2021-2022学年浙江省嘉兴八校联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年浙江省嘉兴八校联盟高二上学期期中联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省嘉兴八校联盟高二上学期期中联考数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为A． B． C． D．【答案】D【解析】直线的斜率不存在，即得倾斜角.【详解】直线的斜率不存在，其倾斜角为.故选：.【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题.2．下列说法正确的是（    ）A．到点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．到点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆D．到点距离相等的点的轨迹是椭圆【答案】C【分析】选项，到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；选项，轨迹不存在，所以该选项错误；选项，该轨迹是椭圆，所以该选项正确；选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．【详解】对于选项，，故到点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以该选项错误；对于选项，到点的距离之和等于6的点的轨迹不存在，所以该选项错误；对于选项，根据椭圆的定义，知该轨迹是椭圆，所以该选项正确；对于选项，点的轨迹是线段的垂直平分线，所以该选项错误．故选：C【点睛】本题主要考查椭圆的定义和轨迹，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．在等差数列中，已知，，则=（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列通项公式求即可.【详解】由等差数列通项公式知：.故选：A4．已知圆与直线相交于两点，则弦长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用几何法弦长公式计算可得结果.【详解】因为圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，故弦长.故选：C.5．已知数列满足，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据递推关系式和，分别求得，即可得的值.【详解】解：因为，，则，，所以.故选：B.6．圆与圆的公切线有（    ）A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【分析】判断两圆的位置关系，可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，故两圆外切，故圆与圆的公切线有条.故选：C.7．已知点P是抛物线上的一动点，焦点为F，若定点，则当P点在抛物线上移动时，的最小值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接，根据抛物线的定义可求最小值【详解】如图，过作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接，则，当且仅当共线时等号成立，故的最小值为，故选:A8．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则双曲线离心率的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出两点的纵坐标，由是锐角三角形可得，从而得到关于离心率的不等式，求得答案.【详解】在双曲线中，令，得，所以两点的纵坐标分别为，由是锐角三角形，可得，即，所以有，而在双曲线中有所以，即，同除得，，解得，又，所以，故，故选A.【点睛】本题考查根据几何性质求双曲线的离心率的范围，属于中档题. 二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（    ）A． B．是该数列中的项C．该数列是递增数列 D．该数列是等差数列【答案】AB【分析】对于A，取值即可判断；对于B，分类讨论是奇数项与是偶数项两种情况即可判断；对于CD，列出的前3项即可判断.【详解】因为，对于A，当时，，故A正确；对于B，若是奇数项，则，解得，不满足，舍去；若是偶数项，则，解得，满足题意，故是中的第二项，故B正确；对于C，当时，，故的前三项为，显然不是递增数列，故C错误；对于D，由C易知，，故不是等差数列，故D错误.故选：AB.10．已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）A．的焦点坐标为， B．的长轴长为C．直线的方程为 D．【答案】CD【分析】由题意可求得判断AB，利用点差法求得直线的斜率，写出直线方程判断C，联立直线方程与椭圆方程，由弦长公式求弦长判断D【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，则，所以椭圆的焦点坐标为，长轴长为，所以AB错误，设，则，，两式作差得，因为为线段的中点，所以，，所以，所以直线的方程为，即，所以C正确，由和，得，则，所以，所以D正确，故选：CD11．直线与直线相交于点P， 则点P到直线的距离可能为（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】联立方程组求出交点的坐标，然后求出动直线恒过的定点，最后利用两点的距离公式即可求出所求点到直线的最大值．【详解】解：，解得，所以点的坐标为，而直线，即，恒过点，如图，点到直线的距离，所以点到直线的距离最大值为.故选：AB．12．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点.以下结论正确的有（     ）A．圆的半径为B．的最小值为C．当时，直线的方程为D．为定值【答案】ABD【分析】对于A，根据相切条件可知半径为点A到直线的距离；对于B，根据弦与圆的关系判断在何时去最小值，再根据最小值条件计算出；对于C.根据条件可知点A到直线的距离，假设出直线的方程，根据点到直线距离公式即可求出的方程；对于D先简化，再讨论直线是否存在时点的坐标，代入向量中计算即可.【详解】对于A.根据点到直线距离公式可知，故A正确.对于B. 为圆A的弦，又已知是的中点，故为直角三角形，其中为斜边，，欲求的最小值，即是求的最大值，因为动直线绕点旋转，故当与点重叠时最大，，此时故，故B正确.对于C.由B可知当时，设直线方程为：，圆心到直线的距离为解得或，则直线方程为：或，故C错误对于D.由圆与弦关系可知 ，所以当直线的斜率不存在时，，则，且可得当直线的斜率存在时，设直线方程为：联立方程，得，则，故D正确.故选：ABD【点睛】圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 三、填空题13．双曲线的渐近线方程为_________．【答案】  （，或或或两个分开写，均给满分）【解析】由渐近线方程公式直接求解.【详解】由双曲线方程可知，，则 渐近线方程.故答案为： （，或或）14．已知m是实数，若方程表示的曲线是圆，则m的取值范围是__________ ．【答案】.【分析】由曲线表示圆可得，从而可求出m的取值范围.【详解】因为方程表示的曲线是圆，所以，解得，所以m的取值范围为，故答案为：.15．在等差数列中，为其前项和.若，则______ ．【答案】14【分析】利用等差数列前项和公式与等差数列的性质可得结果.【详解】因为是等差数列，所以.故答案为：.16．已知实数满足，则的最大值为________．【答案】【分析】利用配方法将转化为到圆上一点的距离的平方减4，从而利用几何法即可求解.【详解】因为，所以可将看作是点到点的距离的平方减，又因为，所以点是圆上的任意一点，而圆的圆心，半径，如图，易得，所以点到点（即圆上的点）的最大距离为，所以的最大值为.故答案为：. 四、解答题17．已知两条直线，求为何值时，两条直线(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可.（2）根据题意得到，再解方程即可.【详解】（1）因为，斜率存在，因为，，解得或.（2），当时，，，，不垂直.因为，所以，解得.18．已知圆C：(1)与直线平行，求此时切线l的方程；(2)过圆外一点P（）作圆C的切线，求此时切线l的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）首先设出直线方程，再结合直线与圆相切的条件，即可求解.（2）首先根据题意，分别讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接求出直线方程，当斜率存在时，先利用点斜式设出方程，再利用直线与圆相切的条件，即可求解.【详解】（1）由题意知，圆心为C，半径 设切线：圆心C到切线的距离 ，所求切线：.(2)当的斜率不存在时，此时的方程为，C到的距离，满足条件.当的斜率存在时，设斜率为，得的方程为，即，则 ，解得.∴的方程为，即.综上，满足条件的切线的方程为或.19．已知直线L: y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点（异于原点），（1）若直线L过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度；     （2）若OA⊥OB ，求m的值；【答案】(1)m =－2,|AB|=16；(2)m=-8.【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【详解】(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)直线L: y＝x＋m过点(2,0)，得m=−2,直线L:y=x−2与抛物线y2=8x联立可得x2−12x+4=0，∴x1+x2=12, x1x2=4，∴.(2)联立，得.∵OA⊥OB,∴.m=0或m=−8,经检验m=−8.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，主要是利用舍而不求的思路，表示弦长或垂直关系，属于基础题.20．已知数列的前项和公式为.(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式；（2）令，解出的范围，即可求得的最小值.【详解】（1）解：当时，；当时，，满足，故对任意的，.（2）解：，令，解得，且，所以，数列为等差数列，所以，的最小值为.21．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面m，拱圈内水面宽m，一条船在水面以上部分高m，船顶部宽m．(1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线标准方程；(2)近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？【答案】(1)；(2)船身应降低m，才能安全通过桥洞． 【分析】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A，B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得；（2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度，再由，可知船身应降低的高度【详解】（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，设拱桥所在的抛物线方程为，因点在抛物线上，代入解得，故拱桥所在的抛物线方程是；（2）因，故当时，，故当水位暴涨后，船身至少应降低，故船身应降低m，才能安全通过桥洞．22．已知椭圆上一点到两焦点的距离之和为，且其离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知、是椭圆上的两点，且满足，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆的定义可求得的值，利用椭圆的离心率可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，由已知条件结合韦达定理可得出关于、所满足的等式，利用三角形的面积公式以及韦达定理求出面积的值或最大值；在直线的斜率不存在时，求出点、的坐标，可求得的面积，综合可得出结果.【详解】（1）由椭圆的定义得，所以，因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程得，，设、，则，，由，得，得，所以，即，即，所以或.原点到直线的距离为， ①当时，则，此时，当且仅当，即时等号成立；②当时，，此时；当直线的斜率不存在时，设，则，由，得，又，所以，.不妨取，，则.综上可知，面积的最大值是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．