2022-2023学年甘肃省酒泉市敦煌市敦煌中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省酒泉市敦煌市敦煌中学高二上学期9月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省酒泉市敦煌市敦煌中学高二上学期9月月考数学试题 一、单选题1．已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设数列的首项为，公差为，列方程组求出即得解.【详解】解：设数列的首项为，公差为，由题得，所以.所以数列的通项为.故选：A2．直线的倾斜角是A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线的斜率，可得出该直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为，故选C.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，解题的关键就是求出直线的斜率，同时要熟悉直线的倾斜角和斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.3．数列满足若，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．【详解】因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以.故选：B.【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．4．在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（    ）A． B． C． D．10【答案】B【分析】根据等差中项和等比中项概念可得，运算求解．【详解】不妨设插入两个正数为，即∵成等比数列，则成等差数列，则即，解得或（舍去）则故选：B．5．设直线与两坐标轴围成的三角形面积为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求直线与x轴y轴的坐标，可得，然后利用求和即得。【详解】由题得，当时，，当时，，则三角形面积，故.故选：D【点睛】本题考查裂项相消法求和，难度不大。6．若数列的通项公式是，则（    ）A． B． C．15 D．16【答案】A【分析】利用数列的通项公式，分别求得的值，即可求得的值.【详解】数列的通项公式，则则故选：A7．已知数列的通项公式为，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用递增数列的定义即可.【详解】由 ，∴ ，即是 小于2n+1的最小值，∴ ，故选：C8．已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.【详解】将代入得，将代入得，所以A，B不在直线l上，又上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：，由，解得，直线方程，即为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以，即，因为，所以，故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线l上，联立求得，再利用斜率与倾斜角的关系而得解. 二、多选题9．下列关于直线的方程，叙述不正确的是（    ）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过定点的直线都可以用方程表示【答案】ACD【分析】根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可【详解】解：对于A，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以A错误；对于B，经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示，所以B正确；对于C，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程表示，所以C错误；对于D，经过定点，且斜率存在的直线都可以用方程表示，所以D错误，故选：ACD【点睛】此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题10．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ）A．数列是等比数列B．若，，则C．若数列的前n项和，则D．若，则数列是递增数列【答案】AD【分析】利用等比数列的定义可判断A；利用等比数列的通项公式可判断B；利用等比数列的前n项和公式可判断C；由，求出可判断D.【详解】由数列是等比数列，设公比为，则是常数，故A正确；由，，则，即，所以，故B错误；若数列的前n项和，则，，，成等比数列，，即，解得，故C错误；若，则，数列是递增数列；若，则，数列是递增数列，故D正确.故选：AD11．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则是等差数列B．若是等差数列，则三点共线C．若是等差数列，且，则当时数列的前n项和有最小值D．若等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则公差为5【答案】BCD【分析】A选项利用求出即可判断；B选项根据等差数列前项和公式对点坐标进行处理，同时利用斜率相等证明共线；C选项利用等差数列的性质求出公差，再结合首项和公差的正负判断有无最小值；D选项根据偶数项和奇数项的比值求出偶数项和奇数项的和，从而作差求出公差.【详解】A选项：，当时，，不符合，所以，故A错；B选项：因为为等差数列，所以，，，，因为，，所以三点共线，B正确；C选项：因为，，所以，，又因为，因为函数开口向上，且对称轴为，所以当时，有最小值，故C正确；D选项：因为，前12项里偶数项和奇数项的和的比为32:27，所以偶数项和为192，奇数项和为162，所以偶数项和奇数项和，所以公差为，故D正确.故选：BCD.12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）A．a6＞0B．C．Sn＜0时，n的最小值为13D．数列中最小项为第7项【答案】ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0.7≤n≤12时，＜0．n≥13时，＞0．进而判断出D是否正确．【详解】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．S13＝＝13a7＜0．∴Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．∴n＝7时，取得最小值．综上可得：ABCD都正确．故选：ABCD．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 三、填空题13．若直线经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为________．【答案】【分析】根据正切的二倍角公式求出直线方程的斜率，利用点斜式求出直线方程.【详解】设的倾斜角为，则，所以，所以直线方程的斜率为，所以直线的方程为：，整理得：.故答案为：14．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________．【答案】10【分析】利用等比数列、等差中项列方程，可解出q，则可由求值.【详解】由题意，，解得（舍）或，∴.故答案为：1015．设是等比数列的前n项和，若，则______.【答案】【分析】设，利用等比数列的性质求出即得解.【详解】解：设，所以因为数列是等比数列，所以成等比数列，因为数列的公比为2，所以，所以.所以.故答案为：16．已知公比为的等比数列满足，记为数列在区间（为正整数）中的项数，则数列的前项的和_______．【答案】【分析】第一步求出的通项公式，第二步计算为在区间中的项的个数，列举求值即可.【详解】因为是等比数列，由，得，已知，解得，，故得.由于，所以对应区间为，即；对应的区间分别为，所以有一项，即；对应的区间分别为，所以有两项，即；对应的区间分别为，所以有三项，即；对应的区间分别为，所以有四项，即对应的区间分别为，所以有五项，即对应的区间分别为，所以有六项，即.所以.故答案为：. 四、解答题17．在等差数列中，．(1)求的通项公式；(2)设为等比数列的前n项和，若，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意，根据等差数列的定义，可得答案；（2）由题意，根据等比数列的定义，求得公比，结合求和公式，可得答案.【详解】(1)设等差数列的公差为，由，则，，，则，故的通项公式为.(2)由，两边同减，可得，则，设等比数列的公比为，则，解得，由，故数列是首项为，公比为的等比数列，则.18．求过点且分别满足下列条件的直线方程（1）在两个坐标轴上的截距相等.（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12.【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）分类讨论，设出直线方程，然后代入点的坐标，计算求解即可；（2）设出直线的截距式方程，然后代入点的坐标得到一个关于截距的方程，再由三角形面积等于12，得到关于截距的另一方程，联立方程组求解截距，即可得解．【详解】（1）①若直线经过原点，设方程为，又因为直线过点，故有，解得：，所以方程为：；②若直线不经过原点，设直线在两坐标轴上的截距为，方程为：，又因为直线过点，所以有：，解得：，所以直线方程为：，即：；（2）设直线在，轴上的截距为，（，），可设直线方程为，由题意得，解得，∴直线方程为：，即：．【点睛】本题考查直线截距式方程的应用，解题关键是正确设出直线的方程，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.19．已知数列{an}的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用与的关系，分类讨论即可求得；（2）将（1）中的代入，再利用分组求和法与等差、等比的前项和公式即可求得.【详解】(1)当时，，当时， ，经检验：满足上式，所以，(2)由（1）可得，所以.20．在等比数列中，，公比，且，又有4是和的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前21项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，求得和，进而求得的值，即可求解；（2）由（1）得到和，进而求得数列的前项的和.【详解】(1)因为，可得，即，又因为，所以，因为4是和的等比中项，所以，即与是方程的两个根，且，所以，即，解得，所以数列的通项公式为.(2)由，可得，则，则数列的前项和为，当时，，所以；当时，，所以.21．已知数列满足，，令(1)求证：是等比数列；(2)记数列的前项和为，求.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设数列的前项和为，则，则，两式作差，化简整理可得，根据等比数列的定义，即可得证.（2）由（1）可得，利用错位相减求和法，计算化简，即可得答案.【详解】(1)证明：，，①②①-②得，经检验，当时上式也成立，即.所以即，且.所以是首项为3，公比为3的等比数列.(2)由（1）得，.所以，两式相减，得，22．已知数列满足．(1)设，求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和，是否存在正整数m，使得对任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)证明见解析，；(2)存在，m的最小值为3 【分析】（1）结合递推关系可证得bn+1－bn1，且b1＝1，可证数列{bn}为等差数列，据此可得数列的通项公式；（2）结合通项公式裂项有求和有，再结合条件可得 ，即求．【详解】(1)证明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得．(2)∵，，所以， 依题意，要使对于n∈N恒成立，只需，即解得m≥3或m≤-4．又m＞0，所以m≥3，所以正整数m的最小值为3．