2021-2022学年湖北省鄂南高级中学高二上学期9月起点考试数学试题（解析版）

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2021-2022学年湖北省鄂南高级中学高二上学期9月起点考试数学试题 一、单选题1．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）A． B．的共轭复数为C．的实部与虚部之和为1 D．在平面内的对应点位于第一象限【答案】D【分析】利用复数除法运算化简，结合复数的模、共轭复数、实部和虚部、复数对应点的坐标等知识确定正确选项.【详解】，所以：，A选项错误.，B选项错误.的实部与虚部之和为2，C选项错误.对应点为，在第一象限,，D选项正确.故选：D2．已知向量，且，则的值为（    ）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【分析】根据，利用坐标运算求得x，进而得到的坐标，再利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：因为，所以，解得，所以，则，所以，故选：A3．某工厂有，两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周，两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为（    ）A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15【答案】A【分析】由相互独立事件概率计算公式可得结果.【详解】由题可得至多有一套生产线需要维护的概率.故选：A.4．直角三角形ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，，则点P到斜边AB的距离是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】构建空间直角坐标系确定、的坐标，利用空间向量坐标表示求点线距离.【详解】以C为原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，3，0），，所以，，所以在上的投影为，所以点P到斜边AB的距离．故选：C【点睛】5．笔峰塔矗立在淦河岸边，是咸宁市现存古迹之一．小张同学为测量笔峰塔的高度，如图，选取了与塔底部D在同一水平面上的两点，在A点和B点处测得C点的仰角分别为 和 ，测得米，，则笔峰塔的高度 为（    ）A．20米 B．25米 C．米 D．米【答案】B【分析】设，根据已知条件表示出，,然后由余弦定理列式解方程，即可求得答案.【详解】依题意，，设，在、中，，，所以，,在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以笔峰塔的高度为25米,故选:B.6．已知直线，，且，点到直线的距离（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两直线垂直公式求得，再用点到线的距离求解即可【详解】由可得，解得，故故选：D7．过点作直线，若经过点和，且，则可作出这样的直线的条数为（    ）A． B． C． D．多于【答案】B【分析】假设直线的截距式方程，可知；当时显然不合题意；当时，由和可确定的取值，由此可确定直线方程.【详解】过点和，且，可设，又过点，，整理可得：；当，时，等式显然不成立；当且时，，，或，解得：或，满足题意的直线方程为：或，满足题意的直线有条.故选：B.8． 中，若，则 的值为（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】由已知条件利用两个向量的数量积的运算法则求得，再利用余弦定可得，根据，利用正弦定理统一成边的形式化简可得结果.【详解】因为在 中，若，所以，所以，因为，所以，所以由余弦定理得，化简得，所以，故选：B 二、多选题9．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（    ）A．当时，直线l与直线垂直B．若直线l与直线平行，则C．直线l过定点D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.故选：AC.10．在中，角,,所对的边分别为,,，下列四个命题中，正确的命题为（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则这个三角形有两解【答案】BCD【分析】对于A选项，利用余弦定理即可判断；对于B选项，先解得，，，再利用正弦定理即可求解；对于C选项，利用边角关系定理以及正弦定理即可判断；对于D选项，利用正弦定理，再结合边角关系定理即可判断.【详解】对于A，因为，则所以，故A错误;对于B, 若，又，则，，则，故B正确;对于C，若，则由正弦定理可得（为的外接圆半径）所以，故C正确;对于D, 由正弦定理得,所以,由得,所以为锐角或钝角，有两解，故D正确.故选: BCD11．某校组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（    ）A．在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有80人B．图中x的值为0.020C．估计全校学生成绩的中位数为87D．估计全校学生成绩的分位数为95【答案】ACD【分析】由频率和为1可求解x，再由频率分布直方图的频率计算人数和中位数，根据百分数定义计算分位数，对选项逐个判断.【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，A中说法正确；由，得，B中说法错误；设中位数为a，则，得，C中说法正确；低于90分的频率为，设样本数据的分位数为n，则，解得，D中说法正确.故选：ACD.12．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ）A．三棱锥的体积为定值B．线段上存在点，使平面C．线段上存在点，使平面平面D．设直线与平面所成角为，则的最大值为【答案】ABD【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，所以 ，，，设（），则所以，平面即解之得当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确对于C，设平面的法向量则，取得 设平面 的法向量 ,则取 , 得 ,平面平面设 , 即 ,解得 ，，不合题意 线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．对于D，平面的法向量为则因为所以所以的最大值为．故D正确．故选：ABD 三、填空题13．如图，在复平面上给定平行四边形OABC，其中点A与点C分别对应复数 与 ，则点B所对应的复数为___________【答案】##【分析】先根据A，C点坐标，将OA和OC转化为向量求出OB，再根据B点的坐标写出B对应的复数.【详解】由题意可知， ，∴ ；故答案为： .14．若直线l经过直线与直线的交点，且点到直线l的距离为2，则直线l的方程为_______________．【答案】或【分析】先求出交点坐标，对直线l的斜率分类讨论，结合点到直线的距离公式即可得到答案【详解】联立解得，即直线与直线的交点为，当直线l的斜率不存在时，直线，易得点到直线l的距离为2，满足题意；当直线l的斜率存在时，可设直线即，所以点到直线l的距离为解得，故此时直线l的方程为即，综上所述，直线l的方程为或，故答案为：或15．在中，，，，点P是边BC的中点，则__________.【答案】2【分析】根据正弦定理求得的长，再利用向量的加减运算表示出，根据数量积的运算律即可求得答案.【详解】由正弦定理得：，所以，故，故答案为：2.16．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设，则___________.【答案】【分析】延长DC，AB交于点G，连接GP，GE且GE与PC交于F，根据已知得C是DG的中点，进而有F是的重心，由重心性质可得，即可得答案.【详解】如图，延长DC，AB交于点G，连接GP，GE且GE与PC交于F.∵，，∴点C是DG的中点，又E是PD的中点，∴F是的重心，∴，即.故答案为： 四、解答题17．甲、乙两人组成“梦之队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为p．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．若“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的概率为．(1)求p的值；(2)求“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式，求解作答.（2）将“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的事件分拆成第一轮猜对两个第二轮猜对一个的事件与第一轮猜对一个第二轮猜对两个的事件的和，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算作答.【详解】（1）“梦之队”在第一轮活动中猜对1个谜语的事件是甲猜对的事件与乙猜对的事件的和，它们互斥，于是得，解得，所以.（2）由（1）知，“梦之队”每一轮活动中猜对1个谜语的事件概率为，猜对两个谜语的事件概率为，“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的事件是第一轮猜对两个第二轮猜对一个事件A与第一轮猜对一个第二轮猜对两个的事件B的和，它们互斥，，，所以“梦之队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为.18．在中，已知，，，为边上的中点，的面积为.(1)求的长；(2)点在边上，且，与相交于点，求的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角形面积公式可得角，再结合向量模长的求法可得线段.（2）在中，由正弦定理可得，进而可得，可知点为三角形的重心，进而可得与，利用余弦定理可得解.【详解】（1）由，解得，又，且即，所以，又，得，所以；（2）在中，，由，得，所以为中点，，即，且点为三角形的重心，则，，所以，所以的余弦值为.19．某市为了解居民月均用水量的整体情况，通过简单随机抽样，获得了其中20户居民的月均用水量（单位：t），数据如下：9.5  11.7  7.1  16.5  8.3  11.2  10.4  13.5  13.2  6.88.5  13.4  9.2  10.2  10.8  12.6  14.2  7.4  9.7  11.8经计算，，，其中为抽取的第i户居民的月均用水量，其中．(1)设“从这20个数据中大于13的数据中任取两个，其中恰有一个数据大于15”为事件A，求A的概率；(2)根据统计原理，决定只保留区间内的数据，剔除该区间外的数据．①利用保留的数据作为样本，估计该市居民月均用水量的平均值与方差（结果保留2位小数）；②根据剔除前后的数据对比，写出一个统计结论．【答案】(1)(2)①估计该市居民月均用水量的平均值是10.5t. 估计该市居民月均用水量的方差是4.93. ②对比剔除前后的数据，可看出剔除后的平均值与剔除前的平均值差别较大，剔除后的方差值与剔除前的方差值差别较大（答案不唯一）. 【分析】（1）从表中数据得，抽取的20户居民的月均用水量大于13的数据有16.5、13.5、13.2、13.4、14.2，共5个，运用列举法和古典概率公式可求得答案；（2）①由已知数据求得，由此剔除了16.5这个数据，其他19个数据将保留作为样本，再计算出样本的平均值和方差；②比较剔除前后的数据，比较剔除前后的平均值和方差可得结论.【详解】（1）解：从表中数据得，抽取的20户居民的月均用水量大于13的数据有16.5、13.5、13.2、13.4、14.2，共5个，记，从上述大于13的5个数据中随机抽取两个的结果有如下：，，，，，，，，，，共10种情况，恰有一个数据大于15的有：，，，，共4种情况，所以；（2）解：由题意得，①，所以，，由此剔除了16.5这个数据，其他19个数据将保留作为样本，即现有样本平均值等于，故估计该市居民月均用水量的平均值是10.5t.剔除了16.5这个数据，其他19个数据将保留作为样本，，所以现有样本的方差为，故估计该市居民月均用水量的方差是4.93.②对比剔除前后的数据，可看出剔除后的平均值与剔除前的平均值差别较大，剔除后的方差值与剔除前的方差值差别较大，16.5作为被剔除的数据，且是样本中最大的数据，对平均值、方差造成较大影响，说明平均数易受极端数据的影响，即一个数据离平均数越远，对平均数的影响越大;故当计算平均值时，可以通过去掉最大值和最小值，以降低它们对平均值计算结果的影响.20．如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.(1)求动点的轨迹方程；(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，或. 【分析】（1）设，，，根据向量相等得到方程组，利用整体思想消去参数，即可求出动点的轨迹方程；（2）设，由得到，再结合（1）求出直线与圆的交点坐标，即可得解.【详解】（1）解：设，，，由，，又，得：，把①②代入上式得，即为点的轨迹方程.（2）解：设，由，得，又点满足，联立得方程组，解得或.故存在点满足条件，点的坐标为或.21．如图，在直三棱柱中，为棱上靠近的三等分点，为棱的中点，点在棱上，且直线平面.(1)求的长;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】(1) 在上取一点，使得，根据面面平行判定定理证明平面平面，再根据面面平行性质定理确定的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，根据二面角向量公式求二面角的余弦值.【详解】（1）在上取一点，使得，连接.由已知得 ，所以所以.因为平面，平面，所以平面.又因为平面 ，平面，所以平面平面.平面平面，平面平面，根据面面平行的性质可知.在矩形中，可得，所以，所以.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系.则. ，，设平面的法向量为 ，则，所以，取得设平面的法向量为，则所以取，得所以结合图可知二面角的余弦值为.22．如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.(1)若过点，且为线段的中点，求直线的方程；(2)若，求的面积取得最大值时直线的方程；(3)设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标.【答案】(1)(2)(3)证明见解析，定点. 【分析】（1）由题意，可设，，，由中点列关于方程组即可求解出坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）由，根据两点距离公式列式，由基本不等式求解得，从而可得当，时三角形面积最大，从而得坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（3）设的方程为，表示出坐标，从而可得，，代入计算可得，即可得直线方程为，判断得定点坐标.【详解】（1）易知直线的方程为，设，，， 为线段的中点，则，解得，所以，，所以，故直线的方程为：，即.（2）设，，.由，得，即.∵，∴，当且仅当，即，时取等号， 所以的面积，当的面积取最大值时，，，所以，直线的方程为：，即.（3）由题意，直线斜率不为，设的方程为.令，得，即；令，得，即∴，由得：，即，∴的方程为，即，∴直线恒过定点.