2021-2022学年河北省正定中学高二上学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年河北省正定中学高二上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．

故选B．

【解析】复数的运算；复数的代数表示以及几何意义.

2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度  B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】C

【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.

【详解】因为，

所以由函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象，

故选：C

3．点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．

详解：∵圆，

∴圆心 ，半径．

由题意可知，

点到圆的切线长最小时，直线．

∵圆心到直线的距离 ，

∴切线长的最小值为．

故选C．

点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

4．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】讨论集合是否为空集，根据集合包含关系列出不等式求解即可.

【详解】集合，且，则；

当时，则，解得，满足题意；

当时，，则，解得，

综上可得实数的取值范围为.

故选：B.

5．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】结合已知条件求出圆的圆心和半径，由圆的弦长公式和性质即可求解.

【详解】由圆的方程可知，，

则圆心坐标，半径，

因为

所以在圆的内部，

设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长.

显然当最大时，最小，

由圆的性质可知，当时，最大，

此时，

所以最小的弦长.

故选：A.

6．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分100分，从中随机抽取一个容量为240的样本，发现所给数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如下图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．第三组的频数为36人

B．根据频率分布直方图估计众数为75分

C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为分

D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为70分

【答案】D

【分析】根据题图分析数据，对选项逐一判断

【详解】对于A，因为各组的频率之和等于1， 所以分数在内的频率为：，

所以第三组的频数为（人），故A正确；

对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；

对于C，根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：

（分），故C正确；

对于D，因为，，

所以中位数位于上，所以中位数的估计值为：，故D错误；

故选D

7．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意：，

且：，

据此：，

结合函数的单调性有：，

即.

本题选择C选项.

【解析】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

8．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若的面积为9，则（    ）

A．1 B．2 C． D．3

【答案】D

【分析】利用化简得到之间的关系，即可求得.

【详解】解：；①

又，②

①-②得：，

的面积为，

.

故选：D

二、多选题

9．抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，判断下列结论，错误的有（    ）

A． B．为对立事件 C． D．为对立事件

【答案】AB

【分析】利用互斥事件、对立事件和事件间的关系分析判断即可

【详解】由题意得，“点数为2”，“点数为3”，“点数不大于3”=“点数为1，2，3”，“点数大于3”=“点数为4，5”，“点数大于4”=“点数为5，6”，“点数为奇数”=“点数为1，3，5”，“点数为偶数”=“点数为2，4，6”，

因为“点数为1，2，3，4，5，6”，所以，所以A错误，

因为，“点数为2，3”，所以为互斥事件，但不是对立事件，所以B错误，

对于C，因为，所以C正确，

对于D，因为“点数为1，2，3，4，5，6”，且，所以为对立事件，所以D正确，

故选：AB

10．在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的面积为

C． D．为锐角三角形

【答案】AB

【解析】已知等式利用正弦定理边化角，结合三角形的内角与两角和差公式化简得到，大角对大边，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面积公式可得到的面积.

【详解】∵，∴，

∴，

即，∴．

∵在中，，∴，∴，A正确．

由余弦定理，得得，

，即，

解得或，又，∴，C错误，

∴的面积，B正确．

又，∴A为钝角，为钝角三角形，D错误．

故选：AB.

【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和面积公式在解三角形中的灵活运用，属于中档题.

11．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ）

A．时，满足的点有2个 B．时，满足的点有4个

C．的周长等于 D．的最大值为a2

【答案】ABD

【分析】对和，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案；

对，结合椭圆定义及和的大小关系即可得到答案；

对，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案.

【详解】对和，

又

又

当时，，两个短轴端点恰能使，正确；

当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确；

对，，的周长为，错误；

对，，，正确.

故选：.

12．如图，在三棱锥中，，，，，且到平面的距离为1，则下列说法正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为

B．与所成角的大小为60°

C．

D．三棱锥外接球的表面积为

【答案】ACD

【分析】取AC中点O，连接PO，BO，过P点作BO的垂线，交BO的延长线于D，结合题目条件证明P，A，B，C，D五点为边长为1的正方体的顶点，再在正方体中判断选项．

【详解】取AC中点O，连接PO，BO．如图，

因为BC＝BA，O是AC中点，所以AC⊥BO，又因为AC⊥PB，所以AC⊥平面POB．

过P点作BO的垂线，交BO的延长线于D，则AC⊥PD，所以PD⊥平面ABC，

所以PD＝1，又因为，所以BD＝；

结合条件BC＝BA＝1，AB⊥BC可知四边形ABCD为正方形，且P，A，B，C，D在边长为1的正方体上．

结合正方体的性质，，A选项说法正确．

因为AB∥CD，PC与DC所成角为45°，所以AB与PC所成角的大小为45°，B选项错误；

因为BC⊥平面PDC，所以BC⊥PC，C选项正确；

三棱锥P﹣ABC外接球即为正方体的外接球，PB为直径，所以表面积为，D选项正确．

故选：ACD

三、填空题

13．命题“”的否定是______.

【答案】

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即可求解.

【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题的否定是：.

故答案为：.

14．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则______.

【答案】0

【解析】根据向量的运算法则依次代换成形式，即可得出未知数的值.

【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，

所以

由题：

所以

即.

故答案为：0

【点睛】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可.

15．若圆：上总存在两个点到原点的距离为2，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】将问题转化为圆与圆心为原点，半径为2的圆有两个交点的问题，利用圆心距的关系，化简得到.

【详解】由题意知：将问题转化为圆与圆心为原点，半径为2的圆有两个交点，

两圆圆心距，

 ， 即：,

 或

故实数的取值范围是.

【点睛】本题体现了转化的思想，将问题转化为两圆相交，运用“隐性”圆，将复杂的解析几何问题转化为几何中的基本图形，使得问题的求解简单易行，解法令人赏心悦目，属于中档题.

16．已知是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，是的中点，为坐标原点，则下列说法正确的序号是______.

①椭圆的离心率为；

②存在点使得；

③若，则；

④与的斜率满足.

【答案】②③

【分析】直线的方程为，根据椭圆方程直接求出离心率即可判断①；由，可得，从而可得点的轨迹，再结合的范围即可判断②；根据椭圆的定义即可判断③；由点在椭圆上，得，两式相减整理即可判断④.

【详解】解：因为椭圆的方程为，所以，椭圆的焦点在轴上，

所以，不妨取，

设直线的方程为，

对于①：由上知椭圆的离心率为，故①不正确；

对于②：若，

则，

则，

所以点到原点的距离为4，

因为椭圆上的点到原点的距离的取值范围为，所以存在点使得，故②正确；

对于③：，故③正确；

对于④：因为点在椭圆上，

所以，

两式相减得，，

所以，所以，

所以，所以，所以，故④不正确.

故答案为：②③.

四、解答题

17．已知直线:，其中.

(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；

(2)当时，求过点且与直线垂直的直线方程.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】(1)首先将直线方程化为，然后分别联立且即可求解；(2)利用两直线的垂直关系求出所求直线的斜率，然后利用点斜式即可求解.

【详解】（1）证明：方程，化为：，

联立，解得，，

故直线恒过定点.

（2）当时，直线：，斜率为，

因为所求直线与直线垂直，

所以所求直线的斜率为，

故过点且与直线垂直的直线方程为：，即.

18．如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?

【答案】(1)；

(2)该船有触礁的危险．

【分析】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答.

（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.

【详解】（1）依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点，

又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则，

设过O，A，B三点的圆C的方程为，

则，解得，

所以圆C的方程为．

（2）因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则，

而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为，

由（1）知，圆C的圆心为，半径，

则圆心C到直线l的距离，则，

所以该船有触礁的危险.

19．已知椭圆，离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，且直线倾斜角为，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由椭圆的离心率及所过的点，列出方程组求参数，即可得到椭圆的标准方程.

（2）根据直线与椭圆相交，应用弦长公式求，由点到直线的距离公式，求到的距离，进而求的面积.

【详解】（1）由题设，则，

故，

椭圆的标准方程为

（2）因为直线倾斜角为，即斜率，且过点

所以直线为，联立椭圆方程，消去得：，

设，

则，

到的距离为，

.

20．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时.

(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率;

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率.

【答案】（1）；（2）.

【分析】先计算出两人租车超过三小时，不超过四小时的概率.（1）甲、乙两人所付租车费用相同有三种情况，即三种情况，分别用相互独立事件概率计算公式求概率，然后相加，求得“甲、乙两人所付租车费用相同的概率”.（2）甲、乙两人所付的租车费用之和为4元分成三种情况：甲元乙元，甲元乙元，甲元乙元.分别利用相互独立事件概率计算公式求概率，然后相加，求得“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率”.

【详解】甲、乙两人租车时间超过三小时不超过四小时的概率分别为1-,1-

(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况.付0元的概率为p1=,付2元的概率为p2=,付4元的概率为p3=

则甲、乙两人所付租车费用相同的概率为p=p1+p2+p3=

(2)设甲、乙两人所付的费用之和为ξ元,

则ξ=4表示两人的租车费用之和为4元,其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元;②2元、2元;③4元、0元.

所以可得P(ξ=4)=,即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元时的概率为

【点睛】本小题主要考查相互独立事件的识别以及相互独立事件概率的计算，考查分类加法计数原理的应用，属于基础题.

21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】(1) 将线面平行转化为线线平行证明；作辅助线,取的中点，连，,证明即可；

（2）根据题目可知PA、PB、PD两两垂直，可建立空间直角坐标系，利用平面法向量求解出二面角的余弦值，进一步求解出正弦值.

【详解】（1）证明：如图，取的中点，连， ，

∵，，

∴

∵在直角梯形中，

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴

∵平面，平面，，

∴平面，

（2）∵平面，，

∴， ，两两垂直，以为原点，

，，向量方向分别为轴，轴，

轴建立如图所示空间直角坐标系.

 各点坐标如下：，，，，

设平面的法向量为

由，，

有,取，则，，

即

设平面的法向量为

由，，有，

取 ，则，，即

所以

故二面角的正弦值为.

【点睛】本题考查了线面平行的判定以及空间向量在立体几何中求二面角的应用，属于中档题目，解题中由于要计算各个点的空间坐标以及平面法向量的坐标，计算比较繁杂，对运算能力要求较高，需要准确计算.

22．已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

(1)求的方程；

(2)记曲线的下顶点为，过点的直线（不经过点）与交于两点.证明：直线与直线的斜率之和是为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）首先根据题意，建立等量关系，然后根据椭圆定义即可求解轨迹方程.

（2）首先点斜式设出方程，再联立直线与椭圆，将斜率之和利用韦达定理代换即可证明.

【详解】（1）依题意可知，

则，

所以点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆.

因为，则，

所以曲线的方程为；

（2）证明：由题意，，直线的斜率存在，不妨设的方程为，

设两点的坐标为，

联立，

整理得，

所以，

又

，

故直线与直线的斜率之和是为定值，且定值为.