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山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年九年级上学期阶段性综合素养评价(四)数学试卷
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这是一份山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年九年级上学期阶段性综合素养评价(四)数学试卷,共25页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年九年级上学期阶段性综合素养评价(四)数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.下面四个手机应用图标中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若函数的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则m的取值范围是
A.m<﹣2 B.m<0 C.m>﹣2 D.m>0
3.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A. B. C.且 D.且
4.如图,△ABC为钝角三角形,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′,连接BB′,若AC′∥BB′,则∠CAB′的度数为( )
A.45° B.60° C.70° D.90°
5.用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体,这个几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
6.如图,大同南站某自动扶梯的倾斜角为,自动扶梯的长为15米,则大厅两层之间的高度为( )
A.米 B.米 C.米 D.以上都不对
7.下列事件中是必然事件的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上
B.随意翻到一本书的某页,这一页的页码是偶数
C.打开电视机,正在播放广告
D.从两个班级中任选三名学生,至少有两名学生来自同一个班级
8.抛物线的函数表达式为,若将轴向上平移2个单位长度,将轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
9.如图,以为直径,点为圆心的半圆经过点,若,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图,在平面直角坐标系xOy中, 四边形ABCD是矩形,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),顶点C在反比例函数y=的图像上,若 AD:AB=1:2,则k的值是( )
A.8 B.10 C.12 D.6
二、填空题
11.抛物线的顶点坐标是_____________.
12.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠DCE=55°,则∠BOD=________°.
13.如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=x2﹣1上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为_____.
14.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用.如图是小明同学的健康码示意图,用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内,图中黑色部分的总面积为,现在向正方形区域内随机掷点,点落入黑色部分的概率为______.
15.如图,在边长为4的正方形中,为边的中点,是边上的动点,将沿所在直线折叠得到,连接,则当取得最小值时,的值为_____________.
三、解答题
16.计算:
(1)解方程:;
(2).
17.冰天雪地也是金山银山,北京张家口即将联合举办2022年北京冬季奥运会(简称“冬奥会“),在我国刮起了冰雪运动的旋风.某校为了了解七年级学生最喜爱的冬奥会项目,校团委宣传部李老师通过学校公众号向七年级学生发放调查问卷,要求如实填写并提交.
收集数据:李老师从中随机抽查了40份问卷,得到如下数据:
ADABDCADEBEBCEDACADCCADDCDBDAECECDCADCDC
整理分析:李老师整理了这组数据并将结果绘制成两幅均不完整的统计图.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)请补全条形统计图.
(2)在扇形统计图中,m= ,“项目E”所对应扇形圆心角的度数为 .
(3)最喜爱“B.滑冰”项目的有1名女生和3名男生,从中任选2名参加比赛,请用列表或画树状图的方法,求恰好选中1名男生和1名女生的概率.
18.在平面直角坐标系中的位置如图所示,网格中每个小正方形的边长均为1.
(1)按要求作图:先将绕原点逆时针旋转得到,再以原点为位似中心,在原点异侧画,使它与的相似比为;
(2)写出点,的坐标.
19.如图,一次函数与反比例函数的图象交于,两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求的面积.
20.图1是某种路灯的实物图片,图2是该路灯的平面示意图,为立柱的一部分,灯臂,支架与立柱分别交于A,B两点,灯臂与支架交于点C,已知,,,求支架的长.(结果精确到,参考数据:,,)
21.请阅读下列材料,并完成相应的任务:
斯库顿定理:如图1.在中,为的平分线,则.下面是该定理的证明过程:
证明:如图2,是的外接圆,延长交于点,连接.
∵为的平分线,
∴.
∵,(依据①__________________________)
.(依据②_________________________)
又,
.
.
……
任务:
(1)证明过程中的依据是:
①__________________________________.
②__________________________________.
(2)将证明过程补充完整:
(3)如图3.在圆内接四边形中,对角线,相交于点.若,,,,,请利用斯库顿定理,直接写出线段的长.
22.如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
23.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点,与y轴交于点C,且直线过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称.点P是线段上一动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线于点N.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使得以三点为顶点的三角形是直角三角形,若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案:
1.B
【分析】中心对称图形的定义:如果把一个图形绕着一个定点旋转后,与初始图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.据此定义即可判断.
【详解】解:A、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、是中心对称图形,故此选项符合题意;
C、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
D、不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选B.
【点睛】此题考查中心对称图形的定义,熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键.
2.A
【分析】根据反比例函数的增减性列出关于的不等式,求出的取值范围即可.
【详解】∵函数的图象在其所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,
∴m+2<0,
解得:m<﹣2.
故选A.
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质,熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.
3.D
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且,从而求解.
【详解】解:根据题意得:a≠0且,即
,
解得:且,
故选D.
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
4.D
【详解】已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′,根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°,AB=AB′,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=(180°-120°)=30°,再由AC′∥BB′,可得∠C′AB′=∠AB′B=30°,所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°.故选D.
5.C
【详解】解:找到从左面看所得到的图形即可:
从左面看易得有两层,上层右边是1个正方形;下层有1个长方形,且中间有一看不见的竖线.
故选C.
6.A
【分析】根据题意得,,即可得.
【详解】解:根据题意得,,
(米),
故选:A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数,解题的关键是理解题意,掌握正弦的定义.
7.D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
【详解】解:A、掷一枚质地均匀的硬币,正面向上是随机事件;
B、随意翻到一本书的某页,这一页的页码是偶数,是随机事件;
C、打开电视机,正在播放广告,是随机事件;
D、从两个班级中任选三名学生,至少有两名学生来自同一个班级,是必然事件.
故选:D.
【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念,掌握三种事件的区别与联系成为解答本题的关键.
8.C
【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移,再求解析式即可.
【详解】解:若将轴向上平移2个单位长度,
相当于将函数图像向下平移2个单位长度,
将轴向左平移3个单位长度,
相当于将函数图像向右平移3个单位长度,
则平移以后的函数解析式为:
化简得:,
故选:C.
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移,将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键.
9.A
【分析】先利用圆周角定理可得,然后可得△ABC是等腰直角三角形,进而可得△AOC和△BOC都为等腰直角三角形,于是得到,然后根据扇形面积公式可进行求解.
【详解】解:∵为直径,
∴,
∵,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴,则OA=OB=1,
∴OC⊥AB,
∴△AOC和△BOC都为等腰直角三角形,
∴,
∴;
故选A.
【点睛】本题主要考查扇形面积公式及圆周角定理,熟练掌握扇形面积公式及圆周角定理是解题的关键.
10.B
【分析】如图(见解析),先根据点A、B的坐标求出OA、OB的长,再根据矩形的性质得出,,然后根据直角三角形的性质、角的和差得出,最后根据相似三角形的判定与性质求出BE、CE的长,从而可得出点C的坐标,将其代入反比例函数的解析式即可得出答案.
【详解】如图,过点C作轴于点E
点A的坐标为,点B的坐标为
四边形ABCD是矩形,
,
又
,即
解得
点C的坐标为
将点代入反比例函数的解析式得:
解得
故选:B.
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识点,通过作辅助线,构造相似三角形是解题关键.
11.
【分析】把抛物线化成顶点式,即可得到答案.
【详解】解:∵,
∴抛物线的顶点坐标是.
故答案为:
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标,把抛物线化成顶点式是解题的关键.
12.110°
【分析】首先根据邻补角的定义求得∠BCD的度数,然后利用圆内接四边形的性质求得∠A的度数,然后利用圆周角定理求得∠BOD的度数.
【详解】解:∵∠DCE=55°,
∴∠BCD=125°,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A=55°,
∴∠BOD=2∠A=110°,
故答案为:110°.
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质,注意:①圆内接四边形的对角互补,②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
13.(,2)或(﹣,2)
【分析】根据直线和圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,得点P的纵坐标是2或-2.将P的纵坐标代入函数解析式,求P点坐标即可
【详解】根据直线和圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,得点P的纵坐标是2或-2.
当y=2时, x2-1=2,解得x=±
当y=-2时, x2-1=-2,方程无解
故P点的坐标为()或(-)
【点睛】此题注意应考虑两种情况.熟悉直线和圆的位置关系应满足的数量关系是解题的关键.
14.
【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可解答.
【详解】解:由题意可知,正方形的面积为,
因为黑色部分的总面积为,
所以向正方形区域内随机掷点,点落入黑色部分的概率为
故答案为:.
【点睛】本题考查概率的实际应用,涉及几何概率,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
15.
【分析】先利用辅助圆确定当取得最小值时的位置,再利用勾股定理建立方程和正切的定义求解即可.
【详解】解:∵正方形边长为4,为边的中点,
∴
如图,以为直径作圆,则该圆是以点E为圆心,2为半径的圆,
连接,与圆交于点M,
则当位于点M处时,取最小值,
记当位于点M处时的折痕为,连接,设,
∴,
∴,
∵中,,
∴,
由折叠知,,
∴,
∴中,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了动点问题,涉及到了用辅助圆确定动点的某个特殊位置,求一个角的正切,勾股定理,正方形的性质等内容,解题关键是确定当取得最小值时的位置.
16.(1),
(2)
【分析】(1)根据因式分解法可解答此方程;
(2)首先把特殊角的三角函数值代入,然后进行化简求值即可.
【详解】(1)解:;
,
(2)解:原式
【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法,解答此类问题的关键是根据方程的特点,选取合适的方法解方程,本题也考查了特殊三角函数的混合运算.
17.(1)见解析
(2)30,45°
(3),树状图见解析,
【分析】(1)先求出最喜爱“D.冰球和冰壶”项目的人数和最喜爱“E.冬季两项”项目的人数,然后补全统计图即可;
(2)根据总人数乘以m%等于最喜爱“D.冰球和冰壶”项目的人数即可求出m,用360度乘以最喜爱“E.冬季两项”项目的人数占比即可求出“项目E”所对应扇形圆心角的度数;
(3)列出树状图得到所有的等可能性的结果数,然后找到恰好为1名男生1名女生的结果数最后根据概率计算公式求解即可.
【详解】(1)解:由题意得:最喜爱“D.冰球和冰壶”项目的人数为12人,最喜爱“E.冬季两项”项目的人数为5人,
∴补全统计图如下:
(2)解:由题意得:,
∴,
“项目E”所对应扇形圆心角的度数为
(3)解列树状图如下:
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数,其中恰好为1名男生1名女生的结果数为6种,
∴恰好选中1名男生和1名女生的概率为.
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联,树状图或列表法求解概率,正确理解题意读懂统计图是解题的关键.
18.(1)见解析
(2),
【分析】(1)根据旋转作图,确定的位置,再根据位似比等于相似比,使,画出;
(2)根据图形直接写出点的坐标即可.
【详解】(1)解:如图所示:,即为所求;
(2)如图可知:,.
【点睛】本题考查旋转作图,位似作图.熟练掌握旋转三要素,以及位似比等于相似比,是解题的关键.
19.(1)一次函数的解析式为;
(2)的面积为9.
【分析】(1)先求得,得到,,再通过待定系数法求函数解析式;
(2)先求得直线交x轴于点C的坐标,再利用求解.
【详解】(1)解:∵,在反比例函数的图象上,
∴,
∴,,
∴,
解得,
∴一次函数的解析式为;
(2)解:设直线交x轴于点C,
令,则,
∴点C,
∴
.
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键是掌握待定系数法求函数解析式,掌握坐标系内求图形面积的方法.
20.49cm
【分析】过点C作CD⊥MN,垂足为D,分别解△ACD和△BCD,即可得到结果.
【详解】解:过点C作CD⊥MN,垂足为D,
∵∠MAC=60°,∠ACB=15°,
∴∠ABC=60°-15°=45°,∠ACD=30°,
∴△BCD是等腰直角三角形,
∵AC=40cm,
∴在Rt△ACD中,AD=AC=20cm,
∴CD=cm,
∴在Rt△BCD中,BC=cm,
∴支架BC的长为49cm.
【点睛】本题考查了解直角三角形,涉及到等腰直角三角形的判定和性质,含30°的直角三角形的性质,解题的关键是添加辅助线,构造特殊直角三角形.
21.(1)①同弧或等弧所对的圆周角相等,②两角分别相等的两个三角形相似;(2)见解析;(3)
【分析】(1)由图可知和所对的弧是同一条弧,根据同弧或者等弧所对圆周角相等可知结论;已知两角分别相等的两个三角形相似;
(2)已知两角分别相等的两个三角形相似可知,进而得到比例关系,最后得出结论;
(3)由斯库顿定理,得,从而求出的值,再根据两角分别相等的两个三角形相似可知:,进而得出的值,最后由线段和可知的值.
【详解】解:(1)①同弧或等弧所对的圆周角相等
∵和所对的弧是同一条弧
∴①应填:同弧或等弧所对的圆周角相等
②两角分别相等的两个三角形相似
∵题目中的结论是两个三角形相似,用的方式是三角形的两个角分别相等
∴②应填两角分别相等的两个三角形相似
(2)∵,.
.
(3)
∵.
∴弧弧
∴
∴平分.
由斯库顿定理,得
又∵,,,,
∴.
解得或(舍去)。
∵, .
∴
∴
∴
解得
∴
【点睛】本题是一道阅读理解题,通过读材料运用已知条件得到斯库顿定理,理解并会运用斯库顿定理是解题的关键.
22.(1)见解析;(2)30°或150°,的长最大值为,此时
【分析】(1)延长ED交AG于点H,易证△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,α=30°,α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,α=150°;
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,AF′=AO+OF′=+2,此时α=315°.
【详解】解:(1)如图1,延长ED交AG于点H,
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°,
∴∠GAO+∠DEO=90°,
∴∠AHE=90°,
即DE⊥AG;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,
∵OA=OD=OG=OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,
∴∠AG′O=30°,
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘,
即α=30°;
(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,
同理可求∠BOG′=30°,
∴α=180°−30°=150°.
综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.
②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴OA=OD=OC=OB=,
∵OG=2OD,
∴OG′=OG=,
∴OF′=2,
∴AF′=AO+OF′=+2,
∵∠COE′=45°,
∴此时α=315°.
【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握正方形的四条边相等、四个角相等,旋转变换的性质,注意特殊角的三角函数值的应用.
23.(1);(2)(2,0);(3)存在,(0,12)或(0,-4)或(0,)或(0,).
【分析】(1)根据直线求出点B和点D坐标,再根据C和D之间的关系求出点C坐标,最后运用待定系数法求出抛物线表达式;
(2)设点P坐标为(m,0),表示出M和N的坐标,再利用三角形面积求法得出S△BMD=,再求最值即可;
(3)分当∠QMN=90°时,当∠QNM=90°时,当∠MQN=90°时,三种情况,结合相似三角形的判定和性质,分别求解即可.
【详解】解:(1)∵直线过点B,点B在x轴上,
令y=0,解得x=6,令x=0,解得y=-6,
∴B(6,0),D(0,-6),
∵点C和点D关于x轴对称,
∴C(0,6),
∵抛物线经过点B和点C,代入,
,解得:,
∴抛物线的表达式为:;
(2)设点P坐标为(m,0),
则点M坐标为(m,),点N坐标为(m,m-6),
∴MN=-m+6=,
∴S△BMD=S△MNB+S△MND
=
=
=-3(m-2)2+48
当m=2时,S△BMD最大=48,
此时点P的坐标为(2,0);
(3)存在,
由(2)可得:M(2,12),N(2,-4),
设点Q的坐标为(0,n),
当∠QMN=90°时,即QM⊥MN,如图,
可得,此时点Q和点M的纵坐标相等,
即Q(0,12);
当∠QNM=90°时,即QN⊥MN,如图,
可得,此时点Q和点N的纵坐标相等,
即Q(0,-4);
当∠MQN=90°时,MQ⊥NQ,如图,
分别过点M和N作y轴的垂线,垂足为E和F,
∵∠MQN=90°,
∴∠MQE+∠NQF=90°,又∠MQE+∠QME=90°,
∴∠NQF=∠QME,
∴△MEQ∽△QFN,
∴,即,
解得:n=或,
∴点Q(0,)或(0,),
综上:点Q的坐标为(0,12)或(0,-4)或(0,)或(0,).
【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的表达式,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,二次函数的最值,解一元二次方程,解题时要注意数形结合,分类讨论思想的运用.
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这是一份山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年九年级上学期阶段性综合素养评价(四)数学试卷,共32页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份山西省大同市第一中学校南校2022-2023学年七年级上学期数学综合素养评价四试卷,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。