2023中考数学二轮复习专题03 二次函数的性质

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专题03 二次函数的性质
知识概要
1、 二次函数的性质：
（1）函数的图象与a的符号关系．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；
③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
2、抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）．
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性

向上
(0, 0)
y轴
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0．

向下
(0, 0)
y轴
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0．
3．二次函数的性质：
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性

向上
(0, c)
y轴
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c．

向下
(0, c)
y轴
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c．
4．二次函数()的性质：
a的
符号
开口
方向
顶点
坐标
对称轴
增减性

向上
（h，k）
x=h
时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k．

向下
（h，k）
x=h
时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k．


5．二次函数的性质：
配方：二次函数
a的
符号
开口
方向
顶点坐标
对称轴
增减性

向上
（，）

时，y随x的增大而增大；
时，y随x的增大而减小；
时，y有最小值．

向下
（，）

时，y随x的增大而减小；
时，y随x的增大而增大；
时，y有最大值．
注意：二次函数与坐标轴的交点：
（1）与y轴的交点：；
（2）与x轴的交点：使方程成立的x值．

强化训练

一、单选题（共10小题）
1. [较易] 在下列对抛物线y＝﹣（x﹣1）2的描述中，正确的是（　　）
A．开口向上 B．顶点在x轴上
C．对称轴是直线x＝﹣1 D．与y轴的交点是（0，1）
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2中a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，故A错误；
∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2，
∴抛物线的对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，0），故B正确，C错误；
令x＝0，则y＝﹣1，
∴与y轴的交点是（0，﹣1），故D错误．
故选：B．
【知识点】二次函数的性质
2. [较易] 抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点总在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．直线y＝x上 D．直线y＝﹣x上
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点坐标为（k，k），
∴顶点坐标满足直线y＝x，故顶点总在直线y＝x上，
故选：C．
【知识点】二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征
3. [容易] 对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点坐标是（1，﹣2）
C．对称轴是直线 x＝﹣1 D．函数有最小值为 2
【答案】D
【解答】解；A、由于a＝1＞0，所以开口向上，故A错误．
B、由二次函数y＝（x﹣1）2+2可知顶点为（1，2），故B错误．
C、由二次函数y＝（x﹣1）2+2可知对称轴为x＝1，故C错误．
D、当x＝1时，函数有最小值2，故D正确．
故选：D．
【知识点】二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数的性质
4. [较易] 抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），
故选：A．
【知识点】二次函数的性质
5. [较易] 关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（　　）
A．开口方向向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标为（1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，根据a＝3＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴A、B、C说法正确；
D说法错误．
故选：D．
【知识点】二次函数的性质
6. [一般] 关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（　　）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5
B．当x＝12时，y有最小值a﹣9
C．x＝2对应的函数值比最小值大7
D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【解答】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：，
若过点（4，5），
则，解得：a＝﹣5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；
C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，
即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选：C．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征
7. [一般] 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣2
﹣3
﹣2
1
…
则下列说法错误的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．当x＞2时，y随x的增大而增大
D．方程ax2+bx+c＝0有一个根小于﹣1
【答案】D
【解答】解：A．∵抛物线的对称轴为x＝1，在对称轴的右侧，y随x的最大增大，
故抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意；

B．由表格可知：抛物线的顶点为（1，﹣3），
故抛物线的对称轴为直线x＝1，
故选项B正确，不符合题意；

C．由A知，x＞1时，y随x的增大而增大，
故当x＞2时，y随x的增大而增大，故C正确，不符合题意；

D．∵抛物线的对称轴为直线x＝1，还有（2，﹣2）和（3，1），
当x＝3时，y＝1，根据函数的对称性，
则当x＝﹣1时，y＝1，
而x＝0时，y＝﹣2，
即x＝0时，y＜0，x＝﹣1时，y＞0，故有一个根在﹣1和0之间，则这个根大于﹣1，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征
8. [一般] 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，
∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣），
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m﹣﹣3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，
∴点（，m﹣﹣3）在第四象限；
故选：D．
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象与几何变换
9. [一般] 已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：A、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，故选项符合题意；
B、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；
C、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＜0，m＜0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象应该开口向下，抛物线与y轴交于负半轴，故本选项不符合题意；
D、由一次函数y2＝nx+m（mn≠0）的图象可得：n＞0，m＞0．此时二次函数y1＝mx2+n的图象开口向上，抛物线与y轴交于正半轴，故本选项不符合题意；
故选：A．
【知识点】一次函数的图象、二次函数的图象、二次函数的性质
10. [一般] 已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），
∴抛物线的顶点为（5，9），
∵当7＜m＜8时，总有n＜1，
∴a不可能大于0，
则a＜0，
∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，
∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，
∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，
∴，
∴4a+9＝1，
∴a＝﹣2，
故选：D．
【知识点】二次函数的性质

二、填空题（共10小题）
11. [较易] 如果抛物线l经过点A（﹣2，0）和B（5，0），那么该抛物线的对称轴是直线　　．
【答案】x=
3
2

【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣2，0）和点B（5，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝．
故答案为：x＝．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质
12. [较易] 二次函数y＝2x2+4x图象的顶点坐标为　　．
【答案】（1，-2）
【解答】解：y＝2x2+4x
＝2（x2+2x）
＝2（x﹣1）2﹣2，
则二次函数图象的顶点坐标为：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【知识点】二次函数的性质
13. [较易] 如果抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向　　．
【答案】向上
【解答】解：由抛物线y＝m（x+1）2+m（m是常数）可知顶点为（﹣1，m），
∵顶点坐标在第二象限，
∴m＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：向上．
【知识点】二次函数的性质
14. [较易] 抛物线y＝3x2﹣6的顶点坐标为　　．
【答案】（0，-6）
【解答】解：∵抛物线y＝3x2﹣6，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，﹣6），
故答案为（0，﹣6）．
【知识点】二次函数的性质
15. [较易] 如果抛物线y＝（x+m）2+k﹣2的顶点在x轴上，那么常数k为　　．
【答案】2
【解答】解：∵抛物线y＝（x+m）2+k﹣2的顶点在x轴上，
∴k﹣2＝0，
解得：k＝2，
故答案为：2．
【知识点】二次函数的性质
16. [一般] 点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1　　　y2．
【答案】＞
【解答】解：∵二次函数对称轴为：x＝1，a＝﹣1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵3＞2＞1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质
17. [一般] 当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称曲线．如果抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2是关于直线x＝﹣1的对称曲线，那么抛物线C2的表达式为　　．
【答案】y=（x+3）2-1
【解答】解：抛物线C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，其顶点坐标是（1，﹣1）．
∴点（1，﹣1）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，﹣1）．
∵抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2是关于直线x＝﹣1对称，
∴抛物线C2的顶点坐标是（﹣3，﹣1），其开口方向与大小均与抛物线C1一致，
∴抛物线C2的表达式为y＝（x+3）2﹣1．
故答案是：y＝（x+3）2﹣1．
【知识点】二次函数图象与几何变换、二次函数的性质
18. [一般] 如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向　　．（填“向上”或“向下”）
【答案】向上
【解答】解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，
∴m＝0，
∴a＝4＞0，
∴该抛物线的开口方向向上．
故答案为：向上．
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征
19. [较难] 已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是　　．（填写所有正确结论的序号）

【答案】②④
【解答】解：①当x＝2时，y1＝4，y2＝4+b，无法判断4与4+b的大小，故①错误．
②如图1中，b＝﹣3时，

由，解得或，
∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），
观察图象可知，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3，故②正确，
③如图2中，b＝﹣5时，图象如图所示，

M＝3时，y1＝3，
∴﹣x2+4x＝3，
解得x＝1或3，
y2＝3时，3＝2x﹣5，解得x＝4，也符合条件，
故③错误，
④当b＝1时，由，消去y得到，x2﹣2x+1＝0，
∵△＝0，
∴此时直线y＝2x+1与抛物线只有一个交点，
∴b＞1时，直线y＝2x+b与抛物线没有交点，
∴M随x的增大而增大，故④正确．
故答案为②④．
【知识点】二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质
20. [较难] 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
3
y
n
﹣3
﹣3
当n＞0时，下列结论中一定正确的是　　．（填序号即可）
①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．
【答案】①②④
【解答】解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即＝﹣，则b＝﹣3a，
∵n＞0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故抛物线开口向上，则a＞0，
对称轴在y轴的右侧，故b＜0，而c＝﹣3，故bc＞0正确，符合题意；
②x＝2在函数对称轴的右侧，故y的值随x值的增大而增大，故②正确，符合题意；
③当x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a﹣3＜4a，故③错误，不符合题意；
④当n＝1时，即：x＝﹣1时，y＝1，
ax2+（b+1）x+c＝0可以变形为ax2+bx+c＝﹣x，即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2+bx+c图象情况，
当x＝﹣1，y＝1，即（﹣1，1）是上述两个图象的交点，
根据函数的对称性，另外一个交点的横坐标为：×2＝3，则该交点为（3，﹣3），
故两个函数交点的横坐标为﹣1、3，
即关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3，正确，符合题意，
故答案为：①②④．
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系、抛物线与x轴的交点

三、解答题（共5小题）
21. [一般] 已知二次函数y＝ax2﹣ax（a≠0）的图象经过点（﹣1，2）．
（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线y＝x2+3x+？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．
【解答】解：（1）把点（﹣1，2）代入y＝ax2﹣ax（a≠0），得a+a＝2．
解得a＝1．
故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x．
由y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣知，该抛物线的顶点坐标是（，﹣）；

（2）可以，理由如下：
由y＝x2+3x+，得y＝（x+）2﹣．
则平移后抛物线顶点坐标是（﹣，）．
而抛物线y＝x2﹣x的顶点坐标是（﹣，﹣），
所以将抛物线y＝x2﹣x先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到抛物线y＝x2+3x+．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质
22. [较易] 已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∵直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴，得，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（1，4），
∵△ACM与△ABC的面积相等，点B的坐标为（0，3），
∴点M的纵坐标是3或﹣3，
当点M的纵坐标为3时，3＝﹣x2+2x+3，得x1＝0，x2＝2，
则点M的坐标为（2，3）；
当点M的纵坐标为﹣3时，﹣3＝﹣x2+2x+3，得x3＝+1，x4＝﹣+1，
则点M的坐标为（+1，﹣3）或（﹣+1，﹣3）；
由上可得，点M的坐标为（2，3）、（+1，﹣3）或（﹣+1，﹣3）．
【知识点】抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征
23. [较易] 根据学习函数的经验，探究函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0）的图象和性质：
（1）下表给出了部分x，y的取值；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
﹣1
0
3
0
﹣1
0
3
…
由上表可知，a＝　　，b＝　　；
（2）用你喜欢的方式在坐标系中画出函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4的图象；
（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）若方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，请直接写出m的取值范围？
【答案】【第1空】-2
【第2空】-1
【解答】解：（1）将点（0，0）、（1，3）代入函数y＝x2+ax﹣4|x+b|+4（b＜0），得
解得a＝﹣2，b＝﹣1，
故答案为﹣2，﹣1；
（2）画出函数图象如图：

（3）该函数的一条性质：函数关于x＝1对称；
（4）由直线y＝x+m与抛物线y＝x2+2x（x＜0）相切时，以及经过点（1，3）时有3个的交点，
∴当﹣≤m≤2时，方程x2+ax﹣4|x+b|+4＝x+m至少有3个不同的实数解，
故答案为﹣≤m≤2．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点、根的判别式
24. [一般] 如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，﹣3）两点．
（1）求b，c的值；
（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝x2+bx+c，得
．
解得；

（2）由（1）可得：抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），则A（﹣3，0），B（1，0）．
观察函数图象知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质
25. [一般] 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2x﹣3a（a≠0）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式及A、B两点坐标；
（2）若抛物线交y轴于点C，顶点为D，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）根据题意知，x＝﹣＝﹣1，则a＝1．
故该抛物线解析式是：y＝x2+2x﹣3．
因为y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
所以A（﹣3，0），B（1，0）；

（2）由（1）知，A（﹣3，0），B（1，0），
由抛物线y＝x2+2x﹣3知，C（0，﹣3）．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴D（﹣1，﹣4）．
∴OA＝2，OC＝3，OE＝1，EB＝2，ED＝4，
∴S四边形ABCD＝S△BOC+S梯形OEDC+S△DAE＝×1×3+（3+4）×1+×2×4＝9．即四边形ABCD的面积是9．

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点