2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．数列1,,,，的第n项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别分析底数和指数的变化规律，得到数列通项.

【详解】底数构成等差数列，第n项为；指数构成等差数列，第n项为.

所以数列1,,,，的第n项为.

故选：D

2．下列说法正确的是（    ）

A．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为

B．直线的倾斜角的取值范围是

C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率

D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大

【答案】B

【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可逐一判断.

【详解】对于A，若斜率为，但倾斜角不是，此时倾斜角为，故A错，

对B，直线的倾斜角的取值范围是，当直线与轴重合或者平行时，倾斜角为，故B正确，

对于C，当直线垂直于轴时，倾斜角为，但此时直线没有斜率，故C错误，

对于D，当直线的倾斜角为锐角时，斜率为正值，但倾斜角为钝角时，斜率为负值，故D错误，

故选：B

3．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得，从而可求得实数的取值范围

【详解】∵表示圆，则，

∴，

故选：B．

4．记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A． B．8 C．7 D．

【答案】A

【分析】利用等比数列前n项和的性质求解.

【详解】∵为等比数列的前n项和，

∴，，，成等比数列

∴，

∴，.

∴，.

故选：A

5．若两条平行直线与之间的距离是，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】由两直线平行求得参数，再由距离求出后即得．

【详解】由题意两直线平行，则，，

又，而，所以．

所以．

故选：A．

6．已知数列满足，且，则（    ）

A．-3 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】根据条件得到，从而得到数列是等差数列，且公差为2．利用等差数列的性质及对数运算法则计算出结果.

【详解】∵，

∴，

即，

∴数列是等差数列，且公差为2．

∵，

∴，解得：.

∴．

故选：A．

7．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】先求得两点的坐标，求得关于对称点的坐标，根据三点共线求得的最大值.

【详解】依题意可知，

关于直线的对称点为，，

即求的最大值，

，

当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，

也即的最大值是.

故选：A

8．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（    ）

A．288 B．336 C．368 D．412

【答案】B

【分析】由已知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1时三种情况，分别列式求解即可.

【详解】当四位数不出现1时，排法有：种；

当四位数出现一个1时，排法有：种；

当四位数出现两个1时，排法有：种；

所以不同的四位数的个数共有：．

故选：B．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B．点关于直线的对称点为

C．过，两点的直线方程为

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AB

【分析】对选项A，分别令和，求出直线与坐标轴交点，再结合面积公式判断即可；对选项B，求出对称点坐标即可判断；对选项C特殊情况不成立；对选项D，缺少过原点的直线．

【详解】A．令得，令得，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，正确；

B．设关于直线对称点坐标为，则，解得，正确；

C．两点式使用的前提是，错误；

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，错误．

故选：AB．

10．将甲､乙､丙､丁4名志愿者分别安排到三个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，则下列选项正确的是（    ）

A．共有18种安排方法

B．若甲､乙被安排在同社区，则有6种安排方法

C．若社区需要两名志愿者，则有24种安排方法

D．若甲被安排在社区，则有12种安排方法

【答案】BD

【分析】A选项，先分组再分配，求出安排方法；

B选项，先安排甲和乙，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；

C选项，先安排A社区，再把剩余两个社区和两名志愿者进行全排列即可；

D选项，分两种情况，A社区安排了两名志愿者和A社区只安排了甲志愿者，求出两种情况下的安排方法，再相加即可.

【详解】对于：4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法为：，错误；

对于：甲､乙被安排在同社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，剩余两个社区和剩余

两名志愿者进行全排列，所以安排方法为：，正确；

对于：A社区需要两名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，

再把剩余2名志愿者和2个社区进行全排列，所以安排方法为错误；

对于D：甲安排在社区，分为两种情况，第一种为A社区安排了两名志愿者，

所以从剩余3名志愿者中选择一个，分到A社区，再把剩余2名志愿者和2个社区进行

全排列，安排方法有种；

第二种是A社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为两组，再分配到剩余的两个社区中，此时安排方法有种；

所以一共有安排方法为正确.

故选：.

11．已知过点的直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（    ）

A．的最大值为4

B．的最小值为2

C．点到直线的距离的最大值为

D．的面积为

【答案】AC

【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可求解.

【详解】解：由题意，圆的圆心坐标为，半径为，

又由点在圆内部，

因为过点的直线与圆交于两点，

所以的最大值为，所以A正确；

因为，

当直线与垂直时，此时弦取得最小值，

最小值为，所以B错误；

当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值，

且最大值为，所以C正确；

由，可得，即，

所以的面积为，所以D错误.

故选：AC.

12．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．取得最大值时，

【答案】AB

【分析】对于A BC，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简求解；对于D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.

【详解】由，得即，

又，所以，选项A正确；

由； ，得，选项B正确；

由，得，又，所以，选项C错误；

，令，得，

解得，又，所以，

即数列满足：

当时， ，

当时， ，所以取得最大值时，，选项D错误．

故选：AB．

三、填空题

13．已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是______．

【答案】

【分析】由倾斜角和斜率的关系进行求解.

【详解】因为直线的倾斜角为，且，

当时，；

当时，；

即该直线的斜率的取值范围是.

故答案为：.

14．已知数列的通项公式为，，则其前项的和为______.

【答案】

【分析】利用分组求和直接计算.

【详解】由，

当时，，

当时，，

所以

，

故答案为：.

15．已知一束光线从点射出，经y轴反射后，反射光线所在直线与直线垂直，则反射光线所在直线l的方程为_________．

【答案】

【分析】根据反射的性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可.

【详解】因为反射光线所在直线与直线垂直，

所以可设反射光线所在直线方程为：，

点关于y轴对称的点的坐标为，显然点在直线上，

所以，即，

故答案为：

16．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．

【答案】

【解析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.

【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，

可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，

最后一个音是最初那个音的频率的2倍，

，，

，

．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.

四、解答题

17．已知三个顶点坐标分别为，，．

(1)试判断的形状；

(2)求中的角B的角平分线所在直线的一般方程．

【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形

(2)

【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断；

（2）由（1）可得角的角平分线即为边上的中线，求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可.

【详解】（1）解：因为，，，

所以的斜率，，

的斜率，，

则，

所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形；

（2）解：由（1）知是以为直角的等腰直角三角形，

所以角的角平分线即为边上的中线，

易求中点坐标，所以直线的斜率，

故角的角平分线为，化为一般式为．

18．高三毕业时，甲乙丙丁四名同学找班主任老师站成一排拍照.

(1)若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？

(2)若最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，则共有多少种不同的排法？

(3)求班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻的排法？

【答案】(1)48；

(2)42；

(3)16.

【分析】（1）运用捆绑法进行求解即可；

（2）运用分类计数原理，结合排列的定义进行求解即可；

（3）先对乙、丙进行排列，再对剩下二个同学进行排列即可.

【详解】（1）甲乙站一起共有不同的排法数为；

（2）当最左端站甲时，不同的排法数为，

当最左端站乙时，因为最右端不能站甲，所以不同的排法数为，

因此最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，共有不同的排法数为；

（3）因为班主任老师必须站正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，

所以乙、丙两位同学在教师的两侧，因此不同的排法数为.

19．已知数列满足（，且），且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由 可知是公比为2的等比数列，再由成等差数列求出，即可得数列通项.

(2) ，利用分组求和法求数列的前n项和.

【详解】（1）在数列中，由得，而，

则数列是公比为2的等比数列，

因成等差数列，即，

有，解得，

所以数列的通项公式为

（2）由（1）得

=

20．已知圆过直线与的交点，圆心为点.

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线：始终平分圆的周长，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先联立直线方程，求出交点坐标，从而计算出半径，写出圆的标准方程；

（2）直线经过圆的圆心，求出，再用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】（1），解得：，所以圆过点，

则圆的半径为，

所以圆的标准方程为；

（2）由题意得：直线：经过圆的圆心，

将其代入，，

因为，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

21．设数列的前n项和为，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；

（2）由错位相减法即可求得答案.

【详解】（1）因为．

所以，解得．

当时，，

所以，所以，即．

因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．

（2）由（1）知，所以，

所以…①

…②

①-②得

，所以．

22．圆C：．

(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；

(2)已知，圆C与x轴相交于两点M、N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：相交于两点A、B问：是否存在实数a，使得？若存在，请说明理由．

【答案】(1)或．

(2)存在，理由见解析.

【分析】（1）由判别式即可求解.

（2）联立直线AB与圆的方程，利用韦达定理，结合，即可求得结果.

【详解】（1）由得，

因为圆与轴相切，所以，解得或4，

故所求圆C的方程为或．

（2）令得，

解得或，而，即，．

假设存在实数a，设，，

当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为，

由得，

根据韦达定理有，

又，即NA、NB的斜率互为相反数，

，

即，

即

所以，

解得.

当直线AB与x轴垂直时，仍然满足，

即NA、NB的斜率互为相反数．

综上所述，存在，使得．

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．