2021-2022学年湖南师范大学附属中学高二上学期第二次大练习数学试题（解析版）

2021-2022学年湖南师范大学附属中学高二上学期第二次大练习数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设倾斜角为，直线的斜率为，所以，∴，故选．

2．已知，，(i为虚数单位)，则（    ）

A． B．1 C． D．3

【答案】C

【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.

【详解】，

利用复数相等的充分必要条件可得：.

故选：C.

3．已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【分析】将已知方程转化为标准方程即可得圆心坐标和半径．

【详解】由题，所以，

所以圆心坐标为，半径为，

故选：B．

4．以和为端点的线段的垂直平分线方程是

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：根据题意可知，以和的中点为，

那么中垂线的方程过该点，同时的斜率为，

因此垂直的斜率为，那么可知其的垂直平分线方程，

故选：B.

【解析】直线方程的求解

点评：对于垂直平分线的理解，要注意两点，一个是垂直，斜率之积为，另一个就是中点在垂线上，属于基础题．

5．下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（    ）

A．掷一枚骰子一次，事件“出现偶数点”；事件“出现3点或6点”

B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”

C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”

D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”

【答案】C

【分析】利用对立事件和相互独立事件的概念求解．

【详解】解：对于选项A，事件，事件，事件，基本事件空间，所以，，，即，因此事件与事件N是相互独立事件；

对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”， 则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；

对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球， 事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”， 则事件发生与否和事件有关，故事件和事件与不是相互独立事件；

对于选项D，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件“从甲组中选出1名男生”，事件“从乙组中选出1名女生”，则事件发生与否与无关，同时，事件发生与否与无关，则事件与事件是相互独立事件；

故选：C.

6．已知,,为直角三角形中的三边长,为斜边长,若点在直线上,则的最小值为

A．2 B．3 C．4 D．9

【答案】D

【解析】写出勾股定理，将点坐标代入直线的方程，根据的几何意义，求得其最小值.

【详解】由于，，为直角三角形中的三边长，为斜边长，所以.由于点在直线上，表示直线上的点到原点的距离的平方，原点到直线的的距离为，所以的最小值为.

故选：D

【点睛】本小题主要考查勾股定理，考查点到直线的距离公式，属于基础题.

7．关于x的方程9x+3x·a+a+3=0有实根,则a的取值范围是（    ）

A．(-∞,-3] B．(-∞,-2] C．(-∞-2][6,+∞) D．(-∞,0)

【答案】B

【分析】先化简得到，再利用基本不等式求右边函数的值域即得解.

【详解】由题得，

所以.

当且仅当即时取等.

所以a的取值范围是(-∞,-2].

故选B

【点睛】本题主要考查方程的有解问题，考查基本不等式求函数的最值和值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．如图，表面积为12π的球内切于正方体，则平面截球的截面面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积．

【详解】

设球的半径为r，由球O得表面积为12π，

得4πr2＝12π，则r，即正方体棱长为，

根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，

且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，

故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，

则由图得，△ACD1内切圆的半径是tan30°，

则所求的截面圆的面积是π2π．

故选C．

【点睛】本题考查了正方体和它的内切球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，是中档题．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

二、多选题

9．关于函数，下列说法中正确的是（    ）

A．最小正周期是 B．图象关于点对称

C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递增

【答案】AB

【解析】利用正切函数的知识逐一判断即可.

【详解】的最小正周期为，故选项A正确；

由，故选项B正确；

因为函数不存在对称轴，故选项C错误；

因为，所以，此区间不是函数的单调递增区间，故选项D错误；

故选：AB．

10．下列命题中是真命题的有（    ）

A．有，，三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为30

B．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同

C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲

D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5

【答案】BD

【分析】根据分层抽样原则直接计算即可得到样本容量，知A错误；根据平均数、众数和中位数定义直接判断可知B正确；根据方差的计算方法可知乙组方差更小，则其数据更稳定，知C错误；由百分位数的计算可知D正确.

【详解】对于A，根据分层抽样原则可知：样本容量为，A错误；

对于B，由平均数、众数和中位数定义可知：该组数据平均数为；众数为；中位数为；B正确；

对于C，乙组数据的平均数为，

则其方差，

乙组数据更稳定，C错误；

对于D，，将该组数按照从小到大顺序排列，第个数为，

该组数据的分位数为，D正确.

故选：BD．

11．阿波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：和点，若圆C上存在点P，使其中O为坐标原点，则t的取值可以是（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】AB

【分析】由求出点的轨迹为圆，再将问题化为两圆有交点，根据圆心距与两圆半径之间的关系列式，求出的范围，从而可得答案.

【详解】设，由得，

整理得，即，

依题意可知，圆与圆有交点，

两圆圆心分别为和，两圆半径分别为和，

圆心距为，

所以，即，解得，

所以的取值可以是和.

故选：AB

12．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ）

A．为奇函数

B．若的一个零点为，且，则

C．在区间的零点个数为3个

D．若大于1的零点从小到大依次为，则

【答案】ABD

【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.

【详解】因为，

所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，

，

所以当，时，，

当，时，，

当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；

如图：

当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；

由图可知，大于1的零点，，，所以，

而，故推出，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则_______.

【答案】

【解析】根据向量的加法以及共线向量基本定理，求解即可.

【详解】由题意可得.

∵，，三点共线

∴，

∴

∴解得

故答案为：

【点睛】本题考查向量的加法以及共线向量基本定理.属于较易题.

14．对于任意实数，直线与直线外一点的距离为，则的取值范围为__________

【答案】

【分析】先将直线方程进行整理，求出直线过定点，再结合题意即可求解.

【详解】直线方程可整理为，

因为，所以，解得，

即无论为何值，直线都过定点，而点与点的距离为，

又因为点不在已知直线上，故，所以

故答案为：．

15．设二次函数，方程的两根和满足．则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】令，根据题意结合二次函数零点分布列式求解.

【详解】令，

则由题意可得，解得，

故实数的取值范围是.

故答案为：.

16．椭圆：与直线相交于A、B两点，C是的中点，为坐标原点，的斜率为，则椭圆的离心率为__________．

【答案】##

【分析】利用点差法求得OC斜率和a、b的关系，从而得到a与b的关系，根据椭圆离心率和标准方程中参数的关系即可求出其离心率．

【详解】设，，，则

两式作差有，

．

又，，，

∴，∴，即，

∴椭圆的方程为，且，即，

设椭圆的半长轴、半短轴长分别为、，则，，

故椭圆的离心率．

故答案为：．

四、解答题

17．已知函数，从①、②、③这三个条件中选择一个作为已知条件.①为的图象的一个对称中心；②当时，取得最大值；③.

（1）求的解析式；

（2）将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调递减区间.

【答案】（1）；（2）和

【解析】（1）根据所选条件分别代入，结合余弦函数的性质求出的取值集合，再根据的取值范围，即可求出，从而求出解析式；

（2）根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据余弦函数的性质，求出在上的单调递减区间，再跟所给定义域取交集即可；

【详解】解：（1）若选①，为的对称中心，则，解得，又，所以，所以

若选②，，所以，解得，又，所以，所以

若选③，，所以所以或，解得或，又，所以，所以

（2）将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，再将向右平移个单位得到，即，令，解得，即函数的单调递减区间为

因为，所以函数，在上的单调递减区间为和

18．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.

（1）求图中的值，并求综合评分的中位数；

（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.

【答案】(1) ；中位数为82.5. (2)

【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为，结合频率计算公式求解即可；

（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可

【详解】（1）由频率和为1，得，；

设综合评分的中位数为，则，解得，

所以综合评分的中位数为82.5.

（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；

所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；

所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、、，非一等品2个，记为、；

从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、、、、、、、、、共10种；

抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、、、、、共6种，

所以所求的概率为.

【点睛】本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题

19．四棱锥中，底面ABCD为矩形，，.

（1）求证：平面平面ABCD．

（2）在下列①②③三个条件中任选一个，补充在下面问题       处，若问题中的四棱锥存在，求AB的长度；若问题中的四棱锥不存在，说明理由．

①CF与平面PCD所成角的正弦值等于；

②DA与平面PDF所成角的正弦值等于；

③PA与平面PDF所成角的正弦值等于．

问题：若点F是AB的中点，是否存在这样的四棱锥，满足        ？

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.

【解析】（1）由条件证明平面即可证明平面平面ABCD；

（2）取AD中点为O，以O为原点，OA,OP所在直线分别为x，z轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法由线面角求出，据此判断是否存在这样的四棱锥.

【详解】（1）证明：，，

∵底面ABCD为矩形，∴，

又平面，且，

平面，

又平面，故平面平面ABCD.

（2）取AD中点为O，

∵，

∴OA⊥OP，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设，

则，

选①：

，

设平面PCD的法向量为，则，即，

∴可取，

设CF与平面PCD所成角为，则，解得，

∴符合题意的四棱锥存在，此时.

选②：

，

设平面PDF的法向量为，则，即，

∴可取，设DA与平面PDF所成角为，

则，解得，

∴符合题意的四棱锥存在，此时.

选③：

因为不垂直平面PDF，

所以PA与平面PDF所成角小于，

设PA与平面PDF所成角为，

则，故不存在符合题意的四棱锥.

【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：

设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

20．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝，(，)．

（1）当cos＝时，求小路AC的长度；

（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB，进而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．

（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ时，四边形ABCD的面积最大，即θ＝φ，此时cosφ，sinφ，从而可求BD的值．

【详解】（1）在中，由，

得，又，∴．

∵   ∴

由得：，解得：，

∵是以为直角顶点的等腰直角三角形  ∴且

∴

在中， ，

解得：

（2）由（1）得：，

，此时，，且

当时，四边形的面积最大，即，此时，

∴，即

答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米．

【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

21．树林的边界是直线（如图CD所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线AC上的点A点和B点处，（为正常数），若兔子沿AD方向以速度2向树林逃跑，同时狼沿线段BM（）方向以速度进行追击（为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.

（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积；

（2）若兔子要想不被狼吃掉，求（的取值范围）.

【答案】（1）（2）.

【解析】（1）建立直角坐标系，设，，由求得，由此求得圆的面积的值；（2）设，由题意可得直线AD与（1）所得圆是相离的，则根据直线与圆的位置关系列出不等式即可求得斜率k的取值范围，从而求得的范围.

【详解】（1）建立如图所示直角坐标系，设，，

由，得，所以M在以为圆心，半径为的圆及内部，所以；

（2）设，由，

可得，所以.

【点睛】本题考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线的倾斜角和斜率的关系，属于中档题.

22．已知椭圆：，，是左右焦点，且直线过点（）交椭圆于，两点，点，在轴上方，点在线段上．

(1)若为上顶点，，求的值；

(2)若，原点到直线的距离为，求直线的方程；

(3)对于任意点，是否存在唯一的直线，使得，若存在，求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）由椭圆的性质求解，

（2）由平面向量数量积的坐标运算解得点坐标，设出直线方程后由点到直线的距离公式列式求解，

（3）联立直线与椭圆方程，由平行关系与韦达定理化简求解，

【详解】（1）∵椭圆：

∴，，，

利用椭圆定义得，∵，

∴，∴；

（2）由题意得直线斜率存在，设直线方程为，（），

设（），

则，

∵点在椭圆上，∴，

代入得，

解得：，，即点坐标为，

将点坐标代入直线的方程有：①，

由原点到直线的距离得到：②，

联立①和②得或

又因为，所以

直线的方程为：，即．

（3）设直线方程为（斜率必存在）（），

设，，

则，，

∵，∴，

∴，

化简得①，

联立得，

∴，

∴，

代入①得，，

∴②，

∴，

代入②得：，故，

而点，在轴上方，所以对于任意一个，存在唯一的使得，

故直线有且只有一条使得．