2021-2022学年山东省青岛市青岛第五十八中学高二上学期期中数学试题（解析版）

 2011-2022学年山东省青岛市青岛第五十八中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.

【详解】因为直线的斜率为

所以其倾斜角为

故选：D

2．若方程表示圆，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，解不等式即可求解.

【详解】由方程表示圆，

则，

解得.

所以实数m的取值范围为.

故选：D

3．已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据焦距可得的值，根据右焦点到渐近线距离可求得的值，由可得的值，再由即可求解.

【详解】因为焦距为，所以，右焦点，，

双曲线渐近线方程为：，

所以右焦点到它的一条渐近线的距离为，

所以，，

所以离心率，

故选：C.

4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ）

A． B． C．， D．

【答案】D

【分析】化曲线方程为椭圆的标准方程，由题意可得，求解此不等式可得的取值范围.

【详解】由方程，可得，

因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.

所以实数的取值范围是.

故选：D.

5．已知曲线其中一条渐近线与直线平行，则此双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不妨取双曲线的渐近线为，可得，再由离心率即可求解.

【详解】由条件可得双曲线的渐近线方程为，

∵渐近线与直线平行，

∴，

∴双曲线的离心率为．

故选：B

6．过x轴上一点P向圆作圆的切线，切点为A、B，则面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解法一由点P离原点越远趋向无穷远处时，的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，利用极限法，由点P与原点重合求解； 解法二设，

，由 求解.

【详解】解法一（极限法）：如图所示，

若点P离原点越远趋向无穷远处时，越来越长，、也随着越来越长，

显然的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，的面积逐渐变小，

当点P与原点重合时，，且此时的为正三角形，面积最小，

其最小面积为，

解法二（直接解法）：设，则，，

设，则有，，

于是，

，

显然上式是的单调递增函数，

当时，取最小值，

故选：A.

7．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与 所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题利用空间向量的线性运算和向量的夹角计算公式求解，首先选择一组基底，那么向量，，然后利用夹角公式计算向量所成角，再利用向量所成角和异面直线所成角间的关系得出答案.

【详解】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，,

设棱长为1，则

,

所以

而

所以

又因为异面直线是锐角，所以异面直线与 所成角的余弦值为，

故选：A.

【点睛】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.

8．在平面直角坐标系中，已知点，，圆C：，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹，再利用两圆有公共点的充要条件求解作答.

【详解】设点，由得：，整理得：，

即点P的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，而圆C的圆心，半径为，

依题意，圆与圆C有公共点，即有，即，而，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．下列结论中正确的有（    ）

A．过点且与直线平行的直线的方程为

B．过点且与直线垂直的直线的方程为

C．若直线：与直线：平行，则a的值为或3

D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

【答案】AB

【分析】对于选项A，B，D，根据给定条件求出对应的直线方程判断作答；对于选项C，由给定条件求出a值判断作答.

【详解】对于A，直线的斜率为2，则过点且与直线平行的直线的方程为，

即，A正确；

对于B，直线的斜率为2，则过点且与直线垂直的直线的方程为，

即，B正确；

对于C，直线：的斜率为，因直线与直线平行，则直线的斜率存在，且，

解得或3，当时，两直线重合，当，两直线平行，C错误；

对于D，因过点，且在两坐标轴上的截距相等，则当截距都为0时，直线方程为，截距不为0时，当直线方程为，D错误.

故选：AB

10．如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为8 B．椭圆的离心率为

C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为

【答案】BD

【分析】根据条件求得短半轴长、长半轴长，从而求得半焦距，进而可求得结果.

【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，

∵截面与底面所成的角为，

∴椭圆的长轴长为，则，

所以，

离心率为，

当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，

则椭圆的方程为.

故选：BD.

11．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（    ）

A．卫星向径的取值范围是

B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

【答案】ABD

【解析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.

【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；

当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确；

，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.

根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.

故选：.

【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.

12．如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，､分别在､上，且，.则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．二面角的正切值为

【答案】BCD

【分析】以为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，对于A：利用，即可判断；对于B：利用，即可判断；对于C：直接利用向量法求异面直线与所成的角；对于D：直接利用向量法求二面角的平面角余弦值，再求正切值.

【详解】以为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，则，，，，，.

因为，所以不正确，即A不正确；

因为，且与不在同一条直线上，所以，即B正确；

因为，故C正确；

，，令平面的一个法向量为，

则，不妨取，则，

又平面的一个法向量，

显然二面角的平面角为锐角，设为

所以，

所以，则，∴D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为______．

【答案】

【分析】利用点到直线的距离公式,即可求解.

【详解】∵由题意得到为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离，即，解得：,

故答案为：.

14．已知，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且若的面积为，则__________．

【答案】3

【分析】由椭圆的定义得到，在利用与垂直，得到，化简得到，在利用即可得到答案.

【详解】由题意知，与垂直 ，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以．

故答案为：3.

15．已知直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点，则k的取值范围是 ___．

【答案】##

【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），求出直线与圆相切时k的值，再根据已知即可的解.

【详解】解：由得，

所以曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的x轴的上半部分（含x轴），

直线y＝k（x+2）过定点，

当直线直线y＝k（x+2）与圆相切时，

圆心到直线的距离，解得，

因为直线y＝k（x+2）与曲线有两个不同的公共点，

所以k的取值范围是.

故答案为：.

16．如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可.

【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，，，所以，，

因为，所以，

，

因为，所以令，代入上式得：

其中，

所以，

因此的最小值为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法.

四、解答题

17．分别求解以下两个小题：

(1)已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程；

(2)已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，求点M的轨迹方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.

（2）设出点M的坐标，利用给定的向量关系表示出点P，再代入椭圆方程作答.

【详解】（1）因双曲线渐近线方程为，即，则设双曲线方程为，

而点在双曲线上，即有，解得，

所以所求双曲线的标准方程为.

（2）设点，由得，点，而点P为椭圆上的任意一点，

于是得，整理得：，

所以点M的轨迹方程是.

18．已知圆和直线.

（1）若直线l与圆C相交，求k的取值范围；

（2）若，点P是直线l上一个动点，过点P作圆C的两条切线PM、PN，切点分别是M、N，证明：直线MN恒过一个定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）直线l与圆C相交，则圆心到直线的距离小于半径，可得答案.

（2）设点P的坐标是，由条件在以为直径的圆上，则为圆与圆的公共弦，则直线MN的方程是，再根据点P在直线上，可得答案.

【详解】（1）直线就是，圆C的圆心是，半径是.

由题意得，圆心到直线l的距离是，解得或.

故k的取值范围是.

（2）由（1）可知，当时，直线l与圆C相离,设点P的坐标是，

则在以为直径的圆 上

所以为圆与圆的公共弦，由两圆方程相减可得：

所以直线MN的方程是.

因为点P在直线上，所以.

代入中，得到，

即.

由得，

故直线MN恒过一个定点.

【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系和圆的切线问题，解答本题的关键是圆心到直线l的距离是，为圆与圆的公共弦，从而得到直线MN的方程是，属于中档题.

19．如图，且，，且，且，平面，．

(1)求平面与平面的夹角；

(2)求直线到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据空间角的向量方法求解;(1)由线面平行可得直线上所有点到平面距离相等，再利用等体积法可求解.

【详解】（1）因为，面，故可以为坐标原点，

为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图：

由题可知：，，，，，，，

易知面的一个法向量为，设面的法向量为，

，，故得，即，

不妨令y＝1，则，，

所以平面与平面的夹角为．

（2）因为，面，则面，

所以直线到平面的距离与点到面的距离相等，

如图，连接，由（1）可知平面，平面，

所以，

又因为，所以，设点到平面EBC的距离为，

则，

，

又因为，所以，

所以直线AD到平面EBC的距离为．

20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，若M为椭圆C上一点，线段与圆C：相切于该线段的中点N．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点做直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C上存在点P，使得四边形若OAPB为平行四边形，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由几何关系与椭圆的定义得后求解，

（2）设出直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理化简得点坐标，再代入椭圆方程求解，

【详解】（1）∵，，且ON是的中位线，

∴，，，

而，，，

∴，∴椭圆C的方程为：．

（2）存在，理由如下：

①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，此时椭圆上不存在符合题意的点P，

②当直线AB的斜率存在且k＝0时，此时O，A，B三点共线，所以椭圆上不存在符合题意的点P，

③当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，

，，，设直线AB的方程为，

联立方程，消去y得：，

∴，∴，，

∴，∵四边形OAPB是平行四边形，

∴，

∴，代入椭圆方程得：，

化简整理得：，∴，

∴椭圆C上存在三个点A，B，P，满足题意，此时直线AB的方程为

21．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且.

（1）求证：平面ABCD；

（2）当异面直线PB与CD所成的角为60°时，在线段CP上是否存在点M，使得直线OM与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，请求出线段CM的长，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）根据三线合一得出，，故而得到平面；

（2）建立空间直角坐标系，依题意可得为异面直线与所成角，设，利用余弦定理求出，设，根据线面角的正弦值得到方程，解得即可得解；

【详解】解（1）证明：因为为菱形，

所以为的中点，

因为，

所以，又因为，，面

所以平面

（2）平面，以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

，为异面直线与所成角，，

在菱形中，设，

，，，

设，则，，

在中，由余弦定理得：，

，解得，

，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

设，则

设直线OM与平面PCD所成角为，

，

解得，所以，即

22．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，且，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）是定值，定值为.

【分析】（1）根据，点在椭圆上，由求解；

（2）由点在轴上时，不妨设点求解；当点不在轴上时，设，直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理用表示点A，B的纵坐标，再由求解.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，

由题意可得

解得，.

故椭圆的标准方程为.

（2）①当点在轴上时，由对称性不妨设点，此时，，两点重合，

，，故.

②当点不在轴上时，由对称性不妨设，，，

此时直线的方程为，

联立整理得，

则，

故.

同理可得.

故.

综上，为定值，且定值为.