2023中考数学二轮复习专题08 二次函数之四边形存在性问题

这是一份2023中考数学二轮复习专题08 二次函数之四边形存在性问题，文件包含专题08二次函数之四边形存在性问题-老师版docx、专题08二次函数之四边形存在性问题-学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

专题08 二次函数之四边形存在性问题
知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下：
平行四边形的判定方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
矩形判的定方法
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形判定方法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边相等的四边形是矩形
正方形的判定方法
平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性
解答时常用的技巧：
（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：
已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。
P（m，n）
B（c，d）
C（e，f）
A（a，b）
O

如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得
a+m=c+e，n+b=d+f
则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。
（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。
（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。

一、解答题（共15小题）
1.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）若P是线段AB下方抛物线上一动点，当△ABP面积最大时，求P点坐标以及△ABP面积最大值；
（3）若D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，Q为线段AB之间的一个动点，过Q作x轴的垂线，与这个二次函数图象交于点E，问是否存在这样的点Q，使得四边形DCEQ为平行四边形，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y＝x+m上，
∴4＝3+m．
∴m＝1．
设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2．
∵点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上，
∴4＝a（3﹣1）2，
∴a＝1．
∴所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2．
即y＝x2﹣2x+1；
（2）过点P作y轴的平行线交AB于点E，

则△ABP面积＝S△PEA+S△PEB＝12PE•（xA﹣xB）＝12×[（x+1）﹣（x2﹣2x+1）]×3＝﹣32x2+92x，
∵﹣32＜0，故△ABP面积存在最大值，当x＝32时，△ABP面积最大值为98，
此时点P的坐标为（32，14）；

（3）存在．
理由：要使四边形DCEQ是平行四边形，必需有QE＝DC．

∵点D在直线y＝x+1上，
∴点D的坐标为（1，2），
∴﹣x2+3x＝2．
即x2﹣3x+2＝0．
解之，得x1＝2，x2＝1（不合题意，舍去）
∴当Q点的坐标为（2，3）时，四边形DCEQ是平行四边形．
【知识点】二次函数综合题
2.过点（4，3）的二次函数的顶点坐标是（2，﹣1），M、N是抛物线与x轴的交点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线y＝x+3与二次函数交于A、B两点，P是二次函数上任意一点，是否能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边形？如果存在，求出点K的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标（2，﹣1），
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
∵抛物线经过点（4，3），
∴a（4﹣2）2﹣1＝3，
解得a＝1，
所以，该抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1或y＝x2﹣4x+3；

（2）能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边形．
理由如下：
根据题意，得y=x+3 y=x2-4x+3，
解得，x=0 y=3或x=5 y=8，
则点A（0，3），B（5，8）．
假设四边形KAPB为平行四边形．
则AK∥BP，AK＝BP，
∵点A坐标为（0，3），点K的横坐标为2，点B的横坐标为5，
∴点P的横坐标为5﹣2＝3，点P的纵坐标y＝32﹣4×3+3＝0，点K的纵坐标为8+3＝11，
∴K（2，11）．

【知识点】二次函数综合题
3.已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接AC、CD、DB，求S四边形ACDB；
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得S△ABP=S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入二次函数y=ax2+bx﹣3a中得：
a-b-3a=0
-3a=3
解得a=-1 b=2
∴此二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
由对称性质得：B（3，0），
过D作DE⊥x轴于E，
∴S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△DEB=12×1×3+12（3+4）×1+12×（3﹣1）×4=9；
（3）存在，
设P（x，﹣x2+2x+3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵S△ABP=S四边形ACDB，
∴12×4×|﹣x2+2x+3|=9，
①x2﹣2x﹣3=92，
x2﹣2x=152，
（x﹣1）2=172，
x=1±√34/2，
②x2﹣2x﹣3=﹣92，
x2﹣2x=﹣32，
（x﹣1）2=﹣12，
此方程无实数解，
当x=1+√34/2时，y=﹣（1+√34/2﹣1）2+4=﹣92，
当x=1﹣√34/2时，y=﹣（1﹣√34/2﹣1）2+4=﹣92，
∴符合条件的点P的坐标为：（1+√34/2，﹣92）或（1﹣√34/2，﹣92）．


【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点
4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为M（2，9）且过点C（8，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①若F的横坐标为3，求S的值；
②是否存在点F，使点E也落在该二次函数图象上．若存在，求出F的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为M（2，9），
∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+9，
将点C（8，0）代入y=a（x﹣2）2+9中，
得：0=a×（8﹣2）2+9=36a+9，解得：a=﹣14，
∴该二次函数的表达式为y=﹣14（x﹣2）2+9=﹣14x2+x+8．
（2）①过点D作DM∥x轴，交CF于点M，如图1所示．
当x=3时，y=﹣14×（3﹣2）2+9=354，
∴F（3，354）．
设直线CF的解析式为y=mx+n，
0=8m+n 354=3m+n
解得：，m=-74 n=14
∴直线CF的解析式为y=﹣74x+14．
当y=4时，有﹣74x+14=4，
解得：x=407，
∴M（407，4），
∴DM=407．
∵F（3，354），C（8，0），
∴S=DM•（yF﹣yC）=407×354=50．
②假设存在，设点F的坐标为（t，﹣14t2+t+8），
∵四边形CDEF为平行四边形，C（8，0），D（0，4），
∴点E的坐标为（t﹣8，﹣14t2+t+12），
∵点E在抛物线y=﹣14x2+x+8上，
∴﹣14t2+t+12=﹣14（t﹣8）2+（t﹣8）+8=﹣14t2+5t﹣16，
解得：t=7，
∴点F的坐标为（7，114）．
故存在点F（7，114），使点E也落在该二次函数图象上．

【知识点】二次函数综合题
5.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y＝x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．
（1）二次函数的解析式为y＝　　　　　　﹣　　；
（2）证明：点（﹣m，2m﹣1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；
（3）若C为线段AB的中点，过C点作CE⊥x轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．
①y轴上存在点K，使以K，A，D，C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是　　　﹣　　　　　　　；
②二次函数的图象上是否存在点p，使得S三角形POE＝2S三角形ABD？求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】【第1空】y=14x2-x+1
【第2空】（0，-3）或（0，5）
【解答】（1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y＝a（x﹣2）2（a≠0），
把x＝0代入y＝x+1得y＝1，则A（0，1）
再代入y＝a（x﹣2）2得：1＝4a，则a＝14．
故二次函数的解析式为：y＝14（x﹣2）2＝14x2﹣x+1．

（2）证明：设点（﹣m，2m﹣1）在二次函数y＝14x2﹣x+1的图象上，
则有：2m﹣1＝14m2+m+1，
整理得m2﹣4m+8＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×8＝﹣16＜0
∴原方程无解，
∴点（﹣m，2m﹣1）不在二次函数y＝14x2﹣x+1的图象上．

（3）解：①K（0，﹣3）或（0，5）；
②二次函数的图象上存在点P，使得S△POE＝2S△ABD，
如图，过点B作BF⊥x轴于F，则BF∥CE∥AO，又C为AB中点，
∴OE＝EF，由于y＝14x2﹣x+1和y＝x+1可求得点B（8，9）
∴E（4，0），D（4，1），C（4，5），
∴AD∥x轴，
∴S△ABD＝2S△ACD＝2×12×4×4＝16．
设P（x，14x2﹣x+1），
由题意有：S△POE＝12×4（14x2﹣x+1）＝12x2﹣2x+2，
∵S△POE＝2S△ABD
∴12x2﹣2x+2＝32
解得x＝﹣6或x＝10，
当x＝﹣6时，y＝14×36+6+1＝16，
当x＝10时，y＝14×100﹣10+1＝16，
∴存在点P（﹣6，16）和P（10，16），使得S△POE＝2S△ABD．

【知识点】二次函数综合题
6.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵A（4，0），对称轴是直线x＝l，
∴D（﹣2，0）．
又∵C（0，﹣3）
c=-3
16a+4b+c=0
4a-2b+c=0
解得．a＝38，b＝﹣34，c＝﹣3，
∴二次函数解析式为：y＝38x2﹣34x﹣3．

（2）如图1所示：

设M（m，38m2﹣34m﹣3），|yM|＝﹣38m2+34m+3，
∵S＝S△OCM+S△OAM
∴S＝12×OC×m+12×OA×|yM|＝12×3×m+12×4×（﹣38m2+34m+3）＝﹣34m2+3m+6＝﹣34（m﹣2）2+9，
当m＝2时，s最大是9．

（3）当AB为平行四边形的边时，则AB∥PC，
∴PC∥x轴．
∴点P的纵坐标为﹣3．
将y＝﹣3代入得：38x2﹣34x﹣3＝﹣3，解得：x＝0或x＝2．
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
当AB为对角线时．
∵ABCP为平行四边形，
∴AB与CP互相平分，
∴点P的纵坐标为3．
把y＝3代入得：38x2﹣34x﹣3＝3，整理得：x2﹣2x﹣16＝0，解得：x＝1+√17或x＝1﹣√17．
综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+√17，3）或P（1﹣√17，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．
【知识点】二次函数综合题
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得：
16+4b+c=0
c=-4
解得 b=-3 c=-4
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4；
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣3x﹣4），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
如图1，连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣4），
∴CO=4，
又∵OE=EC，
∴OE=EC=2
∴y=﹣2；
∴x2﹣3x﹣4=﹣2
解得：x1=(3+√17)/2，x2=(3+√17)/2（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（(3+√17)/2，﹣2）；

（3） 如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣3x﹣4），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
d=-4
4k+d=0
解得 k=1 d=-4
∴直线BC的解析式为：y=x﹣4，
则Q点的坐标为（x，x﹣4）；
当0=x2﹣3x﹣4，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴AO=1，AB=5，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=12AB•OC+12QP•BF+12QP•OF
=12×5×4+12（4﹣x）[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]+12x[x﹣4﹣（x2﹣3x﹣4）]
=﹣2x2+8x+10
=﹣2（x﹣2）2+18
当x=2时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为：（2，﹣6），四边形ABPC的面积的最大值为18．


【知识点】二次函数综合题
8.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2，
得9a-3b+2=0 a+b+2=0，
解得，a＝﹣23，b＝﹣43，
∴抛物线解析式为：y＝﹣23x2﹣43x+2，
在y＝﹣23x2﹣43x+2中，
当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
由二次函数的图象及性质知，当x＜﹣3或x＞1时，y＜0；

（2）存在，理由如下：
如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，
将点A（﹣3，0）、C（0，2）代入y＝kx+b，
得，-3k+b=0 b=2，
解得，k＝23，b＝2，
∴直线AC的解析式为y＝23x+2，
设P（x，﹣23x2﹣43x+2），则H（x，23x+2），
∴△ACP的面积S＝12PH•OA＝12×3（﹣23x2﹣43x+2﹣23x﹣2）＝x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣32时，S有最大值为94，此是P（﹣32，52）；

（3）如图2，当AQ∥CM且AQ＝CM时，
∵yC＝2，
∴yM＝2，
在y＝﹣23x2﹣43x+2中，
当y＝2时，x1＝0，x2＝﹣2，
∴M1（﹣2，0），
∴CM＝2，
∴AQ＝2，
∵A（﹣3，0），
∴Q（﹣5，0）或（﹣1，0）；

当AM∥CQ时，
∵yC﹣yA＝2，
∴yQ﹣yM＝2，
∴yM＝﹣2，
在y＝﹣23x2﹣43x+2中，
当y＝﹣2时，x1＝﹣1﹣√7，x2＝﹣1+√7，
∴M2（﹣1﹣√7，﹣2），M3（﹣1+√7，﹣2），
∵xC﹣xA＝3，
∴xQ﹣xM＝3，
∴xQ＝2﹣√7或2+√7，
∴Q（2﹣√7，0）或（2+√7，0），
综上所述，点Q的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）或(2+√7,0)或(2﹣√7,0)．


【知识点】二次函数综合题
9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得9+3b+c=0 c=-3，
解得：b=-2 c=-3；
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3

（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∵C（0，﹣3），
∴CO＝3，
又∵OE＝EC，
∴OE＝EC＝32
∴y＝-32；
∴x2﹣2x﹣3＝-32
解得x1＝(2+√10)/2，x2＝(2-√10)/2（不合题意，舍去），
∴P点的坐标为（(2+√10)/2，-32）

（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y＝kx+d，
则d=-3 3k+d=0
解得 k=1 d=-3
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
当0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴AO＝1，AB＝4，
S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
＝12AB•OC+12QP•BF+12QP•OF
＝12×4×3+12(-x2+3x)×3
＝-32(x-32)2+258
当x=32时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为(32,-154)，四边形ABPC的面积的最大值为758．


【知识点】二次函数综合题
10.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
﹣3a＝2，解得：a＝﹣23，
抛物线的表达式为：y＝﹣23x2﹣43x+2，
当x＜﹣3或x＞1时，y＜0；
（2）存在，理由：
过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，

将点A（﹣3，0）、C（0，2）的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：0=-3k+b b=2
解得 k=23 b=2
故直线AC的表达式为：y＝23x+2，
设点P（x，﹣23x2﹣43x+2），则点H（x，23x+2），
△ACP面积S＝12×PH×OA＝12×（﹣23x2﹣43x+2﹣23x﹣2）＝﹣13x2﹣x，
∵-13＜0，故当x＝﹣32时，S有最大值，
此时点P（﹣32，34）；
（3）设点M的坐标为：（m，n），则n＝﹣23m2﹣43m+2，点Q（s，0），点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，2），
①当AC是平行四边形的一条边时，
点A向右平移3个单位、向上平移2个单位得到C，
同样点M（Q）向右平移3个单位、向上平移2个单位得到Q（M），
即：m+3＝s，n+2＝0或m﹣3＝s，n﹣2＝0，且n＝﹣23m2﹣43m+2，
解得：s＝2±√7或﹣5；
②当AC是平行四边形的对角线时，
则m+s＝﹣3，n+0＝2，且n＝﹣23m2﹣43m+2，
解得：s＝﹣1，
故点Q的坐标为：（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2+√7，0）或（2﹣√7，0）．
【知识点】二次函数综合题
11.已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．

【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c
则有c=-3 a+c+2=0，
解得a=1 c=-3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0）．
（2）如图1中连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大，
∴此时△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴b=-3 -3k+b=0 ，
解得，k=-1 b=-3，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点D在第三象限，
∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴S△ACD＝12•DG•OA＝12（﹣x2﹣3x）×3＝﹣32x2﹣92x＝﹣32（x+32）2+278，
∴当x＝﹣32时，S最大＝278，点D（﹣32，﹣154），
∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣32，﹣154）．

（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），

当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，
x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴N″（2，5）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．

【知识点】二次函数综合题
12.已知二次函数中x和y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在抛物线上，是否存在一点Q，使△QBC中QC＝QB？若存在请直接写出Q点的坐标．

【解答】解：（1）设y＝a（x+1）（x﹣3）把（0，﹣3）代入可得：﹣3＝a（0+1）（0﹣3）
解得：a＝1则y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）S四边形ABPC＝S△ABC+S△BPC＝12×1×3+S△BPC，
设直线BC的解析式是y＝kx+b，
则3k+b=0 b=-3
解得 k=1 b=-3
则直线BC的解析式是：y＝x﹣3．
过P作PN⊥x轴交直线BC于点M，设P（x，x2﹣2x﹣3）则M（x，x﹣3）
∴MP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x
S△BPC＝S△PCM+S△PMB＝12PM•ON+12PM•NB
＝12PM•OB＝12（﹣x2+3x）×3＝﹣32x2+92x＝﹣32（x﹣32）2+278（0＜x＜3）．
当x＝32时，S△BPC的最大值为278，则 S四边形ABPC的最大值为：278+32＝398，
此时P（32，﹣154）；
（3）BC的中点坐标是（32，﹣32）．
设线段BC的中垂线的解析式是y＝﹣x+c，则﹣32+c＝﹣32，
解得c＝0，
即BC的中垂线的解析式是y＝﹣x．
根据题意得： y=-x y=x2-2x-3，
解得：x=(1+√13)/2 y=-(1+√13)/2或 x=(1-√13)/2 y=-(1-√13)/2．
则Q的坐标是：Q1（(1+√13)/2，﹣(1+√13)/2）、Q2（(1+√13)/2，﹣(1+√13)/2）．

【知识点】二次函数综合题
13.已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）若点P的横坐标为2，求△ODE的面积；
（3）当0＜a＜3时，求线段DE的最大值；
（4）若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝x+m 经过点A（3，4），
∴4＝3+m，∴m＝1，
∵二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），
∴设y＝a（x﹣1）2
∵抛物线经过A（3，4），∴a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1；

（2）把x＝2代入y＝x2﹣2x+1 得y＝1，
∴E（2，1），
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴D（2，3），
∴DE＝3﹣1＝2
∴S△ODE＝2；

（3）由题意得D（a，a+1），E（a，a2﹣2a+1），
∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣（a﹣32）2+94，
∴当a＝32（属于0＜a＜3 范围）时，DE的最大值为94；

（4）∵直线AB：y＝x+1，N（1，2）∴MN＝2
∵要使四边形为平行四边形只要DE＝MN．
∴分两种情况：
①D点在E点的上方，则
DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a+1）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
∴a＝1（舍去）或a＝2；
②D点在E点的下方，则 DE＝a2﹣3a＝2，
∴a＝(3+√17)/2或(3-√17)/2；
综上所述，满足题意的点P是存在的，坐标为（2，0）或（(3+√17)/2，0）或（(3-√17)/2，0）．
【知识点】二次函数综合题
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝13x2+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y＝8x有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求直线AC的表达式；
（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵将x＝4代入y＝8x得：y＝2，
∴B（4，2）．
∵点A在y轴上，且直线AC在y轴上的截距是﹣6，
∴A（0，﹣6）．
∵将B（4，2）、A（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：c=-6 163+4b+c=2，
解得：b=23 ， c=-6
∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣6．
（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣b2a＝﹣1．
∴点B关于x＝﹣1的对称点C的坐标为（﹣6，2）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b．
∵将点A（0，﹣6）、C（﹣6，2）代入得：b=-6 -6k+b=2，解得：k＝﹣43，b＝﹣6，
∴直线AC的解析式为y＝﹣43x﹣6．
（3）①∵B（4，2）C（﹣6，2），
∴BC＝10．
∵A（0，﹣6）、C（﹣6，2），
∴AC＝10．
∴AC＝BC．
∴当CD∥AB时，不存在点D使得四边形A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形．
②如图1所示：

当AD∥BC时，AB＜AC，过点A作BC平行线l，以C为圆心，AB为半径作弧，交l与点D1点，A与D1关于x＝﹣1对称，
∴D1（﹣2，﹣6）．
③如图2所示：BD∥AC时，过点C作CM⊥x轴，过点A作AM⊥y轴，过点B作BF⊥AC，D2E⊥AC．

∵CB∥AM，
∴∠BCA＝∠CAM．
在△AMC和△CBF中，
∠BCA=∠CAM
∠AMC=∠BFC=90°
AC=BC，
∴△AMC≌△CBF．
∴CF＝AM＝6．
∴AF＝4．
∵梯形ABD2C是等腰梯形，
∴CE＝AF＝4．
∴D2B＝EF＝2．
∵BD2∥AC，
∴∠D2BH＝∠BCA．
∵∠BCA＝∠CAM，
∴∠D2BH＝∠CAM．
又∵∠M＝∠D2HB，
∴BHD2∽△AMC．D2H/HB=4/3．
∵BD2＝2，
∴BH=56，HD2＝85，
∴D2（145，185）．
综上所述，点D的坐标为（﹣2，﹣6）或D2（145，185）．
【知识点】二次函数综合题
15.已知，二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求S△AOB；
（3）求对称轴方程；
（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令y＝0，则（x+2）2＝0，
解得x1＝x2＝﹣2，
所以，点A（﹣2，0），
令x＝0，则y＝（0+2）2＝4，
所以，点B（0，4）；

（2）∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴S△AOB＝12OA•OB＝12×2×4＝4；

（3）对称轴方程为直线x＝﹣2；

（4）∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，
∴AP＝OB＝4，
当点P在点A的上方时，点P的坐标为（﹣2，4），
当点P在点A的下方时，点P的坐标为（﹣2，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣4）时，以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形．
【知识点】二次函数综合题