2021-2022学年湖北省四校协作体高二上学期11月联考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省四校协作体高二上学期11月联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省四校协作体高二上学期11月联考数学试题 一、单选题1．已知集合，，，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求解集合和，按交集的定义即可求出结果.【详解】解：因为，，，，所以，于是.故选：B2．已知（其中为虚数单位），则复数（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意和复数的乘法运算，求得，结合共轭复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数，可得，所以.故选：B.3．“”是“方程为椭圆”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合椭圆方程的特征进行求解判断即可.【详解】解：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的充分不必要条件，故选：A4．如图，在四面体中，，，，点为的中点，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用插点的方法，将归结到题目中基向量中去，注意中线向量的运用.【详解】.故选：B.5．已知直线，平行，则a的值为（    ）A． B．3 C．或3 D．无法确定【答案】A【分析】根据两直线平行，首先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率相等得到，解出值，再代入检验即可.【详解】由的斜率存在，且，可得两直线的斜率是存在的，故，可得，解得或，验证：当时，，的方程分别为，，与重合，故舍去；当时，，的方程分别为，，符合条件．∴ 故选：A.6．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，点是棱的中点，则异面直线与所成的角为（    ）A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】B【分析】以为原点，建立空间直线坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．【详解】以为原点，建立如图所示的空间直线坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，，，2，，，2，，，2，，，，，，异面直线与所成的角为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（       ）A．为奇函数 B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称 D．在上单调递减【答案】D【分析】根据三角函数平移变换可得，由此可得，知其不是奇函数，A错误；利用代入检验法可判断出BCD的正误.【详解】由题意得：；对于A，，不是奇函数，A错误；对于B，当时，，不是的对称轴，B错误；对于C，当时，，不是的对称中心，C错误；对于D，当时，，在上单调递减，D正确.故选：D.8．若直线l：与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】解：直线l：恒过定点，由，所以曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，），如下图所示：当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时；当l与半圆相切时，由，得，分析可知当时，l与曲线C有两个不同的交点，故选：A 二、多选题9．设为两个不重合的平面，为两两不重合的直线，以下结论正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ABD【分析】对于A：根据线面垂直的性质可判断；对于B：根据面面平行的性质可判断；对于C：根据线面垂直的判定定理可判断；对于D：根据面面垂直的判定定理可判断.【详解】解：对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为若，则，故B正确；对于C：若，则与不一定垂直，故C不正确；对于D：若，所以在面内存在着直线m，使得，所以，所以，故D正确，故选：ABD.10．已知直线，，，以下结论正确的是（    ）A．当时，直线的倾斜角为B．不论a为何值时，与都互相垂直C．当a变化时，与分别经过定点和D．不论a为何值时，与都关于直线对称【答案】BC【分析】根据直线的定义和几何特征逐项分析即可.【详解】对A，时，直线的斜率为，的倾斜角为，A错误；对B，当 时， 为 ， 为 ， ；当 时，，  与互相垂直恒成立，B正确；对于C，直线：，将点 代入总成立，所以恒过定点；：，将点 代入恒成立，所以恒过定点，C正确；对于D，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入：，则左边不等于0，故D错误；故选：BC.11．已知椭圆的左、右焦点分别为F、E，直线与椭圆相交于A、B两点，则（    ）A．当时的面积为 B．不存在m，使为直角三角形C．存在m，使四边形面积最大 D．的周长没有最大值【答案】AC【分析】对A选项，令，求出长，则得到面积，对B选项，分别令，，求出，，则存在m使为等腰直角三角形，对C通过面积分析出，长最大，此时面积最大，对D选项利用椭圆定义分析得，即直线过右焦点时周长最大.【详解】在椭圆中，，左焦点，右焦点，对于A，当时，A，B为椭圆的短轴的两端点，则，易得的面积为，故A正确；对于B，当时，易得，当时，把代入椭圆方程可得，则，，所以，根据椭圆的对称性，存在m使为等腰直角三角形，故B错误；对于C，四边形的面积为，所以当时，长最大，此时四边形的面积最大，故C正确；对于D，三角形的周长为，∵，∴，当过点E时取等号，，即直线过椭圆的右焦点E时，的周长最大，故D错误．故选：AC.12．如图，在长方体中，，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）A．当时，B、P、三点共线B．当时，C．当时，平面D．当时，平面【答案】ACD【分析】如图，以D为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，表示出的坐标，再逐个分析判断即可.【详解】解：如图，以D为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系：则，，设，，则，可得，，对于A：当时，则点P为对角线的中点，根据长方体性质可得三点共线，故A正确；对于B：当时，∴，解得，所以， 则，因此不正确，故B错误；对于C：当时，，设平面的法向量为，，∴，，当时，，，故，∴，∴，又平面，∴平面，故C正确；对于D：当时，可得，，设平面的法向量为，则，，取，则，∴，而，∴，∴平面，故D正确．故选：ACD 三、填空题13．点是圆的弦的中点，则直线的方程是__________．【答案】【详解】圆心，，则，则直线方程是，即．14．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为__________．【答案】0.26【分析】根据独立事件公式求解即可.【详解】由题意可得，“恰有一人中靶”事件可分为“甲中靶，乙不中靶”和“乙中靶，甲不中靶”，∴两个人射击一次恰有一人中靶的概率为 ；故答案为：0.26.15．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C的面积为，分别是椭圆C的两个焦点，过的直线交椭圆C于A，B两点，若的周长为8，则椭圆C的离心率为__________．【答案】##0.5【分析】由题意可知椭圆面积为，的周长为，列出等式，求解，依据椭圆的定义可求出，即求出离心率.【详解】解：由题意可知：，解得，，又，∴，∴.故答案为：16．已知圆从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且，则的最小值为__________．【答案】##【分析】设点，根据，，代入化简得，得到点轨迹，再求出圆心到直线的距离最值即可.【详解】设点P的坐标为，圆C：，圆心，半径为，∵圆C的切线与半径垂直，∴，又，可得，∴，∴，∴动点P的轨迹是直线，的最小值就是的最小值，又∵的最小值为原点O到直线的距离，∴的最小值为，故答案为：. 四、解答题17．为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求的值并估计这次竞赛成绩的第75百分位数；（2）用分层抽样的方法从成绩在，两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率.【答案】（1）a=0.020，第75百分位数为；（2）.【分析】（1）根据频率直方图的频率总和为1求参数a，进而求第75百分位数；（2）由分层抽样确定5人的组成，再应用列举法求古典概型的概率.【详解】（1）由直方图得：，解得：，前四组频率之和，则第75百分位数在小组，∴第75百分位数为：；（2）来自小组的有3人记为，，，来自小组的有2人记为，，从5人中随机抽取2人，基本事件为，，，，，，，，，共10个，这2人来自不同组的有，，，，，共6个，∴这2人来自不同小组的概率为.18．圆心在曲线（）上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为．（1）求圆的方程；（2）求过点且与该圆相切的直线方程．【答案】（1）（2）或【分析】（1）由圆心在直线上，设出圆心坐标，再根据圆与轴相切，可得半径与圆心纵坐标绝对值相等，利用弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形求解即可．（2）分直线斜率存在与不存在两种情况，表示出所求直线，根据圆心到直线的距离等于半径求解即可．【详解】（1）设圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，而，即，解得（舍去），故所求圆的方程为 （2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意．当切线斜率存在时，设切线为，即，圆心，半径，，解得．当切线的斜率存在时，其方程为，即．故切线方程为或．19．已知函数(1)求的单调递减区间；(2)当时，求函数的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用降幂公式化简得，再求出此函数的单调减区间；（2），则，再求出值域即可.【详解】（1） ，由，解得，故的单调递减区间是（2）由于，可得，所以，所以，所以函数值域为20．在多面体中,平面平面,四边形为直角梯形,,,,,,为的中点,且点满足 .(1)证明:平面(2)当时,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)分别取中点,连结,,,证明四边形是平行四边形,进而可得,由中位线性质有,则,再应用线面平行的判定即可证结论.(2)先根据已知条件证明两两垂直,以分别为,,轴建立空间直角坐标系,求平面,平面的法向量,应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.【详解】（1）分别取中点,连结,,,在梯形中,,,且分别为的中点,∴,,∴,,四边形是平行四边形,∴,又,为中点,∴为中点,又为中点,∴,即,又平面,平面,∴平面.（2）设中点为,连接,,,又平面平面,平面平面,平面,平面,又平面,,两两垂直.以分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则, ,,,设为平面的一个法向量,则,所以,取.设为平面的一个法向量,则,所以,取.,由图,二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为.21．已知中，角所对的边分别是，向量，，且.(1)求的值；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量平行的坐标运算可整理求得，由此可得；（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，根据的范围，可求得的范围，由此可推导得到的范围，即为所求周长的取值范围.【详解】（1），，即，，，又，.（2）由正弦定理得：，，，；，，，则，，即周长的取值范围为.22．已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 最大值为【分析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程、离心率及即可得出；（2）把直线BD的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点A到直线BD的距离，利用三角形的面积公式得到△ABD的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值 试题解析：（Ⅰ）∵e＝＝ ，，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝ ，c＝.∴椭圆C的方程为（Ⅱ）设直线BD的方程为y＝x＋m，m≠－1，∴⇒4 x2＋2mx＋m2－4＝0，∴Δ＝－8m2＋64＞0⇒－2＜m＜2，且m≠－1，x1＋x2＝－m，①x1x2＝，②∵|BD|＝|x1－x2|＝，设d为点A到直线BD：y＝x＋m的距离，∴d＝，∴S△ABD＝|BD|d＝≤ ，当且仅当m＝±2时取等号．因为±2∈（－2，－1）∪（－1,2 ），所以当m＝±2时，△ABD的面积最大，最大值为.【解析】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程