2022-2023学年广东省华南师范大学附属中学高二上学期阶段（一）数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省华南师范大学附属中学高二上学期阶段（一）数学试题

一、单选题

1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即，解得．

【解析】两向量垂直坐标满足的条件．

2．在四面体中，，，，且，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.

【详解】解：由题知，

故选：B.

3．在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ）

A． B． C．4 D．5

【答案】B

【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解.

【详解】作出点A关于直线的对称点，

连接，交直线于点，

则即为光线经过路程的最小值，

且，

此即光线从A到B所经过的距离为.

故选：B．

4．长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值.

【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

，.

,异面直线与所成角的余弦值为.

故选：C

5．圆上到直线的距离为的点共有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】先根据方程判断直线与圆的关系，根据半径及距离判断点的个数.

【详解】由题知，圆心到直线的距离为，

则直线l与圆相交，由圆的半径为2知，

圆上到直线的距离为1的点有3个.

故选：C

6．若直线 ​与圆​相交于​两点， 且​(其中​为原点)， 则​的值为（    ）

A．​或​ B．​ C．​或​ D．​

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得

故选：A

【点睛】7．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出直线和的定点，即可推出点的轨迹方程，将原问题转化为两圆之间的位置关系，即可求解．

【详解】解：直线整理可得，，即直线恒过，

同理可得，直线恒过，

又，

直线和互相垂直，

两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，

圆心距，

两圆相离，

，

的取值范围是．

故选：B．

8．正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据正四面体的体积可求出内切球的半径，取的中点为，，可得当的长度最小时，取得最小值，求出球心到点的距离，可得点到的距离为.

【详解】因为四面体是棱长为1的正四面体，

所以其体积为.

设正四面体内切球的半径为，

则，得.

如图，取的中点为，则

.

显然，当的长度最小时，取得最小值.

设正四面体内切球的球心为，可求得.

因为球心到点的距离，

所以球上的点到点的最小距离为，

即当取得最小值时，点到的距离为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点到的距离为球心到点的距离减去半径.

二、多选题

9．已知空间向量=（1，－1，2），则下列说法正确的是（    ）

A．

B．向量与向量=（2，2，－4）共线

C．向量关于x轴对称的向量为（1，1，－2）

D．向量关于yOz平面对称的向量为（－1，1，－2）

【答案】AC

【分析】根据空间向量的模、共线、对称等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】，A选项正确.

，所以不共线，B选项错误.

向量关于x轴对称的向量，不变，和变为相反数，

即向量关于x轴对称的向量为，C选项正确.

向量关于yOz平面对称的向量，和不变，变为相反数，

即向量关于yOz平面对称的向量为，D选项错误.

故选：AC

10．已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（    ）

A．的一个方向向量为

B．直线与两坐标轴围成三角形的面积为

C．与直线垂直

D．与直线平行

【答案】AC

【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，

它与直线重合，D错误；

，因此是直线的一个方向向量，A正确；

在直线方程中令得，令得，

直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；

由于，C正确

故选：AC

11．已知曲线的方程是，则下列结论正确的是（  ）

A．曲线与两坐标轴有公共点

B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形

C．若点在曲线上，则的最大值是

D．曲线围成的面积为

【答案】BCD

【解析】对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，即可判定A错误，B正确，结合对称性判断C选项，根据图形特征计算面积.

【详解】解：当，时，方程，

当，时，方程，

当，时，方程，

当，时，方程，

作出图象：

由于，，所以A错误.

曲线既是中心对称，又是轴对称图形，

对称中心为，对称轴为轴，B正确.

点，在曲线上，当且仅当，与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，

的最大值为圆心距加两个半径，C正确.

在当，时，与坐标轴的交点和平分圆，

故第一象限的面积为，故总的面积为.

12．如图 ， 已知正方体的梭长为，为正方形底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ）

A．三棱雉的体积为定值

B．存在点，使得

C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段

D．若点是的中点，点是 的中点， 过作平面平面，则平面截正方体的截面周长为

【答案】ACD

【分析】对于A，利用可得，A正确；

对于B，建立空间直角坐标系，根据，计算得满足条件的点不在平面内，故B错误；

对于C，建立空间直角坐标系，根据，可得方程，判断C正确；

对于D，关键找到直线，使平面，且平面，以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，得到截面图形，计算得答案，D正确.

【详解】对于A，为正方形底面内一点时，由，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，故A正确；

对于B，以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

若，则，所以即，此时点不在底面内，与题意矛盾，故B错误；

对于C，因为，若，，所以即，所以的轨迹就是线段，故C正确；

对于D，因为，，

又平面，平面，，

所以平面，

因为面平面，

异面，平面，所以平面，

以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，

如图所示，易知每个侧面的交线均相等，长度为正方体的面对角线的一半，

由于正方体的梭长为，故面对角线长为，

所以截面周长为，故D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是____．

【答案】，或

【分析】由平行关系可设所求直线的方程为，由平行线间的距离公式得参数值，得直线方程．

【详解】由平行关系可设所求直线的方程为，

由平行线间的距离公式可得，

解得，或

所求直线的方程为：，或

14．写出与圆和圆都相切的一条切线方程___________.

【答案】或或

【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.

【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，

圆心距为，所以两圆外切，如图，有三条切线，

易得切线的方程为，

因为，且，所以，设，即，

则到的距离，解得（舍去）或，所以，

可知和关于对称，联立，解得在上，

在上任取一点，设其关于的对称点为，

则，解得，

则，所以直线，即，

综上，切线方程为或或.

故答案为：或或.

15．已知：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，已知，则__________．

【答案】

【详解】，所以

，所以，故填：.

【点睛】本题考查了利用平面向量解决立体几何的问题，也是比较容易忽视的方法，所求的向量用已知向量表示以后，转化为数量积的计算，本题的关键是利用三角形法则的推论，用表示.

16．长方体 中，AB=1，AD=2， ，P是棱 上的动点，则 的面积最小值是__．

【答案】##

【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设PD=z，表示出，求出，即可表示出，结合二次函数知识求得答案.

【详解】以点A为坐标原点，AB，AD，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设PD=z，则 ， ，

， ，|PC|，

∴由余弦定理可得， ，

∴，

∴，

即当z时， 的面积最小值为．

故答案为：．

四、解答题

17．直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且.

(1)求直线，的方程

(2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用两点式求得直线的方程，利用点斜式求得直线的方程.

（2）结合两点连线的斜率的取值范围以及图象求得正确答案.

【详解】（1）过点，方程为，整理得，

所以，由于，所以，

所以直线的方程为.

（2）由令，解得，所以，

表示与连线的斜率，，

所以的取值范围是.

18．已知空间中三点，，．

(1)若，，三点共线，求的值；

(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2)且不同时成立.

【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.

（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.

【详解】（1）由题设，，又，，三点共线，

所以存在使，即，可得，

所以.

（2）由，

由（1）知：当时，有；

而，又，的夹角是钝角，

所以，可得；

综上，且不同时成立.

19．已知圆经过，，三点.

(1)求圆的标准方程；

(2)若直线与圆相交于不同的两点，，且线段的垂直平分线在两坐标轴上截距之和为，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由圆的一般方程利用待定系数法，代入点得到方程，解之即可.

（2）先判断得，进而求出线段的垂直平分的方程，根据题意可求得的值，再由与圆相交，得到的取值范围，进一步确定的值.

【详解】（1）设圆的方程为，

因为圆经过，，三点，

所以解得，

所以圆方程为，即，

所以圆的标准方程为：.

（2）若，直线：为，与圆相切，只有一个交点，不合题意，故；

又弦的垂直平分线必过圆心，且的斜率为，

所以线段的垂直平分线方程为，

当时，当时，所以，即，

解得：或.

因为圆的方程为：，所以，半径，

又直线与圆相交，所以，即，得或，

∴符合题意，即.

20．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．

(1)证明：平面PBE；

(2)求点F到平面PBE的距离．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1) 取的中点，连接， ，则可证，进而由线面平行的判定定理即可得证；

（2）平面，转化为点到平面的距离，再由等体积法求解.

【详解】（1）取的中点，连接， ，如图，

则，且，

∵且，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

平面，平面，

平面；

（2）因为平面，

所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，

故转化为求点到平面的距离，设为．

利用等体积法： ，

即， 而，

∵在中，，在中，

∴，

∴．

即点到平面的距离为.

21．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，AB的中点P的轨迹为曲线T，圆心为的圆C经过点B．

(1)求曲线T的方程，并判断曲线T与圆C的位置关系；

(2)过x轴上一点G任作一直线（不与轴重合）与曲线T相交于M、S两点，连接BM，BS，恒有，求G点坐标．

【答案】(1)，相离

(2)

【分析】（1）设出的坐标，利用是线段的中点，确定坐标之间的关系，根据点在圆上运动，可得中点P的轨迹，

即曲线T的方程，再利用题设写出圆的方程，利用两圆圆心距与半径和比较大小确定曲线T与圆的位置关系；

（2）先由图像分析，过点G的直线与曲线T相交于M、S两点，要满足，可知点G必在圆内，

再讨论斜率存不存在，①当直线的斜率不存在时，显然有；②当直线的斜率存在时，

设出直线的方程，由，联立方程直线和圆的方程，求出点G点坐标即可.

【详解】（1）设点坐标为，，

是线段的中点，且，由中点坐标公式得：，即，

又点A在圆上运动，，化简得，

所以曲线T的方程为：，又圆的圆心为，设圆方程：，

又圆经过点，代入圆方程得，所以圆方程：，

两圆的圆心距，所以曲线T与圆的位置关系是相离.

（2）如图所示，若点G在圆外，直线与曲线T相交于M、S在点G的同侧，有，所以点G必在圆内.

设点，过点G的直线分类讨论斜率存在和不存在两种情况：

当直线的斜率不存在时，由圆的对称性知必有；

当直线的斜率存在时，设直线的方程，联立方程得：

，化简整理得，  

设，则，

由题意知，，则直线MB，SB的倾斜角互补，即

则，

将代入上式可得，又，

所以，化简整理得，

即，解得，所以G点坐标为.

22．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取，中点，，连接，，，得到面面，故可先将要证平面转化为求证面即可求证；

（2）可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．

【详解】（1）取，中点，，连接，，.

由，得，，

又，

所以平面.

由，知四边形是平行四边形，则，

平面，平面，所以平面，

同理平面，且，

所以平面平面，

所以平面.

（2）由，

知四边形是以的等腰梯形.

连接，则，

又平面，所以，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

于是点在底面内的射影在上.

（在平面中，，点在以AC为直径的圆上运动）

取中点，则，

于是当底面时，四棱锥的体积最大.

如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，

建立空间直角坐标系.

由题意得，，，

，.

所以，，.

设平面的法向量，

由，得，

取，则.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.