2022-2023学年安徽A10联盟高二上学期开学摸底数学试题（解析版）

2023届安徽A10联盟高二上学期开学摸底数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合B的补集，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意得，或，则，

故选:．

2．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数的奇偶性与单调性判断，

【详解】由图知函数是奇函数，

对于A，，，故是非奇非偶函数，故排除A，

对于C，当时，为单调递增函数，故排除C，

对于D，，则是偶函数，故排除D，

故选：B

3．某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（    ）

A．87 B．91 C．92 D．93

【答案】D

【分析】由百分位数的概念求解，

【详解】数据从小到大为，而，所以分位数为93．

故选：D

4．已知函数，先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.

【详解】解：先将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，

再向左平移个单位长度，则，

故选：A．

5．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过指数函数和对数函数的单调性，得到，，，即得到答案.

【详解】根据对数函数单调性知，，即，根据指数函数单调性知，

即，．

故选：C．

6．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点A测得的仰角为（单位：），点在同一水平地面上，则大跳台最高高度（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】在中，利用两角和的正弦公式和正弦定理求，在Rt中求.

【详解】在中，，则，

∴

，

由正弦定理可得，则，

在Rt中，，

∵，则.

故选：A．

7．如图，在中，是的中点，是上一点，且，过点作一条直线与边分别相交于点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理，向量和用基底表示，再由三点共线，求出的值.

【详解】是的中点，

，

，

，

三点共线，

，即，解得，

故选：B．

8．如图，在几何体中，底面是正方形，平面，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知直线在底面上的射影即为的中点的连线所在直线 ,连接交于点，取的中点，计算求得，说明几何体的外接球的球心为，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.

【详解】由题意在几何体中，底面是正方形，平面，其余棱长都为2，

可知直线在底面上的射影即为的中点的连线所在直线,,

连接交于点，则为的中点，取的中点，

四边形为全等的等腰梯形，则，

故 ,平面,

则平面平面,故 ,则,

取的中点，连接，作，垂足为，如图所示．

由题意得，，

，

，同理,

又，

即这个几何体的外接球的球心为，半径为2，

这个几何体的外接球的体积为,

故选:D．

二、多选题

9．“”为真命题的充分条件可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】根据函数的单调性得到得到，对比选项得到答案.

【详解】为真命题，且在上单调递增，，

故，ABC满足于条件.

故选：ABC．

10．甲､乙两名志愿者均打算高考期间去三个考点中的一个考点做服务，甲去考点做服务的概率分别为，乙去考点做服务的概率分别为，则（    ）

A．甲去考点做服务的概率为

B．甲去考点､乙不去考点做服务的概率为

C．甲､乙同去考点做服务的概率为

D．甲､乙不去同一考点做服务的概率为

【答案】ABD

【分析】由概率的性质对选项逐一判断，

【详解】对于A，甲去考点做服务的概率为，故A正确，

对于B，甲去考点､乙不去考点做服务的概率为，故B正确，

对于C，甲､乙同去考点做服务的概率为，故C错误，

对于D，乙去考点做服务的概率为，

甲､乙不去同一考点做服务的概率为，

故选：ABD

11．已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最小值为4 D．的最小值为

【答案】BD

【分析】对A利用已知条件构造二次函数求最值，B，C利用基本不等式，结合已知条件，即可解决，D项，利用已知条件化“1”，然后构造基本不等式解决问题.

【详解】对A，由，

所以，从而，

所以

当时，有最小值，故A错误；

对B，因为，

所以，当且仅当时等号成立，故B正确；

对C，因为，

所以

当且仅当时取等号，故C错误；

对D，

当且仅当，即时取等号，故D正确．

故选：BD．

12．如图，正方体的中心为分别为的中点，分别为线段上的动点（包含端点），则（    ）

A．对于任意点平面

B．存在点，使得平面平面

C．三棱锥的体积为定值

D．存在点，使得平面

【答案】BC

【分析】选项A，当与重合时，可判断；

选项B，当为的中点时，可证明平面（平面），即可判断；

选项C，先证明平面，再由点到平面的距离为定值，而的面积是定值，可判断；

选项D，先证明平面平面，即可判断.

【详解】

选项A，连接，当与重合时，平面平面，此时直线与平面相交，A错误；

选项B，四边形为正方形，，当为的中点时，，

平面平面，

平面（平面），平面平面平面B正确；

选项C，在正方体中，

四边形为平行四边形，平面平面平面，点到平面的距离为定值，而的面积是定值，则三棱锥的体积为定值，正确；

选项D，平面，同理平面，且平面平面平面，又平面平面，D错误．

故选：BC．

三、填空题

13．已知复数满足，则__________．

【答案】

【分析】由复数的四则运算与模的概念求解，

【详解】由题意得，．

故答案为：

14．已知向量，若，则__________．

【答案】

【分析】由平面向量的坐标运算求解，

【详解】由题意得，，解得．

故答案为：

15．已知集合，，若，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】解含绝对值的不等式，得到集合，由有，分当和讨论.

【详解】不等式解得或，∴或

．

当时，，解得．

当时，或，解得．

综上，实数的取值范围为．

故答案为：

四、解答题

16．在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，求下列各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由诱导公式与二倍角公式化简求解，

（2）由诱导公式化简求解，

【详解】（1）由题意得，，

（2）由题意得，，

17．对于函数，向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．

(1)若函数，求函数的伴随向量；

(2)若函数的伴随向量，且函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)伴随向量

(2)

【分析】（1）二倍角公式与两角和的余弦公式化简后求解，

（2）由三角恒等变换公式与三角函数性质求解，

【详解】（1）

函数的伴随向量．

（2）函数的伴随向量，

．

，

要使函数在上恰有2个零点，则，

解得，即实数的取值范围为．

18．2022年8月1日是中国人民解放军建军第95周年纪念日，某党支部为了了解党员对八一建军节的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“八一建军节”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有200人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．现从各组中按照分层随机抽样的方法抽取20人，担任“八一建军节”的宣传使者．

(1)若甲（年龄37）､乙（年龄38）两人已确定担任宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中随机抽取3人作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选为组长的概率；

(2)若第三组党员的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组党员的年龄的平均数与方差分别为38和3，据此估计这200人中岁所有人的年龄的方差．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据频率分布直方图和分层抽样的性质可得第四组、第五组应抽取的人数，分别记为,根据题意求出对应的样本空间，再利用古典概型的概率公式即可求解；

(2)先分别计算第三组､第四组的党员的年龄的平均数，再利用方差公式即可求解.

【详解】（1）由题意得，按照分层随机抽样的方法抽取20人，第四组应抽取4人，记为，甲，乙，第五组抽取2人，记为．

对应的样本空间为，甲，乙），（，甲，乙），（，甲，，甲，，乙，，乙，，，甲，乙），（，甲，，甲，，乙，，乙，，（甲，乙，），（甲，乙，），（甲，），（乙，，共20个样本点．

设事件“甲､乙两人至少有一人被选为组长”，则事件“甲､乙两人都没选为组长”，则，共4个样本点．

．

（2）设第三组､第四组的党员的年龄的平均数分别为，方差分别为，

则．

设这200人中岁所有人的年龄的平均数为，方差为，

则，

因此，估计这200人中岁所有人的年龄的方差为．

19．如图1是半圆（以为直径）与Rt组合成的平面图，其中，图2是将半圆沿着直径折起得到的，且半圆所在平面与Rt所在平面垂直，点是的中点．

(1)求证：；

(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，然后根据线面垂直的判定定理及性质定理即得；

（2）过点作，且，结合条件可得异面直线与所成的角为或其补角，然后根据条件及余弦定理即得.

【详解】（1）是半圆的直径，

，

，即，

又平面平面，且平面平面平面，

平面，又平面，

，又，平面，平面，

平面，又平面，

所以；

（2）在平面内，过点作，且，连接，

则，，

可得四边形是矩形，四边形是平行四边形，

，

异面直线与所成的角为或其补角，

由（1）得，平面

平面，平面，

，

在Rt中，，

，

在中，，

，

即异面直线与所成角的余弦值为．

20．在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．

在锐角中，角的对边分别为，且__________．

(1)求角的大小；

(2)若，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式后可求解，选②切化弦后再由两角和的正弦公式求解即可，选③由三角形的面积公式及余弦定理化简即可得解；

（2）由正弦定理将转化为A，C的三角函数，再由转化为关于锐角A的函数，由正弦型函数的值域求解即可.

【详解】（1）选①，利用正弦定理化简得，

整理得，

即，

．

选②，，

．

．

选③，，

，根据余弦定理可得，．

．

（2），

，

．

是锐角三角形，，解得，

，

，即，而，

周长的取值范围为．

21．已知函数．

(1)若，求证：函数的图象关于点中心对称；

(2)若，且关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求出，证明出函数的图象关于点中心对称；

（2）将代入不等式，得到，令，则，换元后得到，由函数单调性得到，从而求出的取值范围．

【详解】（1）由题意得，，

，

故函数的图象关于点中心对称．

（2）由题意得，，

则在上恒成立，

即，即

令，则．

在上恒成立，

∴

设．

由对勾函数的性质可知在上单调递增，

因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递减，

，

实数的取值范围为．

五、双空题

22．为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为．设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第次改良后所排放的废气中含有的污染物量（单位：满足函数模型．

（1）__________．

（2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行__________次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标．

（参考数据：）

【答案】          6

【分析】（1）根据题意将代入求解即可；（2）解不等式，结合对数运算求解.

【详解】（1）由题意得，

当时，，即，

解得．

（2）由（1）得，，整理得，

，即，

故至少进行6次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标．

故答案为：；6.