2022-2023学年福建省莆田华侨中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省莆田华侨中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知等差数列中，，则数列的公差为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】利用，直接计算公差即可.

【详解】等差数列中，，设公差为d，则，即.

故选：C.

2．直线经过点和以为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得直线和的斜率，结合图象求得正确答案.

【详解】，

画出图象如下图所示，

由图可知，直线l的斜率满足或

所以直线的斜率的取值范围是.

故选：D

3．设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

4．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.

【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，

直线，整理为，

原点O到直线距离为，

故选：B

5．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直线经过点，且与圆相切可知，再使用点斜式即可.

【详解】直线经过点，且与圆相切，则,

故直线的方程为，即.

故选：A.

6．已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（       ）

A．8 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【分析】由，，可得，再结合等差中项分析得，进而得出，由此得解.

【详解】设等差数列的公差为，

∵，∴，∴.

∵，，∴，

∴当取最大值时.

故选：D.

7．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（    ）

A．4 B． C．2 D．1

【答案】C

【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.

【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.

又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.

故选：C.

8．已知边长为2的等边三角形，是平面内一点，且满足，则三角形面积的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，设，写出的坐标，利用列式得关于的等式，可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，写出直线的方程，计算和点距离直线的最小距离，代入三角形面积公式计算.

【详解】以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，

设，因为，所以，得，

所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：，，点距离直线的最小距离为：，所以面积的最小值为.

故选：A

9．已知点，那么下面四个结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意根据两个向量平行、垂直的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】解：，，，，

，，，，

对于与，由，则与不平行，故选项A错误；

由，则与不垂直，故选项B错误；

对于与，由，则与不平行，故选项C错误；

由，可得，即，故选项D正确.

故选：D．

二、多选题

10．在各项均为正数的等比数列中，已知，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】ABD

【分析】根据等比数列的通项公式，列出首项和公比的方程组，通过解方程组即可求出答案.

【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，

所以或，即或，

所以解得或，所以选项C错误，选项D正确.

因为等比数列的各项均为正数，

所以，选项A正确；

，选项B正确；

故选：ABD.

11．已知直线与圆，则下列说法中正确的有（    ）

A．当时，直线l与圆P相切

B．当时，直线l与圆P的相交弦最长

C．直线l与圆P一定相交

D．圆心P到直线l的距离的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，求出圆心到直线的距离进行判断，对于B，判断圆心是否在直线上，对于C，举例判断，对于D，由于直线恒过原点，所以当时，圆心P到直线l的距离最大，从而可求出其最大值

【详解】圆的圆心，半径为1，

对于A，当时，直线为，此时圆心到直线的距离等于半径，所以直线l与圆P相切，所以A正确，

对于B，当时，直线为，此时直线恰好过圆心，所以直线l与圆P的相交弦最长为直径，所以B正确，

对于C，若直线为， 则圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，所以C错误，

对于D，因为恒过原点，所以当时，圆心P到直线l的距离最大，最大值为，所以D正确，

故选：ABD

12．已知数列满足，，，数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．数列为单调递增的等差数列

D．满足不等式的正整数n的最小值为63

【答案】ABD

【分析】由和递推公式→→，→A选项正确，B选项正确；

→→为单调递增的等差数列→C选项不正确；

→→→D选项正确

【详解】因为，所以，所以，

则，解得，

，所以，，所以A选项正确，B选项正确；

因为，所以，

所以，又，

所以，

所以为单调递增的等差数列，

则数列不是单调递增的等差数列，所以C选项不正确；

，

则，

，

解得，又，

所以正整数n的最小值为63，所以D选项正确．

故选：ABD．

【点睛】数列问题，常常需要由递推公式求出通项公式，方法有累加法，累乘法，构造法等，要根据数列特征选择不同的方法.

三、填空题

13．在等差数列中，若，则该数列的前2021项的和为_______.

【答案】

【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.

【详解】由题意，等差数列中，，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.

14．若直线经过直线和的交点，则___________.

【答案】

【分析】求解出直线，的交点坐标，再代入直线即可求解.

【详解】由题意，直线，，交于一点，

所以，得，

所以直线过点，

得，求解得.

故答案为：

15．过圆外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.

【答案】

【分析】先根据∠APC＝30°，可得P点轨迹方程为圆，再数形结合可知当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，结合垂径定理计算即可

【详解】由题意知，连接PC，因为△PAB为等边三角形，所以∠APC＝30°，所以，所以P点轨迹的方程为.因为，所以点D(2，1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部.连接CD，结合图形可知，当l与CD垂直时，l被圆所截得的弦长最短，最短弦长为

故答案为：

四、双空题

16．已知数列的前项和，则___________，的最大值为___________.

【答案】         

【分析】根据与的关系得到，再计算的值即可，分类讨论和时的情况，从而得到的最大值.

【详解】当时，，

当时，，

检验时，，

所以，则.

当时，.

当时，，故的最大值为.

故答案为：，

五、解答题

17．已知等差数列满足，前项和．

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；

（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解；

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由题意可得：，解得：，

所以；

（2）等比数列的公比为，

由题意可得：，解得或，

所以或，

所以数列的通项公式为：或.

18．在中，已知，，.

（1）求边所在的直线方程；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由直线方程的两点式可得；

（2）先求直线方程，再求到的距离，最后用面积公式计算即可.

【详解】（1），，

边所在的直线方程为，即；

（2）设到的距离为，

则，

，

方程为：即：

.

.

19．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）

（1）求；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）选择①②、①③、②③条件组合,； （2）

【分析】（1）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可；

（2），利用分组求和法计算即可.

【详解】（1）①由，得，即；

②由，，成等比数列，得，，即﹔

③由，得，即；

选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔

（2）由（I）得，

 则

，

即

【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.

20．在平面直角坐标系中，光线过点，经轴反射后与圆：有交点

(1)当反射后光线经过圆心，求光线的方程；

(2)当反射后光线与圆相切，求光线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，由，代入可求出光线的斜率，即可求出光线的方程；

（2）设反射光线方程为，由反射后光线与圆相切可求出，即可求出光线的方程.

【详解】（1）点关于轴对称的点为，由光线的折射性质，反射光线经过圆心，所以，

易知，所以，

所以光线的方程为.

（2）设经过的直线方程为由于折射光线与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，即,

化简得：,

解得或,

所光线的方程为或.

21．在平面直角坐标系中，已知圆过点,且圆心在直线上；圆：．

(1)求圆的标准方程，并判断圆与圆的位置关系；

(2)直线上是否存在点，使得过点分别作圆与圆的切线，切点分别为（不重合），满足，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，相外切

(2)存在，

【分析】（1）、先确定两圆圆心和半径，再计算圆心距与半径和进行比较即得结果；

（2）、设直线上存在点满足题意，设出点坐标，由及其与切线长和半径之间的关系得到，再利用距离公式解得，经检验即得答案．

【详解】（1）圆过点,圆的圆心在直线上，

圆心在直线上，，，，

设,半径为，圆的标准方程为，

圆：．,

又∵,且

圆与圆相外切．

（2），直线的方程为，

设直线上存在点满足题意，

,,,,

,,,,

,，或，或

当时，点为圆与圆的公切点，不符合题意;当时，满足.

综上所述，存在点，满足.

22．已知数列的前项和为，，数列满足，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）由，利用数列通项与前n项和的关系求得；再由求解；

（2）由，利用错位相减法求得， 由，利用累加法得到，从而求得，然后由恒成立求解.

【详解】（1）当时，，∴，

当时，由得

，即，

∴数列是公差为2的等差数列，

∵，∴.

由条件得，，

∴，即数列是公比为2的等比数列，

∴.

（2），设数列的前项和为，则，

∴，

∴，

，

∴，

由得，

累加得，

即，

∴，

∴，

令，则，

∴，

∴，

∴.