2022-2023学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】由直线，

则，

设直线的倾斜角为，

所以，

所以.

故选：A

【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.

2．圆心，半径为的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.

【详解】因为圆心为，半径为，

所以圆的方程为:.

故选：D.

3．已知直线方程的一个法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意求出直线的方向向量，由法向量的定义再逐个分析判断.

【详解】因为直线的斜率为2，

所以直线的一个方向向量为，

对于A，因为，所以为直线的一个法向量，所以A正确，

对于B，因为，所以不是直线的法向量，所以B错误，

对于C，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误，

对于D，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误，

故选：A

4．点(3，0)到直线x+y－4=0的距离等于（    ）

A．4 B． C．1 D．

【答案】D

【分析】由点到直线的距离公式计算．

【详解】由题意所求距离为．

故选：D．

5．三棱锥中，、分别是、的中点，且，，，用、、表示，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量运算求得正确答案.

【详解】

.

故选：B

6．已知直线与平行，则系数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．

【详解】解：直线与直线平行，

，解得．

故选：．

7．直线与圆的位置关系为（    ）

A．相切 B．相交但直线不过圆心

C．相交且直线过圆心 D．相离

【答案】B

【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离与半径比较可得结果.

【详解】由，得，

所以圆心，半径为，

因为圆心到直线的距离为

，

所以直线与圆相交，

因为不在直线上，

所以直线与圆相交但直线不过圆心，

故选：B

8．已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.

【详解】由题意，，.

若与方向相反，且，在平面α内，则向量，所在的直线要么重合，要么平行，因此根据线面垂直的判定定理，由，且无法得到.

若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.

所以“，且”是的必要不充分条件.

故选：B.

9．点在圆上，点在直线上，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.

【详解】由题意可知，圆心，

所以圆心到的距离为，所以的最小值为.

故选：B.

10．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.

【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,

，，,

设(x，y，z)，,，

则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，

＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，

令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，

∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，

∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键.

二、填空题

11．过点且方向向量为 的直线方程是__________．

【答案】

【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，然后利用点斜式求出直线方程.

【详解】直线方程方向向量为 直线的斜率为

直线过点，直线方程为，即

故答案为：

12．已知两条直线，，若，则的值为___________.

【答案】

【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出的值．

【详解】当时，不满足，舍去；

当时，直线的斜率，的斜率

∵，

∴，

解得

故答案为：．

13．已知向量，，则在方向上的投影为________．

【答案】

【分析】根据向量投影的计算公式，计算出在方向上的投影.

【详解】依题意在方向上的投影为.

【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

14．如图，已知长方体中，，，则点到平面的距离为__________．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间向量中点到平面距离公式，即可求出结果.

【详解】以为坐标原点的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则.

设，则，，

设平面的法向量为,则,

，即，所以，

可取.

又，

点到平面的距离为，即点到平面的距离为.

故答案为：.

三、双空题

15．圆的圆心坐标为______，半径为_______

【答案】         

【分析】配方后可得圆心坐标和半径．

【详解】圆标准方程是，

圆心坐标为，半径为．

故答案为：；．

16．已知矩形，沿将折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的最大值为__________，最小值为__________.

【答案】     ##    

【分析】结合到平面的距离的最大值和最小值来求得正确答案.

【详解】过作，垂足为，

.

当在平面上的投影在上时，到平面的距离最大，如下图所示，

此时平面平面，且交线为，平面，所以平面，

所以四面体的体积的最大值为.

当在平面上的投影在上时，到平面的距离最小，

则平面，由于平面，所以，

由于平面，

所以平面，由于平面，所以，

，，

，

所以四面体的体积的最小值为.

故答案为：；

【点睛】求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，如果底面积固定（如本题），则通过找高的最值来进行求解.

四、解答题

17．已知△ABC三个顶点是A（3，3），，．

(1)求边中线所在直线方程；

(2)求边的垂直平分线的方程；

(3)求的面积

【答案】(1)

(2)

(3)8

【分析】（1）求出中点坐标后，由截距式写出直线方程并整理；

（2）求出的斜率，由垂直关系得垂直平分线的斜率，从而可得直线方程；

（3）求出到直线的距离，再求得的长后可得三角形面积．

【详解】（1）因为A（3，3），，所以中点的坐标为，

方程为，即；

（2），中垂线的斜率为，垂直平分线方程为；

（3）直线方程为，即，

点到直线的距离为，

，

所以．

18．如图，在直三棱柱中，，，，点是中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，标记处各个点的坐标.

（1）表示出 ，用向量法求异面直线与所成角的余弦值；

（2）用向量法求平面与平面所成角的余弦值.

【详解】

如图示：以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.

（1） ，

所以异面直线与所成角的余弦值.

（2）显然面的一个法向量.

设面的一个法向量为，

则，不妨取y=-2，则

由图示，平面与平面所成角为锐角，所以

所以平面与平面所成角的余弦值为.

19．（1）求过点（2，0）且圆心为（1，0）的圆的方程：

（2）过点(2，5)作（1）中圆的切线，求出切线方程.

【答案】(1) ；(2)或．

【分析】（1）求出半径后可得圆标准方程；

（2）分类讨论．验证斜率不存在的直线是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程．

【详解】（1）由已知圆半径为，所以圆方程为；

（2）易知直线与相切，

当切线斜率存在时，设切线方程是，即，

由，解得，切线方程是，即．

所以切线方程是或．

20．在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足=0.

(1)求证:DE∥平面PBC．

(2)求二面角F-PC-B的余弦值.

(3)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是? 若存在，求出AQ的长;若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，|AQ|=

【分析】（1）取PB的中点M，连接EM和CM，证明四边形CDEM为平行四边形即可得证；

（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面PBC和FPC的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解；

（3）设存在点Q，结合线面角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值,直接计算即可.

【详解】（1）取PB的中点M，连接EM和CM，

∵E，M分别为PA，PB的中点， ∴EM∥AB且EM=AB，

又CD∥AB且CD=AB，∴EM∥CD且EM=CD，∴四边形CDEM为平行四边形，

∴DE∥CM，又CM⊂平面PBC，DE⊄平面BPC，∴DE∥平面PBC；

（2）由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，E，0，，=(-1，-1，0)，=(0，-1，1)，

设平面PBC的法向量为=(x，y，z)，则令y=1，则x=-1，z=1，

∴=(-1，1，1).

设点F的坐标为(1，t，0)，则=(1，t-1，0)，=(1，2，0)，由=0，

得t=，∴F1，，0=1，-，0，

设平面FPC的法向量为=(a，b，c)，由得令a=1，则b=2，c=2，∴=(1，2，2)，

则，又由图可知，二面角F-PC-B为锐角，故该二面角的余弦值为；

（3）存在，由(2)知，可设==(-λ，0，λ)，λ∈[0，1]，

=-λ，-，λ，

∴

∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，

，整理得20λ2+8λ-1=0，解得λ=，λ=-(舍)，

∴存在满足条件的点Q，=-，0，，且|AQ|=

21．如图， 的边 边所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边所在直线上且满足 ．

(1)求 边所在直线的方程；

(2)求 的外接圆的方程；

(3)若点 的坐标为 ，其中 为正整数．试讨论在 的外接圆上是否存在点 ，使得 成立?说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)当n=1或2时，存在点P，当n时，不存在点P.

【分析】（1）由又在上且，得AC⊥AB，结合T点坐标及直线AB的斜率，可求出AC边所在直线的方程；（2）结合（1）中结论，直线AB,AC的方程联立，得点A；由B、C两点关于M点对称，得△ABC的外接圆是以M为圆心，以AM为半径的圆；（3）若在△ABC的外接圆上存在点P，使得|PN|＝|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线与圆M的公共点．所以当与圆M相离时，不存在点P；当与圆M相交或相切时则存在点P．设N点坐标，点N到直线距离d与半径r=比较，即可得到结论．

【详解】（1）因为，

所以，又在上，所以，为，

又边所在直线的方程为，

所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．

即．

（2）与的交点为，

所以由解得点的坐标为，

因为，

所以，

所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心．

又．

从外接圆的方程为：．

（3）若在的外接圆圆上存在点，使得成立，则为线段的垂直平分线与圆的公共点．

所以当与圆相离时，不存在满足条件的点；当与圆相交或相切时则存在满足条件的点．

由，，知的斜率为，线段的中点为．

线段的垂直平分线为，即．

圆的圆心到直线的距离为，

（）当时，而，由，此时直线与圆相交，存在满足条件的点；

（）当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点；

（）当时，，，，

所以

此时直线与圆相离，不存在满足条件的点

综上：当n=1或2时，存在点P，当n时，不存在点P.

【点睛】本题主要考查了两直线垂直的斜率关系的应用，直线方程的点斜式的应用，直角三角形的外接圆的性质的应用，两直线的交点、点到直线的距离公式等基础知识，本题考查的知识点较多，要求考生具备综合应用知识的能力，属于中档题．