兰县期末）如图，在直角三角形中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为　　．

【分析】作于，根据勾股定理得到，利用三角形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可．
【解答】解：作于，
则，
，，，
，
，即，
解得，，
，
则，
故答案为：．

【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
18. （2021春•福州期中）如图，已知直径为5的过点，，与轴的正半轴交于点，为直径，点为弧上一动点（不与点、重合）连接，作交的延长线于点，则的面积最大值是　　．

【分析】先判断出，根据勾股定理得出，再判断出得出，即是直径时最大即可得出结论．
【解答】解：如图，连接，

，
，
是的直径，，
是的直径，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，要最长，
则有最长，而是的弦，
最大是直径为5，
最大，
此时的面积的最大值为，
故答案为．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作出辅助线判断出是解本题的关键．

【解题技巧】
基础知识归纳：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．










圆周角定理及其运用

1. （2021春•永嘉县校级期末）如图，已知是的直径，弦，垂足为，若，，则　　

A． B． C． D．2
【分析】根据垂径定理和含的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：是的直径，弦，，，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据垂径定理和含的直角三角形的性质解答．
2. （2021•酒泉一模）如图，四边形内接于，为的直径，点为劣弧的中点，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：连接，
点为劣弧的中点，，
，
为的直径，
，
，
故选：．

【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的的圆周角是直角是解题的关键．
3. （2021•饶平县校级模拟）如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】求出，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. （2021•郧西县校级模拟）如图，的顶点、、均在上，若，则的大小是　　

A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理得出，求出，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：根据圆周角定理得：，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出是解此题的关键．
5. （2021秋•东港区校级月考）如图，是的直径，点、在的异侧，连接、、，若，且，则的度数为　　．

【分析】首先由可以得到，又由得到，由此即可求出的度数．
【解答】解：，
，
又，
，
．
故答案为：．
【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．
6. （2021秋•萧山区月考）如图，是的直径，，，则的度数是　　．

【分析】由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【解答】解：如图，，，
，
．
又，
，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7. （2021•莲湖区模拟）如图，四边形是的内接四边形，若，，，，则的长为　　

A． B．1 C． D．
【分析】延长、交于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长、交于，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
故选：．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8. （2020秋•龙口市期末）如图，四边形是的内接四边形，若，，，．则的长为　　

A． B． C．2 D．3
【分析】延长、交于，根据正切、正弦的概念分别求出、，计算即可．
【解答】解：延长、交于，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
故选：．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
9. （2021秋•余姚市期中）如图，点、、、、都是上的点，，，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
【解答】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
，
点、、、都是上的点，
，
，
故选：．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
10. （2021秋•东城区校级期末）如图，是的直径，，是上的两点．若，则的度数为 　　．

【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定，然后根据求得的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【解答】解：是直径，
，
，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
11. （2020秋•昌平区校级期末）如图，在中，弦，若，则　　．

【分析】先利用平行线的性质得到，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质．
12. （2021秋•泗水县期中）如图，为直径，，，平分，则　　．

【分析】连接，先利用勾股定理求出，再证明，设，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，连接．

是直径，，，
，
，
平分，
，
，设，
，
．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，圆的有关知识，解题的关键是灵活应用勾股定理解决问题．
13. （2021秋•昌江区校级期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．若，，则　　．

【分析】连接，由为直径可得，由可得点为中点，从而得出与长度，再由求解．
【解答】解：连接，

为直径，
，
，
点为中点，
在中，，，

，
，
，．故答案为：．
【点评】本题考查圆与三角形的综合问题，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解执教三角形的方法．
14. （2021秋•泰兴市期中）如图，、、是上的点，且，在这个图中，画出下列度数的圆周角：，，，，其中仅用无刻度的直尺能画出的圆周角有 　40或50或90　．

【分析】作直径，连接，求出，，可得结论．
【解答】解：作直径，连接、，如图
，
，
为直径，
，
；
能作出，，的圆周角，
故答案为：40或50或90．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
15. （2021秋•亭湖区校级月考）如图，点、、在上，，，的半径为，则　　．

【分析】如图，过点作于点，于点，过点作于点．证明四边形是矩形，求出，可得结论．
【解答】解：如图，过点作于点，于点，过点作于点．

，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题．
16. （2021秋•温州期中）如图，在中，，，则的度数为 　　．

【分析】连接，根据同弧所对圆周角与圆心角的关系求出，进而求解．
【解答】解：连接，，

则，，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，解题关键是通过添加辅助线求解．
17. （2021秋•西城区校级期中）已知：如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于，若，，　　，　　．

【分析】连接，设，根据等腰三角形的性质求出，，根据三角形的外角性质得出，，再求出即可．
【解答】解：连接，

设，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
即，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能得出关于的方程是解此题的关键．
18. （2021秋•海淀区校级期中）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，若，则的度数为 　　．

【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
19. （2021•寻乌县模拟）如图，四边形内接于，连接、，若，，则　40　．

【分析】根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：、、、四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：40．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键．
20. （2021•徐州）如图，是的直径，点、在上，若，则　32　．

【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【解答】解：是的直径，
，
，
．
故答案为32．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
21. （2021•彭泽县模拟）如图，，，则　　．

【分析】如图，以为圆心，为半径作，延长交于，连接．证明，解直角三角形求出即可．
【解答】解：如图，以为圆心，为半径作，延长交于，连接．

，
点是的外接圆的圆心，
，，
，
是直径，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造圆解决问题，属于中考常考题型．
22. （2021•宿迁）如图，在中，，，点、在上，边、分别交于、两点，点是的中点，则　　．

【分析】由，可得是的直径，由点是的中点以及三角形的内角和，可得，利用三角形的内角和求出，再根据角的和差关系求出，由圆周角定理可得得出答案．
【解答】解：如图，连接，
，
是的直径，
点是的中点，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．

【点评】本题考查圆周角定理，弦、弧、圆心角之间的关系以及三角形内角和定理，掌握圆周角定理和推论是正确计算的前提．
23. （2021•安乡县二模）如图，为的直径，、是上两点，，与交于点．，则　　．

【分析】在中，求出即可解决问题．
【解答】解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. （2021•海陵区一模）如图，、、、是上四点，为的中点，如果，则的度数为 　25　．

【分析】根据等弧对等角确定，然后利用等弧所对的圆周角相等．
【解答】解：点是的中点，
，
，
故答案为：25．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．
25. （2021•安徽二模）如图，劣弧与的度数之差为，弦与交于点，，求的度数　　．

【分析】根据圆周角定理，可得：；根据三角形外角的性质，可得；联立两式可求得的度数．
【解答】解：由题意，弧与弧的度数之差为，
两弧所对圆心角相差，
，
①；
是的外角，
②；
①②，得：，即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆周角定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
26. （2021•西城区校级模拟）如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接，．若，则的大小为　40　．

【分析】利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明可得结论．
【解答】解：，
，
，
，
是直径，
，
，
故答案为：40．
【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27. （2020秋•新昌县期末）如图，是半圆的直径，以弦（非直径）为对称轴将弧折叠，点是折叠后的弧与的交点，若，，则　　．

【分析】如图，连接，，，作点关于直线的对称点，连接，交于．利用勾股定理求出，，可得结论．
【解答】解：如图，连接，，，作点关于直线的对称点，连接，交于．

是直径，
，，
由对称的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
28. （2021•汉阳区校级模拟）如图，四边形中，，，，则　　．

【分析】过点作于．分别求出，，可得结论．
【解答】解：过点作于．

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29. （2021•泰兴市模拟）如图，的半径为，四边形内接于，，，则的值为　10　．

【分析】作直径，连接，．证明，设，，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解：作直径，连接，．

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可以假设，，
，
，
或（舍弃），
，，
，，故答案为10．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【解题技巧】
①弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
基础知识归纳：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
②圆周角定理
基础知识归纳：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．







点与圆的位置关系

1. （2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点，分别在射线，上，长度始终保持不变，，为的中点，点到，的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为　　．

【分析】如图，连接，．求出，，根据求解即可．
【解答】解：如图，连接，．

由题意，
，，，，
点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的弧，
当点落在线段上时，的值最小，
的最小值为．（也可以用，即确定最小值）故答案为．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2. （2019秋•秦淮区校级月考）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点在半圆上，点在半圆上，边、分别交于点、，点、、对应的读数分别为、、，则　24　．

【分析】连接．可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：连接．
可得，，，
．故答案为：24．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得到和的度数是解题的关键．

【解题技巧】
基础知识归纳：
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d＜r 点P在⊙O内；
d=r 点P在⊙O上；
d＞r 点P在⊙O外．
基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．



切线的判定及其性质

1. （2021•郴州）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．
（1）求证：直线与相切；
（2）若的直径是10，，求的长．

【分析】（1）连接，如图，先利用垂径定理得到，再根据平行线的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到，则，再根据平行线的性质得到，则可判断为等腰直角三角形，于是可求出，然后计算即可．
【解答】（1）证明：连接，如图，
点是的中点，
，
，
，
直线与相切；
（2）解：是的直径，
，
，
，
，
，
而，
为等腰直角三角形，
，
．

【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．
2. （2021•东营）如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点，于点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求线段的长度．

【分析】（1）连接，根据等边三角形及圆性质求出，再由，推出求出，根据切线的判定推出即可；
（2）由，，可求得，，的长度，再根据中位线性质求出的长度，根据勾股定理即可求得的长．
【解答】（1）证明：连接，

是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
是的中位线，
，，
，

，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
线段的长为．
【点评】本题考查了切线的判定方法，利用勾股定理求线段的长度等知识点，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用“锐角所对的直角边等于斜边的一半”是解决线段长度的关键．
3. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径和的长．

【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，等边对等角及等量代换可得，根据切线的判定定理可得结论；
（2）如图，设的半径为，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式，设，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式可得结论．
【解答】（1）证明：连接，

是的直径，
，
即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为15；

，，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点评】本题考查的是切线的判定，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明，确定和的关系是解（2）题的关键．
4. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
（2），，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
，
，
设，则，，
又，
即，
解得（取正值），
．

【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
5. 如图，是直径，弦，垂足为点．弦交于点，点在延长线上，且．
（1）求证：为切线；
（2）若，，，求的长．

【分析】（1）连接，由，，得到，即可证明；
（2）连接，过点作，垂足为，由，，求得的长度，继而利用三角函数求得，，求出，，再利用，即可求出的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为切线；

（2）解：连接，过点作，垂足为，如图，

是直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
的长为5．
【点评】本题考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键．
6. （2021•湖北）如图，为直径，为上一点，于点，交于点，与的延长线交于点，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求和的长．

【分析】（1）连接，只要证明即可，利用角平分线，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余可得结论；
（2）连接交于，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质、垂径定理勾股定理得到的三边长，再利用即可求得的长．
【解答】（1）证明：连接，

平分．
，
又，
，
，
又，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：连接交于点，

为直径，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定方法，如何利用垂径定理、勾股定理求线段的长度等知识点，能够求证四边形是矩形是解决本题的关键．
7. （2021•本溪）如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．

【分析】（1）连接，证明即可；
（2）连接，根据已知条件求出的直径，在中，求出，，在中，求出，根据，求出，进而得到，根据相似三角形的判定证得，根据相似三角形的性质即可求出．
【解答】证明：（1）连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；

（2）解：连接，
，，
，
，
，
是的直径，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
，，
，
，
，
，
，
．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线，把化为直角三角形，灵活应用三角函数的定义解决问题．
8. （2021•衢州）如图，在中，，与相切于点，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，连结．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．

【分析】（1）连接，利用与相切于点，可得；通过说明得到，结论得证；
（2）利用，可得，于是，得到，将已知条件代入可得，利用勾股定理在中可求．
【解答】解：（1）证明：连接，如图，

，
．
，
．
与相切于点，
．
．
．
在和中，
，
．
．
是的切线．
（2）由（1）得：，
，
．
．
，
，，
，
．
．
在中，
．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，平行线的判定与性质．连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
9. （2021•济宁）如图，点在以为直径的上，点是的中点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．

【分析】（1）由为直径，可得，又为中点，为中点，可得，从而．由得，又，，所以，又，得．又，从而可得，即．则可证为切线；
（2）由（1）可得，从而，可证明，从而得比例，解得，最后由勾股定理可求半径．
【解答】解：（1）证明：为直径，
，
又为中点，为中点，
故，，
．
，
，
又，，
，
又，
．
，
，
．
又为半径，
故是的切线．
（2），
由（1）得，
又，
．
，，
．
，即，
．
．
故的半径为．

【点评】本题属于主要考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．
10. （2021•怀化）如图，在半径为的中，是的直径，是过上一点的直线，且于点，平分，是的中点，．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．

【分析】（1）连接，由平分，，可得，，根据，即可证明是的切线；
（2）由是的中位线，得，再证明，得，即，从而可得．
【解答】（1）证明：连接，如图：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）是的中点，且，
是的中位线，，
，
，
是的直径，
，
又，
，
，即，
．
【点评】本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
11. （2021•南充）如图，，是上两点，且，连接并延长到点，使，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）点，分别是，的中点，所在直线交于点，，，求的长．

【分析】（1）证明即可；
（2）求弦长，根据垂径定理先求出弦长的一半即可．连结，过点作于点，根据中位线定理得，所以，求出，根据勾股定理求出，乘2即可求出．
【解答】（1）证明：，
是等边三角形．
．
，
，
，
，
．
．
，
点在上，
是的切线；
（2）解：如图，连结，过点作于点．
，．
点，分别是，的中点，
，．
，．
．
．

【点评】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理，属于中档题，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
12. （2020•贵港）如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求直径的长．

【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，等量代换得到，根据圆周角定理得到，得到，于是得到结论；
（2）作，垂足为点，证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，证明，得出，则可求出答案．
【解答】（1）证明：连接，如图1，

，，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
直线是的切线；
（2）解：如图2，作，垂足为点，

，
，
，
，
，
即，
又，，
，
在中，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
13. （2020•兰州）如图，在中，，，点是的中点，以为半径作．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据切线的判定定理即可证得结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质求得，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】（1）证明：，点是的中点，
，
为的半径，
是的切线；
（2）是等腰直角三角形，点是的中点，
，，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，直角三角形的性质，三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14. （2020•河池）如图，是的直径，，，，与交于点，点是的中点，，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2），交于点，求的长．

【分析】（1）由垂径定理可得，，由平行线的性质可得，可证是的切线；
（2）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由锐角三角函数可求的长，由平行线分线段成比例可求解．
【解答】证明：（1）连接，交于，

点是的中点，是半径，
，，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）是的直径，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线分线段成比例等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
15. （2020•宁夏）如图，在中，，点为上一点，以为直径的交于点，连接，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若，求．

【分析】（1）连接，证明，得，即可得出结论；
（2）连接，先证明，得出，易证，由角平分线定义得，由此可得的值，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接，如图1所示：
平分，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
即，
为的半径，
是的切线；
（2）解：连接，如图2所示：
是的直径，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
．


【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键．
16. （2020•邵阳）如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．

【分析】（1）连接，由圆的性质可得，即；再由，即，再结合，可得，然后由说明即可完成证明；
（2）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图：连接，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；

（2）解：由（1）可知是的切线，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半径为．

【点评】本题考查了圆的切线的判定，证得是解答本题的关键．
17. （2020•湘西州）如图，是的直径，是的切线，交于点．
（1）若为的中点，证明：是的切线；
（2）若，，求的半径的长．

【分析】（1）连接，，由是的直径，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
（2）证明，列比例式可得的长，最后根据勾股定理可得的长．
【解答】（1）证明：连接，，

是的直径，且在上，
，
，
为的中点，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即的半径的长是4．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，正确的识别图形是解题的关键．
18. （2020•潍坊）如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．

【分析】（1）连接，证明，连接，证明即可得到结论；
（2）连接，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接，，
是的直径，
，即，
，
，
连接，
点为劣弧的中点，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）连接，，
，，
，
点为劣弧的中点，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
，
，
，
即阴影部分的面积为：．

【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
19. （2020•营口）如图，中，，为的角平分线，以点为圆心，为半径作与线段交于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）过作于，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设的半径为，则，在解直角三角形即可得到结论．
【解答】 （1）证明：过作于，
，
，
为的角平分线，，
，
即为的半径，
，
为的切线；
（2）解：设的半径为，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
．

【点评】本题考查了平行的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
20. （2020•青海）如图，已知是的直径，直线与相切于点，过点作交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，直径，求线段的长．

【分析】（1）连接，要证明为圆的切线，只要证明即可；
（2）连接，根据已知求得再根据相似比即可求得的值．
【解答】（1）证明：连接，如图所示：
，
．
，
，．
．
，，
．
．
是圆的切线且为半径，
．
．
．
又经过半径的外端点，
为圆的切线．

（2）解：连接，
是直径，
．
在直角中，，
，且，
．
，即．
．

【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，常见的辅助线有：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
21. （2020•盐城）如图，是的外接圆，是的直径，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，垂足为，交于点，求证：是等腰三角形．

【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，求得，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到，得到，推出，于是得到结论．
【解答】证明：（1）连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22. （2020•张家界）如图，在中，，以为直径作，过点作直线交的延长线于点，使．
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，且分别交，于点，，当时，求的长．

【分析】（1）如图，连接，欲证明是的切线，只需求得；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得，即，根据勾股定理可求得的长．
【解答】（1）证明：在中，，为直径作，
点在上，
如图，连接，
为的直径，
，即，
又，
，
，
，即，
是圆的半径，
是的切线；
（2）解：平分，
，又，
，即，
，，，．

【点评】此题主要考查切线的判定方法、角平分线及三角形外角性质和勾股定理，熟练进行推理论证是解题关键．
23. （2020•福建）如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与，重合的点，．
（1）求的大小；
（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．

【分析】（1）连接，由切线求出的度数，再由三角函数求出，由三角形的外角性质求得，最后由圆周角与圆心角的关系求得结果；
（2）连接，，证明，得，便可得结论．
【解答】解：（1）连接，如图1，
与相切于点，
，，，，；


（2）证明：连接，，如图2，
是切线，，，，
，，，，
在和中，
，
，，与相切．

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键是证明三角形全等．

【解题技巧】
1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．
2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．
3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．








正多边形与圆

1. （2021•永嘉县校级模拟）如图，在正五边形中，连接，以点为圆心，为半径画圆弧交于点，连接．则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】证明四边形是菱形，推出可得结论．
【解答】解：五边形是正五边形，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，故选：．
【点评】本题考查正多边形与圆，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是判断四边形是平行四边形．
2. （2020秋•海勃湾区期末）如图，正八边形中，大小为　　

A． B． C． D．
【分析】连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解．
【解答】解：连接、、，如图所示：
则四边形为正方形，，故选：．
【点评】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
3. （2021•酒泉一模）我们定义：圆内接正边形的最短对角线与最长对角线的比值称为这个正多边形的“特征值”，记为．则是 　　．
【分析】如图，正六边形中，对角线、交于点，连接．易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线，只要证明是直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，正六边形中，对角线、交于点，连接．

易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线，
是等边三角形，
，
，，，
，，
是直角三角形，，，，故答案为．
【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
4. （2021•梧州）如图，正六边形的周长是，连接这个六边形的各边中点，，，，，，则六边形的周长是 　　．

【分析】设正六边形的中心为，连接，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：设正六边形的中心为，
连接，，
正六边形的周长是，
，，
顺次连接正六边形各边的中点、、、、、得到的六边形为正六边形，
，六边形的周长是，故答案为：．

【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

【解题技巧】
1.圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
2.牢记圆的有关计算公式，并灵活处理好公式之间的转换，当出现求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等面积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．




与圆有关的计算

1. （2021秋•南岗区校级期末）扇形半径为5，圆心角为，则其弧长为 　　．
【分析】根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：扇形半径为5，圆心角为，
弧长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长公式的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键．
2. （2021秋•余杭区月考）如图，四边形内接于半径为18的，若，则的长度为 　　．

【分析】如图，连接，．利用圆周角定理求出，再利用弧长公式求解．
【解答】解：如图，连接，．

，
又，
的长度，
故答案为：．
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理等知识，解题的关键是记住弧长公式．
3. （2021•福建模拟）如图，小明用一个半径为，面积为的扇形纸板，制作一个圆锥形的玩具帽，则帽子的底面半径　　．

【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：由扇形的面积公式得，扇形面积，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．
4. （2021•黔东南州）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是 　150　度．

【分析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：设圆锥的母线长为，扇形的圆心角为，
圆锥的底面圆周长为，
圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
由题意得：，
解得：，
则，
解得，，即扇形的圆心角为，
故答案为：150．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
5. （2021•邗江区二模）如图，已知圆锥底面半径是，母线长是．如果是底面圆周上一点，从点拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点，则这根绳子的最短长度是 　18　．

【分析】利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中的度数，从而求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．
【解答】解：设，
底面圆的周长等于：，
解得：；
连接，过作于，
则．
，
，
，
，
即这根绳子的最短长度是18．
故答案为：18．

【点评】此题考查了圆锥的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．
6. （2021•建邺区一模）若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是　　．
【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长．
【解答】解：底面半径为2，则底面周长，侧面展开图是半圆，则母线长，
圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键．

【解题技巧】
弧长公式
基础知识归纳：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
注意问题归纳：①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
扇形面积
基础知识归纳：
扇形面积公式：
注意问题归纳：其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长．
圆锥的侧面积
基础知识归纳：
圆锥的侧面积：，其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径．
注意问题归纳：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
阴影部分面积
基本方法归纳：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
注意问题归纳：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．