2022-2023学年北京市顺义区第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市顺义区第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市顺义区第一中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题的斜率，故倾斜角的正切值为，又，故.故选：D.2．某中学高一年级有200名学生，高二年级有340名学生，高三年级有260名学生，为了了解该校高中学生完成作业情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则高二年级抽取的人数为（    ）A．10 B．13 C．17 D．26【答案】C【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高二学生中应抽取的人是多少．【详解】解：根据题意，抽取样本的比例是，从高二学生中应抽取的人数为．故选：C．3．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（    ）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D【分析】根据椭圆的定义即可求解.【详解】由可得，所以，设椭圆的两个焦点分别为，，，由椭圆的定义可知，即，所以，所以到另一焦点的距离为，故选：D.4．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，因为直线过点，所以，得，所以直线方程为，故选：D5．在一个盒子中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，从盒子中随机取出两个球，所取球的编号分别记为，，则“”的概率（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，所取球的编号分别为，，{，}的可能结果有，，，，，共6个，其中满足 “”的有共2个，所以“”的概率,故选：C6．直线与圆的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能【答案】B【分析】求出圆心到直线的距离，然后与半径作比较即可.【详解】圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，与半径相等，所以直线与圆的位置关系是相切，故选：B7．设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先求出使直线与直线平行的的值，再根据充分性和必要性的概念得答案.【详解】若直线与直线平行则，解得，则“”是“直线与直线平行”的充要条件故选：C.8．已知圆与圆外切，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分别求出两圆的圆心和半径，然后可建立方程求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以由两圆外切可得，解得，故选：C9．在棱长为1的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ）A．1 B． C．2 D．不确定【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，设，利用坐标法计算可得.【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，设，则，所以故选：A 二、多选题10．已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：（1）曲线为一个圆；（2）曲线上存在点，使得到点的距离为6；（3）直线（为常数），无论为何值，直线与曲线恒有两个交点；（4）曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8．其中所有正确结论的序号是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ACD【分析】设，根据满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断（1）是否正确；由（1）可知，圆上的点到的距离的范围为，进而可判断②是否正确；确定直线过的定点，判断定点与圆的位置，即可判断（3）是否正确；由椭圆的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断（4）是否正确．【详解】解：（1）设，因为满足，所以，整理可得：，即，曲线为一个圆，所以（1）正确；（2）由（1）可知，点在圆的外部，因为到圆心的距离，半径为2，所以圆上的点到的距离的范围为，而，所以（2）不正确；（3）直线（为常数），则，则直线过定点，且点圆内，则无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以（3）正确；（4）假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为8，则在以点与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，即在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8；所以（4）正确．故选：ACD. 三、填空题11．已知直线l的一个方向向量，且经过点，则直线l的方程为___________【答案】【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再用点斜式求出直线方程即可；【详解】解：因为直线l的一个方向向量，所以直线的斜率为所以直线方程为整理得故答案为：12．已知正方体的棱长为4，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面，给出下列四个结论：①的面积的最大值为；②满足使的面积为8的点有且只有两个；③点可以是的中点；④线段的最大值为．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①②④【分析】先找出的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解．【详解】解：设、分别为、的中点，连接，，，易得，从而知，在正方体中平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面即为平面，又点在正方体的表面上运动，故点在矩形（除线段上运动，又，对于①，由图可知，当在线段上时，此时面积最大，最大值为，故①正确；对于②，若，则在或上，当或时，的面积为，故②正确；对于③，由图易知，点不可能在线段，故③错误；对于④，由图易知，当与重合时，此时长度最大，最大值为，故④正确；故答案为：①②④. 四、双空题13．圆的方程为：，则圆心的坐标为_____________，半径为_____________．【答案】          【分析】将圆的方程化为标准方程可得答案.【详解】由可得，所以圆心的坐标为，半径为，故答案为：，14．椭圆的长轴长是____，离心率是____.【答案】     6     【解析】由椭圆标准方程求得，计算可得离心率．【详解】由椭圆方程得，长轴长为，，离心率为．故答案为：6；．15．一组数据3，4，5，6，7的方差是_____________，若加入一个数得到一组新数据，这组新数据与原数据相比方差不变，则的一个取值为_____________．【答案】     2     （另一个值为）【分析】第一空：直接根据方差公式计算即可；第二空：求出新的一组数据的平均，再根据方差公式列方程求解即可.【详解】这组数据的平均数为，则方差为当加上一个数后平均数为方差为解得故答案为：2；（另一个值为） 五、解答题16．已知圆心坐标为的圆与轴相切．(1)求圆的方程；(2)设直线与圆交于，两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的值．条件①：；条件②：．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由圆心坐标为，且圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离即半径，写出圆的标准方程.（2）若选①，由弦长，半径，弦心距之间的关系，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m；若选②，由圆心角为解等腰三角形，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m.【详解】（1）圆心坐标为，因为圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离等于半径，即，圆的方程为：（2）若选条件①，设圆心到直线l的距离为d，因为，则，由点到直线的距离公式，，解得.若选条件②，设圆心到直线l的距离为d，由，，由点到直线的距离公式，，解得.17．如图，四棱柱的底面为正方形，平面，，，点在上，且．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后可得平面，再由线面垂直的性质可得答案；（2）设直线与平面所成角的为，利用算出答案即可；（3）由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，所以，因为，所以平面，平面，所以.（2），所以，由（1）可得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的为，所以直线与平面所成角的正弦值.（3）由已知为平面的一个法向量，且，由（1）可得平面的一个法向量为，所以，由图可得二面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.18．已知椭圆．(1)求直线被椭圆截得的弦长；(2)若直线与椭圆相切，求实数的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）联立直线与椭圆的方程消元，求出两交点的横坐标之和、之积，然后由弦长公式算出答案；（2）联立直线与椭圆的方程消元，然后由算出答案.【详解】（1）设直线与椭圆的两交点坐标为、，由可得，所以，所以直线被椭圆截得的弦长为；（2）由可得，所以，解得.19．为方便，两地区的乘客早晩高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从，两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图：根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：满意程度评分满意程度等级不满意满意非常满意 (1)直接写出的值，并估算地区乘客满意程度评分的中位数；(2)从地区与地区各随机抽取一名乘客，记事件为抽取的两名乘客中，一名乘客的满意程度等级为“非常满意”且另一名乘客的满意程度等级为“满意”，假设两地区乘客的评分相互独立，以频率估计概率，求事件的概率；(3)设为从地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从，两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较，，的大小（不需要过程）【答案】(1)，分(2)(3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得，从而求出地区乘客满意程度评分的中位数．（2）分别求出、地区非常满意和满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可．（3）由频率分布直方图求得，，进而求，即可判断．【详解】（1）解：由频率分布直方图知，，解得．因为，所以地区乘客满意程度评分的中位数为分；（2）解：从地区随机抽取一名乘客．该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是满意的概率为．从地区随机抽取一名乘客．该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为，是满意的概率为．则．（3）解：，由频率分布直方图可知．．因为，两地区人数比为，则，所以．20．如图，在四棱锥中，，，，.O为中点，且平面.(1)求点B到平面的距离；(2)线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值.【答案】(1)(2)线段上存在一点，当时，平面 【分析】（1）建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离；（2）利用空间向量设点的坐标，根据空间向量结合线面关系运算求解.【详解】（1）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，∴，设平面的法向量，则，令，则，即，则点B到平面的距离.（2）存在，由（1）得，设，则，∴，若平面，则，∴，解得，则，故线段上存在一点，当时，平面.21．已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点. （ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；（ⅱ）判断三点是否共线，并说明理由.【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，理由见解析.【分析】（1）根据长轴的两个端点分别为和离心率为，由求解；（2）（ⅰ）设，则直线的斜率为，直线的斜率为，再由直线的交点，求得点N的坐标，进而得到直线的斜率，然后结合运算即可；（ⅱ）设直线斜率为，易得M的坐标，再由（ⅰ）得到直线斜率为，写出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点的坐标，再判断直线与是否相等即可.【详解】（1）由题意得，所以，所以椭圆C的方程为.（2）（ⅰ）证明：设，因为在椭圆上，所以.因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线的方程为.所以点的坐标为.所以直线的斜率为.所以直线的斜率之积为：.（ⅱ）三点共线.设直线斜率为，易得.由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为.联立可得.解得点的纵坐标为，所以点的坐标为.所以，直线的斜率为，直线的斜率为.因为直线的斜率等于直线的斜率，所以三点共线.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．