2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学高二上学期期中数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省兰州市第三十三中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】解：直线的倾斜角，则直线的斜率故选：C.2．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质计算得到公差，，再利用等差数列求和公式进行求解.【详解】因为为等差数列，所以，所以，又，所以公差，由得：，故故选：B3．直线：的一个方向向量可以是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先将直线的方程化为斜截式，即可得到直线的方向向量，即可判断.【详解】解：因为，所以，所以直线的方向向量为，因为，所以直线：的一个方向向量可以是；故选：C4．已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）A．或 B．C．或 D．或【答案】B【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足，即且，所以． 故选：B．5．已知等差数列{an}的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝60，则S40等于（    ）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【分析】根据在等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列即可得解.【详解】因为等差数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故选：D.6．在各项均为正数的等比数列中，，则（    ）A．1 B． C．4 D．【答案】D【分析】根据等比数列的性质结合条件可得，进而即得.【详解】因为，所以，又等比数列的各项均为正数，所以.故选：D.7．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员，依照品级递减石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是（    ）A．石 B．石 C．石 D．石【答案】D【分析】令位官员(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)所分得的俸粮数是公差为数列，利用等差数列的前n项和求，进而求出正三品即可.【详解】正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位官员所分得的俸粮数记为数列，由题意，是以为公差的等差数列，且，解得.故正三品分得俸粮数量为（石）.故选：D.8．已知实数x，y满足，那么的最小值为（    ）A．5 B．10 C． D．【答案】A【分析】可以看作是与原点的距离的平方，接着利用点到直线的距离公式即可求出答案【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，则的最小值为，故选：A 二、多选题9．设等差数列的前n项和为．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前n项和公式即可.【详解】由题设，，解得，∴，.故选：AC10．已知直线：，则下列结论正确的是（    ）A．直线的倾斜角是B．若直线：，则C．点到直线的距离是D．过与直线平行的直线方程是【答案】ACD【分析】求出给定直线的斜率经计算可判断A，B；求点到直线距离判断C；由平行直线求方程判断D作答.【详解】直线：的斜率，则其倾斜角为，A正确；直线：的斜率，显然，，即与不垂直，B不正确；点到直线的距离，C正确；设过与直线平行的直线方程是，则有，解得，所以过与直线平行的直线方程是，D正确.故选：ACD11．同一坐标系中，直线与大致位置正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】假设各选项中图象正确，由此可得的符号，由此确定经过的象限，进而得到各选项的正误.【详解】对于A，若图象正确，则，，经过第一、二、四象限，A错误；对于B，若图象正确，则，，经过第二、三、四象限，B正确；对于C，若图象正确，则，，经过第一、二、三象限，C正确；对于D，若图象正确，则，，经过第一、三、四象限，D错误.故选：BC.12．若数列满足则（    ）A．是等差数列 B．是等比数列C．数列的通项公式 D．数列的通项公式【答案】AC【分析】变形给定的递推公式即可判断选项A，B；求出数列的通项即可判断选项C，D作答.【详解】在数列中，当时，，即，而，即，则是首项为1，公差为1的等差数列，因此，，，所以A正确，B不正确，C正确，D不正确.故选：AC 三、填空题13．点(1，2)到直线的距离为___．【答案】##3.2【分析】利用点线距离公式求距离即可.【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线的距离为.故答案为：14．已知过点的直线l的一个法向量为，则直线l的方程是____________．【答案】【分析】由直线方程的点法向式写出方程并化简．【详解】直线l的一个法向量为，又过点，所以直线方程为，即．故答案为：．15．已知等比数列中，，公比，则______．【答案】32【分析】利用等比数列的通项公式基本量计算求出答案.【详解】由题意得：故答案为：32 四、双空题16．已知直线，则直线恒过一定点M的坐标为___，若直线与直线垂直，则______.【答案】          0【分析】由题可得，即得；利用直线垂直的关系即得.【详解】直线，即，故直线一定经过直线和的交点．由，求得，∴点的坐标为，若直线与直线垂直，则直线的斜率是，解得：.故答案为：；0. 五、解答题17．已知数列为等差数列，，．(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列的性质求出公差d即可求解作答.（2）由（1）结合等比数列前n项和公式求解作答.【详解】（1）等差数列中，，解得，而，则数列的公差，于是得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，，，即数列是等比数列，首项，公比，所以数列的前n项和.18．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且满足，．(1)求数列和的通项公式；(2)令，求数列的前项的和．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）应用等比数列的定义写出的通项公式，结合已知求的公差，进而写出通项公式.（2）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求.【详解】（1）由题设，所以，而，则，由，则，故.综上，，.（2）由（1）知：，所以.19．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.(1)求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长(3)求AB边的高所在直线方程.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即；法二：直线的斜率为，直线的方程为，即；（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，所以；（3）直线AB的斜率为，所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.20．设是公差不为0的等差数列，，为，的等比中项.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列的基本量的运算即得；（2）利用裂项相消法即得.【详解】（1）设的公差为，因为，为，的等比中项，所以，解得，因为，所以，故；（2）因为，所以.21．已知直线：，：，(1)若，求实数m的值；(2)若，求实数m的值及此时两平行直线间的距离．【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1），则，由此即可得解；（2），则，注意排除重合这一情况，再根据两平行直线的距离公式即可得解.【详解】（1）解：因为，所以，解得；（2）解：因为，所以，解得或，当时，直线：，：，此时两直线的距离为，当时，直线：，：，此时两直线的距离为.22．已知直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0，其中m∈R．(1)当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．【答案】(1)(2)的面积最小值是4，此时的直线方程为 【分析】（1）由题得直线恒过的定点P，再由两点的距离公式可得所求最大值；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率，根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【详解】（1）直线方程为(2－m)x+(2m+1)y+3m+4＝0即为m(2y－x+3)+(2x+y+4)＝0，由可得，则已知直线恒过定点P(－1,－2)，可得Q（3，4）到直线的最大距离为|QP|2.（2）设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2＝k(x+1)，可得|OA|＝|1|，|OB|＝|k－2|，则S△AOB•|OA|•|OB||(1)(k－2)|||．由k＜0，可得－k＞0，所以S△AOB[][4+()+(－k)]≥4．当且仅当k，即k＝－2时取等号．则△AOB的面积最小值是4，直线的方程为y+2＝－2(x+1)，即2x+y+4＝0．