2022-2023学年福建省南平市高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省南平市高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．椭圆的焦点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆方程求解a，b，得到c，即可求出焦点坐标.
【详解】解：椭圆，可得，，则，
所以椭圆的焦点坐标.
故选：C.
2．“”是“直线：与直线：平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行的判定与性质结合充分条件、必要条件判定即可.
【详解】若直线：与直线：平行，则，可得.
当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合题意.
所以“直线：与直线：平行”等价于“”.
所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.
故选：C
3．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意，因此圆方程为．
【解析】圆的标准方程．
4．已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出.
【详解】解：∵向量，，
∴，
∵，∴，
解得.
故选：D.
5．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
6．一直线l经过点，倾斜角是直线的倾斜角的一半，则直线的方程是（ ）
A．B．．
C．D．
【答案】B
【分析】先由已知直线的方程求出直线的斜率，从而得到已知直线的倾斜角，又根据到直线的倾斜角是已知直线倾斜角的一半，得到直线的倾斜角等于，进一步根据点斜式写出直线的方程.
【详解】因为直线，
所以直线的斜率等于，
根据直线倾斜角与斜率之间的关系得：
直线的倾斜角等于，
所以直线的倾斜角等于，
则直线的斜率等于，
利用点斜式得直线的方程为：，
整理化简得直线的方程为：，
故选：B.
【点睛】求解直线方程时应该注意以下问题：
一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论；
三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.
7．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的左支上有、两点使得.若的周长与的周长之比是，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，可得，利用双曲线的定义可求得和的周长，由已知条件求得，再由可求得双曲线的离心率的值.
【详解】设，则由，得.
由于，，
所以，.
则的周长为，
的周长为.
根据题意得，得，
又因为，即，
所以，代入，得，
可得，解的，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，属于中档题.
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．点到直线的距离为1
【答案】AC
【分析】对A,化简方程令的系数为0求解即可.
对B,根据截距的定义辨析即可.
对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可.
对D,利用横纵坐标的差求解即可.
【详解】对A,化简得直线,故定点为.故A正确.
对B, 在轴上的截距为.故B错误.
对C,直线的斜率为,故倾斜角满足,
即.故C正确.
对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D错误.
故选：AC.
10．已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆方程为B．椭圆方程为
C．D．的周长为
【答案】ACD
【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．
【详解】由已知得，2b=2，b=1，，
又，解得，
∴椭圆方程为，
如图：
∴，的周长为．
故选：ACD．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0相交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（1，－2），半径为1
B．直线AB的方程为x－2y－4＝0
C．线段AB的长为
D．取圆M上点C（a，b），则2a－b的最大值为
【答案】ABD
【分析】化圆M的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径判断A；联立两圆的方程求得AB的方程判断B；由点到直线的距离公式及垂径定理求得AB的长判断C；利用直线与圆相切求得2a－b的范围判断D．
【详解】由圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，得(x－1)2+(y+2)2＝1，
则圆M的圆心为（1，－2），半径为1，故A正确；
联立圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2－2x+4y+4＝0，消去二次项，
可得直线AB的方程为x－2y－4＝0，故B正确；
圆心O到直线x－2y－4＝0的距离d，圆O的半径为2，
则线段AB的长为2，故C错误；
令t＝2a－b，即2a－b－t＝0，由M（1，－2）到直线2x－y－t＝0的距离等于圆M的半径，
可得，解得t＝4．
∴2a－b的最大值为，故D正确．
故选：ABD．
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
【答案】AD
【分析】设，则，由余弦定理求出的长，可得，由底面可得，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A；计算即可判断选项B；计算即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，计算再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确.
对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误.
对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误.
对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
此时.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，此时，
所以，
所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确.
故选：AD.
三、填空题
13．直线恒过一定点，则该定点坐标为_______
【答案】
【分析】直线方程可化为，令，即可得出答案.
【详解】解：直线方程可化为，
令，解得，
所以直线过定点.
故答案为：
14．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为___________.
【答案】
【分析】利用椭圆定义求出，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答.
【详解】依题意，由椭圆定义得，而，则，
因点是抛物线的焦点，则该抛物线的准线l过点，如图，
过点P作于点Q，由抛物线定义知，而，则，
所以.
故答案为：
15．是双曲线的上焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线下支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为_______．
【答案】
【分析】连接，根据圆和正三角形性质可知，为含有的，再利用双曲线定义得到的关系，可求出双曲线离心率.
【详解】如图连接，
是圆的直径，，，
又是等边三角形，，
在中：，，
由双曲线的定义得
双曲线的离心率为．
故答案为：
16．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则________.
【答案】
【解析】根据已知条件可得、是双曲线的左、右焦点，由圆切线的性质可得，由双曲线的几何性质可求出最小值，即可求出.
【详解】解：由得，，则、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，
∴
，当在轴上时，最小为，
则最小值为，解得.
故答案为:.
【点睛】关键点睛：
本题考查了双曲线的几何性质，本题的关键是结合图形和双曲线的定义，明确何时取最小值，从而结合已知条件即可求出半径.
四、解答题
17．已知直角坐标平面内的两点，.
(1)求线段的中垂线所在直线的方程；
(2)一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的中点坐标及中垂线的斜率，进而求出方程；
（2）求出关于轴对称点的坐标，即可求反射光线所在的直线方程．
【详解】（1）∵，
∴中点为.且.
∴线段的中垂线的斜率为1，
∴由直线方程的点斜式可得线段的中垂线所在直线方程为即.
（2）∵关于轴的对称点，
∴
所以直线的方程为：，
即反射光线所在的直线方程为
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝．
(1)求证：PC∥平面BMD；
(2)求二面角M－BD－P的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】连接AC交BD于N，连接由三角形中位线知MN∥PC即得证；
取AD的中点O，连接OP，说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小.
【详解】（1）连接AC交BD于N，连接
在正方形ABCD中，，
∴N是AC的中点.
又M是AP的中点，
∴MN是的中位线，，
∵面BMD，面BMD，
∴∥平面BMD，
（2）取AD的中点O，连接OP，
在中，，O是AD的中点，
∴，
又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，
∴平面
在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点，
∴，
∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系
，，，，
∴，，
设平面MBD的一个法向量，
则，即
取，得，
∴是平面MBD的一个法向量：
同理，是平面PBD的一个法向量，
∴，
设二面角的大小为，
由图可知，，，且为锐角，
∴，
故二面角的大小是
19．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求A，B中点坐标及弦长.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由已知结合焦半径公式求得，则抛物线方程可求；
（2）设，，，，联立直线方程与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理求得，，再求得，从而可得中点坐标，再由弦长公式求弦长．
【详解】（1）解： 在抛物线上，且，
，则，
故抛物线的方程为；
（2）解：联立，可得．
设，，，，
，，
则，
所以A，B中点坐标，
．
20．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且双曲线C过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为，，直线l过点且斜率为1，直线l与双曲线C交于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据给定条件求出双曲线C的左右焦点，的坐标，再借助定义求出a，b作答.
(2)由(1)求出直线l的方程，再与双曲线C的方程联立，求出点A，B纵坐标差的绝对值即可计算作答.
【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，，于是得双曲线C的左焦点，右焦点，
因点在双曲线C上，则，即，
所以双曲线C的标准方程是.
（2）由(1)知，双曲线C的焦点，，则直线l的方程为：，
由消去x并整理得：，设，
则有，因此，，
于是得，
所以的面积是.
21．椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于．直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点．
(1)求的标准方程；
(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意，求得，则椭圆方程得解；
（2）设出直线的方程，求得弦长，根据面积，即可求得斜率.
【详解】（1）由题意得，∴，∵，∴，∴ ，
故椭圆的标准方程为；
（2）根据题意，直线的斜率存在且不为零，
故设直线：，则直线：，
由，得，恒成立，
设、，则，，
∴，
∵圆心到直线：的距离，
又，∴，
∵，∴四边形的面积，
由，解得或，由，得．
【点睛】本题考察椭圆方程的求解，以及直线截椭圆的弦长的求解；本题中需要注意求解的准确性,同时要注意四边形对角线垂直的特点，进而求解面积，属中档题.
22．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.
(1)求证：；
(2)若，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，为的靠近点的三等分点
【分析】（1）根据给定条件证得及平面，即可得解.
（2）建立空间直角坐标系，假定存在符合条件的点G，借助空间向量求出点G的坐标即可判断作答.
【详解】（1）在直角梯形中，，且为线段的中点，则，
又，即有四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，于是有平面，
又平面，平面平面，则，
而，则有，
且平面平面，平面平面，平面，
因此平面，即平面，
又平面，所以.
（2）存在，为的靠近点的三等分点.
因，为线段的中点，则，由（1）可得，，
以为坐标原点，，，的方向为，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，得，则，
设平面的法向量为，则有，即，
令，得，
设直线与平面所成角为，
于是有，
解得或(舍)，
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
为的靠近点的三等分点.