2022-2023学年福建省莆田第八中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年福建省莆田第八中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省莆田第八中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知数列则是这个数列的（    ）A．第项 B．第项 C．第项 D．第项【答案】D【解析】由数列通项公式等于，求解出.【详解】由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项.故选：D.2．直线的倾斜角是A． B． C． D．【答案】D【解析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.【详解】化为，斜率为，所以倾斜角为.故选:D.【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.3．已知直线，.当时，的值为（    ）A．1 B． C．或1 D．【答案】B【分析】利用两直线平行的充要条件即得.【详解】由直线，，∴，得.故选：B.4．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列C．公比为2的等比数列 D．公比为的等比数列【答案】A【分析】由数列首项和公比求出等比数列的通项公式即可求得,然后根据对数运算可得到,利用等差数列的定义可得结果.【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，所以，，所以数列是公差为2的等差数列，故选A.【点睛】本题主要等差和等比数列的概念与通项公式，以及对数的运算，属于基础题.5．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．6．“、、成等比数列”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】D【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比中项的定义判断即可.【详解】充分性：若、、成等比数列，则且，则，即充分性不成立；必要性：若，取，则、、不成等比数列，即必要性不成立.因此，“、、成等比数列”是“”的既非充分也非必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了等比中项定义的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题.7．在数列中，，，则（    ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据数列的递推式，计算数列的项，可推得数列为周期性数列，利用其周期即可求得答案.【详解】由题意可得，，∴，，，,∴该数列是周期数列，周期,又 ，∴ ，故选：B ．8．若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”，若正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是A．10 B．100 C．200 D．400【答案】B【详解】试题分析：由于正项数列为“调和数列”，，为等差数列，，.的最大值为100.【解析】等差数列的性质和基本不等式的应用. 二、多选题9．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（    ）A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3nC．an＝4n－8 D．an＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项，【详解】依题意，，所以.故选：AC10．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　）A． B．  C． D．【答案】AD【分析】先考虑直线过原点的情况，再把直线的一般式方程转化为截距式方程，通过横纵截距相等求出实数的值.【详解】，即时，直线化为，它在两坐标轴上的截距都为，满足题意；，即时，直线化为，因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，且，解得；综上所述，实数或.故选：AD.11．已知方程，则下列说法正确的是（    ）A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径【答案】BCD【分析】将方程配方，即得，根据a的取值，逐项判断每个选项，即可得答案.【详解】方程即，当时，即，表示点，A错误；当时，，表示圆心为的圆，B正确；当时，表示的圆的半径为，C正确；当时，表示圆，半径为2，圆心到轴距离等于半径，D正确，故选：.12．已知数列满足，，，，则（    ）A．为等差数列B．为常数列C．D．若数列满足，则数列的前100项和为100【答案】ABD【分析】由条件构造时，，与已知的式子相加或相减，即可判断AB选项，再结合AB选项，计算CD.【详解】，当时，，两式相加得：，则是公差为4的等差数列，故A正确；上面两式相减得，则为常数列，故B正确；，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，故C不正确；，由可知数列是常数列，，，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查根据递推公式，求通项公式或求和，本题的关键是构造时，，通过两式相加或相减，即可判断选项. 三、填空题13．已知直线的倾斜角，直线，则的斜率为__．【答案】【分析】先根据直线的倾斜角，直线，求出的倾斜角，再根据倾斜角与斜率的关系求出的斜率．【详解】解：∵直线的倾斜角，直线，∴的倾斜角为，∴的斜率为，故答案为:．14．正项递增等比数列 ，前n项的和为 ，若 ，则 __．【答案】【分析】设每一项都是正数的递增的等比数列的公比为 ,由，联立解出 ，再利用通项公式与求和公式即可得出答案．【详解】设每一项都是正数的递增的等比数列的公比为，∵，联立解得，∴ ，解得 ，∴ ，解得 ，则故答案为：364．15．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为___________.【答案】【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.【详解】∵直线，∴，由，得，∴直线恒过定点，可设直线方程为，则，，又，即，当且仅当时取等号，∴，当面积最小时，直线的方程为，即.故答案为：.16．如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．【答案】4【分析】设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则由已知可得数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求得，再设设小球第n次落地时，经过的路程为，由等比数列的求和公式建立方程求解即可.【详解】解：设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则当时，得出递推关系，所以数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，所以，且，设小球第n次落地时，经过的路程为，所以，所以，解得，故答案为：4. 四、解答题17．已知三角形的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.【详解】（1）设线段的中点为．因为，，所以的中点，所以边上的中线所在直线的方程为，即．（2）因为，，所以边所在直线的斜率，所以边上的高所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的方程为，即．【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.18．如图，在中，，，且边的中点在轴上，的中点在轴上.（1）求点的坐标；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，根据中点坐标公式建立关于的方程，即可解出点坐标；（2）由、两点坐标得到边的长度以及直线的方程，再求出点到直线的距离得到边上的高，从而得到三角形的面积．【详解】（1）设点，因为边的中点在轴上，的中点在轴上，，，，解得，所以点的坐标是；（2）由题设，，，所以直线的方程为，即；故点到直线的距离为，所以，【点睛】本题主要考查求直线三角形顶点坐标，以及三角形面积，考查点到直线的距离公式，考查两点间距离公式，以及中点坐标公式，属于常考题型.19．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求.【答案】(1) ；（2）．【分析】（1）由题意可得，根据等差数列的通项公式可得，进而求出，由此即可求出结果；（2）由题意可知， ，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和，根据等差数列前项和公式即可求出结果.【详解】（1）因为成等比数列，所以，又数列是公差不为零的等差数列，所以，又，所以；∴．（2）由题意可知，数列 是以23为首项，公差为-6的等差数列，所以，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和，所以.【点睛】本题考查了主要考查了等差数列的通项公式、相关性质和前项和公式的应用，考生数列掌握等差数列的相关公式是解决本题的关键.20．已知等差数列的前n项和为，其中r为常数．(1)求r的值；(2)设，求数列 的前n 项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差中项的性质即可.（2）利用裂项相消的公式即可求得前n 项和.【详解】（1）先求前三项，，，，由为等差数列，所以，所以，即；（2）由（1）知，，也满足，所以，所以，故  所以故21．已知圆过点，，且圆心在直线：上.(1)求圆的方程；(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.(3)若点在直线上运动，求的最小值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程；（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为；（3）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，进而可得最小值.【详解】（1）由，，得直线的斜率为，线段中点，所以，直线的方程为，即，联立，解得，即，所以半径，所以圆的方程为；（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，设点关于直线的对称点，则直线与直线垂直，且线段的中点在上，即，解得，所以，所以直线即为直线，且，直线方程为，即；（3）由已知点在直线上，设，则，所以当时，取最小值为.22．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．(1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；(2)至少经过几年，绿洲面积可超过？（）【答案】(1).(2)6年. 【分析】（1）根据第第n年绿洲面积与上一年绿洲面积之间的关系可得等式，化简可得答案；（2）根据与的关系式，求得的表达式，由题意列出不等式，利用对数的运算可求得答案.【详解】（1）由题意得，所以；（2）由（1）得，∴，，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列,∴，即；令，即，两边取常用对数得：，所以，∴．∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．