2022-2023学年贵州省遵义市凤冈县高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年贵州省遵义市凤冈县高二上学期期中考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省遵义市凤冈县高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．复数的实部为（    ）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】根据复数化简即可.【详解】.故选：A.2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解二次不等式解得集合，再根据集合的交运算，即可求得结果.【详解】因为，，所以.故选：C.3．在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】在三角形中根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理可得，解得.故选：C.4．在空间直角坐标系中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选：B5．过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，然后代入计算即可得到结果.【详解】根据题意可得，圆心，，则，由圆的切线定理可得.故选:A6．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据给定的条件，利用对数函数单调性比较大小，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为，因此，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C7．已知点M，N分别为圆与上一点，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】由题可得两圆的圆心及半径，然后根据圆的性质即得.【详解】由题可知圆A的圆心坐标为，半径为1，圆B的圆心坐标为，半径为，因为两圆的圆心距，所以两圆外离，所以．故选：B.8．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈，瓶颈到水位线的距离和水位线到瓶底的距离均为.现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移，当水位线离瓶口不大于时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（    ）A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗【答案】B【分析】根据圆台体积公式求得一个石子的体积，再结合圆柱的体积公式，求得需要填充石子的体积，即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：如图所示，因为，，，所以.因为原水位线的直径，投入石子后，水位线的直径，则由圆台公式可得：；因为需要填充的石子的体积是由圆台加圆柱体得到，即则需要石子的个数为，所以至少共需要3颗石子.故选：B. 二、多选题9．正方体的棱长为2，则（    ）A．异面直线和所成的角为 B．异面直线和所成的角为C．点到平面的距离为 D．点到平面的距离为【答案】BC【分析】连接，，，，可得异面直线和所成的角为，利用为等边三角形可判断A B；因为，根据等体积可得点到平面的距离可判断C D.【详解】如图，连接，，，，则，所以异面直线和所成的角为，因为，所以为等边三角形，即，故A错误，B正确；因为，所以，，所以，，所以，所以点到平面的距离为，故C正确，D错误.故选：BC.10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【分析】根据空间向量共面定理判断．【详解】因为，，，所以，，共面，，，共面，，，共面.假设存在实数，满足，则，此方程组无解，因此，，不共面.故选：ABD．11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ）A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期是C．的图象关于点对称 D．在上单调递减【答案】ABD【分析】根据题目图像先求出，再求得即可解决.【详解】由图可知，的图象关于直线对称，所以的最小正周期，所以，则. 由五点作图法可知，所以，所以. 将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则，则A，B错误.令，，解得，，当时，，则C正确.令，，解得，，则D错误.故选：ABD.12．已知直线，圆（为圆心），则（    ）A．直线恒过点B．到直线的最大距离为C．直线与圆一定相交D．当时，直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4【答案】ABD【分析】直线方程整理为关于的恒等式，由此可求得定点坐标判断A，由圆心与定点连线和直线垂直时距离达到最大值计算后判断B，由定点与圆的位置关系判断C，由直线的斜率小于0，可设出截距式方程，然后得出三角形面积，利用基本不等式求得最小值判断D．【详解】直线，令得则直线恒过点，A正确；因为，所以点在圆上，则直线与圆相切或相交，C错误；，当时，到直线的距离最大，且最大值为，B正确；当时，直线的斜率为，则可设直线的方程为，则，即，当且仅当，即，时，等号成立，所以直线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为4，D正确.故选：ABD． 三、填空题13．已知复数满足，则______.【答案】【分析】将复数和其共轭复数以代数形式表示，代入原式，列方程组解出a、b，再求得的模即可.【详解】设，则由题得，所以，所以，解得故，.故答案为：.14．已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为______℃.【答案】17【分析】先把数据由小到大进行排列，再求出70%分位数为第9个数据的气温，即可求解.【详解】解：这12天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，， 这12天平均气温的70%分位数为第9个数据的气温，即17℃.故答案为：.15．在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值：______.【答案】1（答案不唯一，只要即可）【分析】计算，，根据点到直线的距离公式得到，解得答案.【详解】因为，，所以点到直线的距离，解得.故答案为：1（答案不唯一，只要即可） 四、双空题16．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线在轴上的截距为______，______.【答案】          【分析】令，可求出直线在轴上的截距，根据倾斜角与斜率的关系可求出，再由可求得的值.【详解】令，得，则直线在轴上的截距为，依题意可得，因为所以，所以.故答案为：；. 五、解答题17．（1）求两条平行直线与间的距离；（2）求过点且与直线垂直的直线方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接根据平行线间的距离公式即可得结果；（2）根据垂直关系设所求直线的方程为，将点代入求出值即可.【详解】（1）两条平行直线与间的距离.（2）依题可设所求直线的方程为，将点的坐标代入得.则，故所求直线的方程为.18．在长方体中，底面是边长为2的正方形，分别是的中点.(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）利用向量法证明平面；（2）利用向量法求与平面所成角的正弦值.【详解】（1）由题意可知，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，，，.因为分别是的中点，所以,.所以在长方体中，为平面的一个法向量.因为，且平面，所以平面.（2）,.设为平面的一个法向量，则，不妨设，则.设与平面所成角为，则.即与平面所成角的正弦值为.19．如图，在四棱锥中，底面，，，，.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量法即可求得异面直线的夹角余弦值；（2）由向量法即可求得面面角的夹角余弦值.【详解】（1）因为底面，底面，所以，，且，，所以，以为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.（2），设平面的法向量为，则，即，令，得.易知是平面的一个法向量，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.20．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用正弦定理的边角互化即可求解；(2)结合(1)中条件，利用正弦定理的边角互化以及三角恒等变换即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得，，即.因为，所以，即.因为，所以，则.因为，所以.（2）由(1)中可知，，则，由正弦定理可知，，因为为锐角三角形，所以，则，所以，从而.故的取值范围为.21．为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立.(1)求乙同学最终得10分的概率；(2)记为甲同学的最终得分，求的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）按乙同学最终得10分的所有可能分类计算再相加即可；（2）甲同学的最终得分的可能结果有得10、15、20分，分别计算概率再相加即可.【详解】（1）设乙同学最终得10分为事件，则可能情况为甲回答两题且错两题，甲、乙各答一题且各对一题，乙回答两题且对一题错一题，则，即乙同学最终得10分的概率是.（2）设“”为事件，，，.故.22．已知圆．(1)若圆C被直线截得的弦长为8，求圆C的直径；(2)已知圆C过定点P，且直线与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间的关系列出方程求解即可；（2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.【详解】（1）依题意可知圆的圆心为，到直线的距离，因为圆被直线截得的弦长为8，所以，解得，故圆的直径为.（2）圆的一般方程为，令，，解得，所以定点的坐标为.联立解得或所以，因为，所以.又方程表示一个圆，所以，所以的取值范围是.