2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

 2021-2022学年陕西省西安市高新第一中学高二上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出集合AB中元素范围，再根据交集和补集的概念得结果.

【详解】，

则

故选：B.

2．“”是“直线和直线平行”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】根据题意，若l1∥l2，则有1×3=a×（a-2），解得a=-1或3，当a=-1时，直线l1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，即l1与l2不重合，则l1∥l2，

当a=3时，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，l1与l2重合，此时l1与l2不平行，

所以l1∥l2，即“”是“直线和直线平行”的充要条件

故选：C．

3．将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：将其向右平移个单位后得到：，若为偶函数必有：，解得：，当时，D正确，时，B正确，当时，A正确，综上，C错误.

【解析】1.函数的图像变换；2.函数的奇偶性.

4．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】本题可用排除法，先根据函数的奇偶性排除A、B选项，再由特殊值，即可确定结果.

【详解】因为函数定义域为R，且，所以为偶函数，排除A、B；又，排除D，即可确定答案为C.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数性质的应用体现学生数形结合思想，属于中档题.

5．已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由条件可得，且不共线，然后可求出答案.

【详解】因为与的夹角为锐角，

所以，且不共线，所以，解得且，

故选：D

6．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】先设双曲线的一条渐近线方程为，根据题意得到圆心到直线的距离为：，然后再根据的关系即可求解.

【详解】双曲线的一条渐近线不妨为：，

圆可化为，其圆心坐标为，半径为，

因为双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，

可得圆心到直线的距离为：，解得：，

因为，所以，所以离心率，

故选：.

7．已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意成等差数列，设，即可求出.

【详解】因为为等差数列，所以成等差数列，

因为，设，

由，即，则，

所以，所以，

所以.

故选：B.

8．下列说法正确的是（    ）

A．命题“若幂函数在内单调递减，则”的逆否命题是“若，则幂函数在内单调递增”

B．已知命题和，若为假命题，则命题与命题中必有一个是真命题､一个是假命题

C．命题“中，若，则”的逆命题为真命题

D．若命题，则

【答案】C

【分析】根据命题的性质依次判断每个选项即可.

【详解】对A，命题的逆否命题是“若，则幂函数在内不单调递减”，故A错误；

对B，若为假命题，则命题与命题中至少有一个假命题，故B错误；

对C，命题“中，若，则”的逆命题为“中，若，则”，由正弦定理可得，若，则，则，所以逆命题为真命题，故C正确；

对D，若命题，则，故D错误.

故选：C.

9．过拋物线焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】作图，分别过、点向准线作垂线，根据向量比例关系得到线段比例关系，根据抛物线的定义转化距离，即可得出结果.

【详解】

由已知，可得，点B在F、C中间.

如图，分别过、点向准线作垂线，垂足为、，

则根据抛物线的定义有，，.

又，则可知，，则，

又为直角三角形，所以.

为直角三角形，则有，

因为，.

所以，.

因为，.

所以，.

故选：A.

10．已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，可得是偶函数，求导可得出在上单调递增，在上单调递减，由可得，列出不等式即可求解.

【详解】令，，则当时，，

所以函数是定义在上的偶函数．

当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减．

又，，

所以由，可得，

即，所以，所以，解得，

所以实数的取值范围为，

故选：C．

【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解题的关键是根据已知构造函数，利用导数求出函数单调性.

二、填空题

11．若命题“存在，使得”为假命题，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】求得原命题的否定，再根据二次函数在区间上恒成立，列出不等式，求解即可.

【详解】原命题的否定为：“任意的，使得”为真命题，

令，则要满足题意，只需且，

即且，解得，即实数的取值范围是：.

故答案为：.

12．某社团计划招入女生人，男生人，若满足约束条件，则该社团今年计划招入的学生人数最多为______．

【答案】9

【解析】设，作出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义即可求解.

【详解】设，则，

作出约束条件表示的平面区域，如图：

的最大值，即直线的纵截距的最大值，

由图可知，当直线经过点时，纵截距最大.

，解得，

所以的最大值为，此时均为正整数，符合要求.

所以该社团今年计划招入的学生人数最多为9.

故答案为：9

13．函数的图象恒过定点，若点在直线上，且均为正数，则的最小值为__________.

【答案】##

【分析】首先求定点坐标，代入直线方程得，再利用“1”的妙用，变形为，展开后利用基本不等式求最小值.

【详解】函数恒过定点，即，

因为均为正数，，当且仅当，即，时，等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

14．设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，.若，则__________.

【答案】

【分析】根据奇偶性的定义赋值可得，，结合题意可得，再根据题意推导可得函数是以4为周期的函数，结合周期性运算求值.

【详解】∵为奇函数，则，

令，则，解得，

令，则，

又∵为偶函数，则，

令，则，

若，即，

联立解得，

∴当时，.

又∵，即，

则，

∴函数是以4为周期的函数，

故.

故答案为：.

15．已知函数，若的图象始终在直线的上方，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意将题干进行等价转化为恒成立问题，将不等式转化为含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的取值范围.

【详解】令，由题意可知：恒成立.

则，

两边加上可得：，

令，则，所以单调递增，

所以，即，

令，则，因为的定义域为，

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，所以，

故答案为：.

三、解答题

16．已知函数的最小正周期为.

(1)求函数在区间上的值域；

(2)已知分别为锐角三角形中角的对边，且满足，，求在方向上的投影.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简可得，根据周期可求出，再根据三角函数的性质即可求出值域；

（2）由已知可求出，再利用正弦定理求出，则可求出，即可求出投影.

【详解】（1），

所以，解得，

所以，

因为，所以，

所以，即，

所以在区间上的值域为；

（2），因为为锐角，则可解得,

因为，由正弦定理可得，

因为，所以，因为为锐角，所以，

所以，

所以在方向上的投影为.

17．若数列满足：，点在函数的图象上，其中为常数，且.

(1)若成等比数列，求的值；

(2)当时，求数列的前21项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据递推公式，用分别表达，再结合成等比数列，即可求得结果；

（2）根据递推公式，求得，再根据分组求和法以及等差数列的前项和公式，即可求得结果.

【详解】（1）根据题意可得，又，故可得，

又成等比数列，故，即，解得（舍）或，故.

（2）当时，，则，

两式作差可得：，故该数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，则，

故

.

故数列的前21项和.

18．已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值.

【答案】(1)；

(2)函数的增区间为、，单调递减区间为，，.

【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.

【详解】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，

即.

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

19．设椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点为椭圆上一点.拋物线的焦点与点关于直线对称.

(1)求椭圆及抛物线的方程；

(2)直线与椭圆交于，与拋物线交于（异于原点），若，求四边形的面积.

【答案】(1)椭圆方程为，抛物线的方程为

(2)

【分析】（1）根据题意求出即可得出椭圆方程，根据对称求出即可得出抛物线方程；

（2）联立直线与曲线方程，表示出弦长，根据已知求出，即可求出面积.

【详解】（1）由题可得，解得，所以椭圆方程为，

易得点关于直线对称点为,所以，即，所以抛物线的方程为.

（2）联立方程得，设，

则，

设，联立方程，得，

所以，

因为，所以，解得，

因为，所以，故直线方程为，所以，

点到直线的距离为，点到直线的距离为，

所以四边形的面积.

20．已知函数

(1)当时，求证：；

(2)讨论关于的方程的实根的个数.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）将问题转化为证明.

（2），令，

则，

令，研究零点即可.

【详解】（1）当时，因，.

令，下证，

，令，有；

令，有.则在上单调递增，在上单调递减，则.即时，

（2）因，

则，令.

则

令，其中，

则方程的实根的个数，就是零点个数.

，令，则，

得在上单调递减，在上单调递增，有

①当时，有.得，即在上单调递增.又注意到，则当时，方程的实根的个数为1.

②当时，因，

在上单调递增.则使得.

得在上恒小于0，在上恒大于0.

即在上单调递减，在上单调递增.

又，，故，使得

注意到,

因，则若有零点，则必有零点.

结合，有.则当时，方程的实根的个数为3.

综上：当时，方程的实根的个数为1.；当时，方程的实根的个数为3.

【点睛】关键点点睛：本题涉及利用导数证明不等式，利用导数研究函数零点等知识.（1）较为基础，转化为求函数最值即可.（2）难度较大，需首先将方程等价变形，通过单调性，零点存在性定理，适当取点后找到一个零点，然后需发现若有零点，则必有零点.

21．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点，为椭圆上不同两点，为坐标原点，

（1）求椭圆的方程；

（2）线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在；．

【分析】（1）由离心率公式以及将点代入方程，列出方程组，进而得出方程；

（2）当直线的斜率存在时，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出，再由二次函数的性质得出的坐标，消去，得出点在椭圆上，结合定义得出平面内存在两点使得，当直线的斜率不存在时，设出坐标，由三角形面积公式以及正弦函数的性质求出的坐标，进而得出平面内存在两点使得.

【详解】（1）由，可设，则方程化为

又点在椭圆上，则，解得

因此椭圆的方程为．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

联立直线和椭圆的方程消去得，

化简得：

当时，取得最大值，即此时

又，则

即

令，则

因此平面内存在两点使得．

当直线的斜率不存在时，设，则

，即当取得最大值．

此时中点的坐标为，满足方程

即．

【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是由弦长公式以及点到直线的距离公式表示三角形的面积，进而由韦达定理、二次函数的性质进行求解.