2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高二上学期期中调研测试 数学 解析版

2021～2022学年度第一学期期中调研测试

高二数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 已知直线经过点，，则的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用斜率的两点式求得，根据斜率与倾斜角的关系，即可求倾斜角的大小.

【详解】由题设，，若的倾斜角为，则，又,

∴.

故选：B

2. 双曲线的焦点坐标为（     ）

A. ， B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出的值，即可得解.

【详解】在双曲线中，，，则.

因此，双曲线的焦点坐标为、.

故选：D.

3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，从而可求得实数的取值范围

【详解】∵表示圆，则，

∴，

故选：B．

4. 已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（     ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】把两个圆的方程相减，即可求出结果．

【详解】把两圆与的方程相减，可得，

此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程.

故选：D.

5. 椭圆上点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是（    ）

A. 8，2 B. 5，4 C. 5，1 D. 9，1

【答案】D

【解析】

【分析】根据点到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是，选出正确答案.

【详解】依题意，所以到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是.

故选：D

【点睛】本小题主要考查根据椭圆方程求，考查椭圆的几何性质，属于基础题.

6. 已知三角形三个顶点为、、，则边上的高所在直线的方程为（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线的斜率，可求得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，

因此，边上的高所在直线的方程为.

故选：A.

7. 已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（    ）

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】连接，得到是三角形的中位线，故，再利用椭圆的定义求出，进而求出线段的长.

【详解】如图，不妨设焦点F为左焦点，右焦点为，连接，因为N是的中点，是的中点，故是三角形的中位线，故，

由得：，由椭圆的定义可知：，因为，所以，故

故选：C

8. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】建立坐标系，利用已知条件求出双曲线的实轴长，虚轴长，然后求出半焦距，从而可求出离心率

【详解】解：以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，

设双曲线方程为，

不妨设，则该双曲线过点，且，

所以，解得，所以，得，

所以双曲线的离心率为，

故选：C

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（　　）

A. x﹣y+1＝0 B. x+y＝3 C. 2x﹣y＝0 D. x+y+2＝0

【答案】AC

【解析】

【分析】考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.

【详解】当直线过坐标原点时，

设直线，代入，所以，所以直线方程为；

当直线不过坐标原点时，

设直线，代入，所以，所以直线方程为，

故选：AC

10. 已知圆，直线．则下列结论正确的是（    ）

A. 当时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1

B. 对于任意实数m，直线l恒过定点（1，1）

C. 若圆C与圆恰有三条公切线，则

D. 若动点D在圆C上，点，则线段中点M的轨迹方程为

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，通过计算圆心到直线距离进行分析即可，对于B，对直线方程变形求解即可，对于C，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出的值，对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为代入圆C方程中化简可得答案

【详解】对于A，圆的圆心为，半径，当时，直线，则圆心到直线的距离为，因为，所以圆C上只有两个点到直线l的距离等于1，所以A错误，

对于B，由，得，由于，所以，得，所以直线恒点，所以B正确，

对于C，因为圆C与圆恰有三条公切线，所以两圆相外切，由，得，所以，解得，所以C正确，

对于D，设的中点为，则可得动点D的坐标为，因为动点D在圆C上，所以，化简得，所以线段中点M的轨迹方程为，所以D正确，

故选：BCD

11. 已知双曲线，双曲线与双曲线有相同渐近线，抛物线以双曲线的左焦点F为焦点 ，则下列判断正确的是（    ）

A. 抛物线标准方程为

B. 双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1

C. 若双曲线焦点在轴，则双曲线的离心率为

D. 若双曲线与抛物线交于A、B两点，则

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A，先求出双曲线的左焦点，进而求出抛物线标准方程，根据双曲线的焦点到渐进线的距离，可判断出B，根据双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得出中， 的关系，进而求出双曲线的离心率，将双曲线与抛物线的方程联立解出 进而可求得答案.

【详解】因为双曲线，所以的左焦点F，将 由得，，所以，抛物线标准方程为，故A正确；

对于B，双曲线的焦点到渐进线的距离，由题可知，所以双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1，故B正确；

对于C，因为双曲线，所以其渐近线为，

又因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在轴上，设，，则，所以，故C错误；

对于D，联立 解得，所以，

，所以D错误.

故选：AB

12. 已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（    ）

A. 的最小值为2 B. 面积的最大值为

C. 直线的斜率为 D. 为钝角

【答案】BC

【解析】

【分析】A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值，A项错误； B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值； C项，由对称性，可设，则，，则可得直线的斜率与k的关系； D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得，又由C项可知， 得，即，排除D项.

【详解】对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，

则四边形为平行四边形，

，

，

当且仅当时等号成立，A错误；

对于B，由得，

，

的面积，

当且仅当时等号成立，B正确；

对于C，设，则，，

故直线的斜率，C正确；

对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，

则，

又点和点在椭圆上，①，②，

①②得，易知，

则，得，

，，D错误.

故选：BC.

【点睛】椭圆常用结论：

已知椭圆，AB为椭圆经过原点的一条弦，P是椭圆上异于A、B的任意一点，若都存在，则.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 抛物线的准线方程是______．

【答案】

【解析】

【详解】由题意可得p=4,所以准线方程为,填

14. 与直线的斜率相等，且过点的直线方程为_________

【答案】

【解析】

【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.

【详解】直线的斜率为，故所求直线方程为，即.

故答案为：.

15. 椭圆的左、右焦点分别为，，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_______．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据椭圆定义得到，再利用余弦定理，求出，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围.

【详解】设，

则，

在中，由余弦定理得：

，

解得，

因为，

所以，

即，且，

所以，

故椭圆的离心率的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法总结：考查了椭圆的应用，当点在短轴的端点时值最大.

16. 已知平面上任意一点，直线，则点P到直线l的距离为；当点在函数图象上时，点P到直线l的距离为，请参考该公式求出的最小值为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】令，将问题转化为函数图象上的点到直线、的距离之和的倍，即可求得最小值．

【详解】令，，

∴表示函数图象上的点到直线的距离，

表示函数图象上的点到直线的距离，

∴目标式几何意义：半圆上的点到直线、的距离之和的倍，

∴最小值为 ．

故答案为：.

四、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答须写出说明、证明过程和演算步骤．

17. 求符合下列条件直线的方程：

（1）过点A（-3，-1），且倾斜角为．

（2）过点P（3，4），且两点到这直线距离相等．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

分析】（1）根据倾斜角得出直线斜率，利用点斜式求解即可；

（2）分所求直线与MN平行，过MN中点两种情况求解即可.

【小问1详解】

∵倾斜角为

∴斜率为

由点斜式直线方程可得

即.

【小问2详解】

①与直线MN平行

∴斜率

由点斜式直线方程可得

即

②过MN中点

可求MN中点是（3，2）

又直线过P（3，4），则直线方程为x=3

综上得直线方程为或

18. 求符合下列条件圆的方程：

（1）圆心为点，面积为.

（2）与圆关于y轴对称．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意得到，求得，结合圆的标准方程，即可求解.

（2）把圆化为，求得圆心关于轴的对称点，即可求得对称圆的方程.

【小问1详解】

解：设所求圆的半径为，因为圆的面积为，即，解得，

又由圆心为，所以所求圆的方程为.

【小问2详解】

解：由圆可化为，

可得圆心坐标为，可圆心关于轴的对称点为，

所以圆关于轴的对称圆的方程为.

19. 已知椭圆与双曲线具有共同的焦点、，点在椭圆上，，____________①椭圆过点，②椭圆的短轴长为，③椭圆离心率为，（①②③中选择一个）

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的面积．

【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知可得，选①：可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；

选②：求出的值，可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；

选③：根据离心率可求得的值，进而可求得的值，即可确定椭圆的标准方程；

（2）利用椭圆定义结合勾股定理可求得，再利用三角形的面积公式即可得解.

【小问1详解】

解：设椭圆方程.

因为椭圆与双曲线具有共同的焦点，则.

选①：由已知可得，则，椭圆方程为；

选②：由已知可得，则，椭圆方程为；

选③得，则，椭圆方程为.

【小问2详解】

解：由椭圆定义知①，        

又，②，

由①可得，解得，

因此，.

20. 早在一千年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺寸，试分别求出桥拱所在的抛物线方程和溢流孔所在的抛物线方程，及溢流孔与桥拱交点的位置．

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】设桥拱、以及所在溢流孔的抛物线方程，将点的坐标代入这两个抛物线的方程，求出对应的参数，可求得这两个抛物线的方程，同理可得出其余三个溢水孔所在抛物线的方程，联立桥拱、以及所在溢流孔的抛物线方程，可求得点的坐标.

【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，则，得，

所以桥拱所在抛物线的方程①.

设所在溢流孔的抛物线方程为，则，解得，

所以所在溢流孔的抛物线方程为②.    

由于个溢流孔的轮廓线相同，所以、所在溢流孔的抛物线方程为，

同理得另两个溢流孔的抛物线方程为，，

联立①②方程的点坐标为.

21. 光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，

（1）求圆C的方程

（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出直线关于x轴的对称直线的方程，即反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切求得半径即可得出答案；

（2）利用圆的弦长公式求得，再根据即可得解.

【小问1详解】

解：在直线中，令，则，

由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，

则反射光线所在直线的斜率为，且过点，

所以直线关于x轴的对称直线为，

点（2，8）到直线距离，

圆方程为；

【小问2详解】

设圆心到直线的距离为d，∴，

∵，

∴，

∴，

∴，∴，

即.

22. 已知椭圆E的方程为，过点且离心率为

（1）求椭圆E的方程；

（2）点A是椭圆E与x轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆E于B、C两点，且直线，的斜率分别是，，若，

①证明直线l过定点R；

②求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）①证明见解析，②.

【解析】

【分析】（1）由已知可得，从而可求出，进而可得椭圆E的方程，

（2）①设，直线，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，由可得，结合前面的式子可求得，从而可证得结论，

②，再利用基本不等可求得答案

【小问1详解】

由题意，解得，得，

所以曲线E的方程为．

【小问2详解】

①设，直线，联立方程组得，           

由，解得，    

由知

，     

且，代入化简得，解得，

∴直线l过定点  

②由①知且，得，    

（当且仅当时取等号）．

综上，面积的最大值为