广州市天河区汇景实验学校2022-2023学年九年级上学期数学期末测试卷

这是一份广州市天河区汇景实验学校2022-2023学年九年级上学期数学期末测试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广州市天河区汇景实验学校2022-2023学年九年级上学期数学期末测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．代数式有意义时，应满足的条件为（   ）
A． B． C． D．≤-1
4．如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（     ）

A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ）
A． B． C． D．
6．如果将抛物线 向上平移 个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是(　　)
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（   ）

A． B． C． D．
8．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（   ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中，，，，点 E 在 边上由点 A 向点 B 运动（不与点 A，点 B 重合），过点E 作 垂直 交直角边于 F．设， 面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
10．已知抛物线与直线有且只有一个交点，若c为整数，则c的值有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．已知是方程的一个根，则方程的另一个根是_____．
12．若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．
13．某公司 月份的营业额为 万， 月份的营业额为 万，已知 、月的增长率相同，则增长率为 ___________ ．
14．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数是______．

15．如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，若AB=4，则阴影部分的面积是______.

16．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③PQN≌BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 _____（填上所有正确结论的序号）


三、解答题
17．解方程组：
18．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．

19．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值．
20．如图，已知 是 的直径，弦 于点 E，如果 ，弦 ．

(1)求 的长．
(2)求弧 的长
21．为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1

(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.

22．如图，已知一次函数 交 轴于点 ，与反比例函数 交于点 ,和点 ,．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接 ，求 的面积；
(3)直接写出当 时 的取值范围．
23．如图，为上一点，点是直径延长线上的一点，连接，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
(1)求点A、B的坐标，并求边AB的长；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小，请求出M点的坐标，并直接写出△MDB的周长最小值．

25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B．
(1)用含a的式子表示b；
(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；
(3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．
①当时，求的最小值；
②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】将262 883 000 000写成，n为正整数的形式即可．
【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是，小数点向左移动了11位，
则262 883 000 000，
故选B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，掌握中n的取值方法是解题的关键．
2．C
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．B
【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．
4．B
【分析】根据圆周角的性质即可求解.
【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，
同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，
故∠CPD=,
故选B.

【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.
5．C
【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．
【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
解得，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
6．D
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：∵抛物线 向上平移 个单位，得到
平移后抛物线的顶点坐标为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
7．A
【分析】根据正方形的判定定理可进行求解．
【详解】解：四边形是菱形，，
四边形是正方形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
8．A
【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：画树状图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．D
【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可；
【详解】解：过点作于点，

，
，
，
，
当，
，
，
，
，即，
，
，开口向上的一段抛物线；
当，

同理可证，
，即，
，
，开口向下的一段抛物线；
综上，符合题意的函数关系的图象是D；
故选：D．
【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．
10．D
【分析】由函数解析式作出抛物线与直线的图象，根据图象关系计算求值即可；
【详解】解：∵，
对称轴为：，∴x=0时，y=c；x=-3时，y=c，
如图为抛物线与直线关系图，

由图象可知：①当直线过抛物线左端点时c=-5，当直线过抛物线右端点时c=-2，
∴当-5≤c＜-2时，直线与抛物线只有一个交点，
∴c为整数时可取-5，-4，-3，
②令，则，时，解得 c=-1，此时方程有两个相等的实数根，抛物线与直线只有一个交点，
∴c的值为：-5，-4，-3，-1，
故选： D．
【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题，利用图象法确定交点个数是解题关键．
11．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另外一个根为x，
由根与系数的关系可知：，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．若是一元二次方程的两根时，．
12．2
【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．
【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，
∴a-1+5=0，5+1-b=0，
∴a=-4，b=6，
∴a+b=2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．
13．
【分析】设、月的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设、月的增长率为，根据题意得：
，
解得：（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
14．125°
【分析】先利用互余计算出∠BAC=90°﹣∠B=55°，再根据旋转的性质得到∠BAB1等于旋转角，根据平角的定义得到∠BAB1=125°，所以旋转角的度数为125°．
【详解】∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=55°．
∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB1等于旋转角，且∠BAB1=180°﹣55°=125°，∴旋转角的度数为125°．
故答案为125°．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．
【分析】作辅助线证明△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式S=即可解题.
【详解】解：连接DE,OD,OE,
在圆中,OA=OD=OE=OB,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴△AOD≌△DOE≌△EOB≌△CDE,且都为等边三角形,
∵AB=4,即OA=OD=OE=OB=2,
易证阴影部分面积=S△CDE==.

【点睛】本题考查了圆的性质,等边三角形的判定和面积公式,属于简单题,作辅助线证明等边三角形是解题关键.
16．①④
【分析】①正确，证明△ADM≌△DCN（SAS），可得结论．
②③错误，利用反证法证明即可．
④正确，利用勾股定理求出AN，再利用直角三角形斜边中线的性质求出PQ，可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，
在△ADM和△DCN，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADP＝90°，
∴∠ADP+∠DAM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AM⊥DN，故①正确，
不妨假设∠MAN＝∠BAN，
在△APN和△ABN中，
，
∴△PAN≌△ABN（AAS），
∴AB＝AP，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故②错误，
不妨假设△PQN≌△BQN，
则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN，
∴AP＝AB，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故③错误，
∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，
∴BN＝6，
∵∠ABN＝90°，
∴AN10，
∵∠APN＝90°，AQ＝QN，
∴PQAN＝5．故④正确，
故答案为：①④．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．
【分析】①×2＋②，消去未知数，求出未知数，再把的值代入①即可求出的值．
【详解】解：，
①×2＋②，得：
，
解得：，
把代入①，得：
，
解得：，
故原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代人消元法；当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法．理解和掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
18．见解析
【分析】由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD，再结合∠ABC=2∠C可得∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A即可证明结论．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠C
∵∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）由关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，可知：
，
∴，
即为，
解得：，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
20．(1)8
(2)

【分析】（1）根据圆周角定理得出再利用含的直角三角形的性质得出，进而解答即可．
（2）求出，进而根据公式求出弧 的长即可．
【详解】（1）解：

，

；
（2）解：连接，

在和中，
∵，
∴，
，
，
∴，
∴弧 的长=
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理、弧长计算公式，掌握圆周角定理是解题关键．
21．(1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).
【分析】(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值；
(2)根据m的值补全直方图即可；
(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；
(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为8，0.35；
(2)补全图形如下：

(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为89.5～94.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.
【点睛】本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.
22．(1)；
(2)
(3)或

【分析】（1）先把点的坐标代入反比例函数解析式求解，然后再得出点的坐标，最后根据待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）根据一次函数与轴交于点，令，得出，进而根据三角形面积公式进行计算即可求解；
（3）由可知反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，进而根据函数图象可进行求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
反比例函数的表达式为，
把代入，得，解得，则，
把，代入，
得，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：∵一次函数 交 轴于点 ，
∴令，解得：，
∴，即
∴


（3）由可知反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，
∴由图象可得当或时，，
∴x的取值范围是：或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)5

【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出，即即可得出结论；
（2）利用相似三角形的判定与性质，求出，进而求出半径，再求出即可．
【详解】（1）如图，连接，

∵是的直径，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴


∴


【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周角定理，相似三角形的性质是解题关键．
24．(1)A(﹣4，0)，B(0，2)；AB=2；(2)D(﹣6，4)，C(﹣2，6)；(3)M坐标为(﹣2，0)，△MDB的周长为2+6．
【分析】(1)对于直线解析式，分别令x＝0与y＝0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，得到OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；
(2)过D作DE垂直于x轴，过C作CF垂直于y轴，根据四边形ABCD的正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用同角的余角相等得到三个角相等，利用AAS得到△EDA，△AOB以及△BFC全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE＝OA＝BF＝4，AE＝OB＝CF＝2，进而求出OE与OF的长，即可确定出D与C的坐标；
(3)找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD＝DM+MB′＝DB′最小，即△BDM周长最小，设直线DB′解析式为y＝kx+b，把D与B′坐标代入求出k与b的值，确定出直线DB′解析式，令y＝0求出x的值，确定出此时M的坐标即可．
【详解】解：(1)对于直线y＝x+2，
令x＝0，得到y＝2；令y＝0，得到x＝﹣4，
∴A(﹣4，0)，B(0，2)，即OA＝4，OB＝2，
则AB＝＝2；
(2)过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥y轴，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠BFC＝∠DEA＝∠AOB＝90°，
∵∠FBC+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠FBC＝∠OAB＝∠EDA，
∴△DEA≌△AOB≌△BFC(AAS)，
∴AE＝OB＝CF＝2，DE＝OA＝FB＝4，
即OE＝OA+AE＝4+2＝6，OF＝OB+BF＝2+4＝6，
则D(﹣6，4)，C(﹣2，6)；
(3)如图所示，连接BD，找出B关于y轴的对称点B′，连接DB′，交x轴于点M，此时BM+MD＝DM+MB′＝DB′最小，即△BDM周长最小，
∵B(0，2)，
∴B′(0，﹣2)，
设直线DB′解析式为y＝kx+b，
把D(﹣6，4)，B′(0，﹣2)代入得：，
解得：k＝﹣1，b＝﹣2，
∴直线DB′解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，得到x＝﹣2，
则M坐标为(﹣2，0)，
此时△MDB的周长为2+6．

【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
25．(1)
(2)，
(3)①1；②或

【分析】（1）把点代入即可得；
（2）由对称轴公式可得抛物线的对称轴为直线，由抛物线对称性得点坐标；
（3）①当时，，即得抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当图象为对称图形时有最小值，可得，，即得的最小值为；
②由（1）知抛物线为，得，，，顶点坐标为，可分四种情况讨论的取值：（Ⅰ）当，且时，，解得，可得；（Ⅱ）当，且时，，可得，（Ⅲ）当，且时，，可得；（Ⅳ）当，且时，，可得，即知当时，，同理可得：当时，也符合条件．
【详解】（1）解：把点代入得：
，
；
（2）解：由（1）知抛物线为，
抛物线的对称轴为直线，
而关于直线的对称点是，
由抛物线对称性得：点坐标；
（3）解：①如图：

当时，，
抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，
由图象知：当图象为对称图形时有最小值，
又，，，
，
，
过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，
，，
顶点坐标为，
的最小值为；
②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，
由（1）知抛物线为，
，，，
又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值：
（Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时，
此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
，
解得，
又，，
且，
；
（Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时，
此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
，
解得，
又，，
且，
，
（Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时，
此时，，
，
解得，
又，，
，
，
；
（Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大，
此时，，
，
解得，
又，，
，
，
综上所述，当时，，
同理可得：当时，也符合条件，
的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象上纵坐标的大小值．