2022-2023学年海南省洋浦中学高二上学期期中检测数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年海南省洋浦中学高二上学期期中检测数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年海南省洋浦中学高二上学期期中检测数学试题 一、单选题1．若复数满足，则（    ）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由复数的乘法及除法运算可得，然后求其模即可.【详解】解：由，则，所以，故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法及除法运算，重点考查了复数模的运算，属基础题.2．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式化简集合A，再与集合B求交集即可.【详解】由得：，又 ，，而集合B为偶数集，故.故选：B．3．设a、b为两条直线，、为两个平面，下列四个命题中正确的是（    ）A．若a，b与所成的角相等，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，则【答案】B【分析】根据平行和垂直的性质定理，并进行判断.【详解】对于选项A，将一个圆锥放到平面上，则它的每条母线与平面所成的角都是相等的，故“若与所称的角相等，则”故A错；对于选项C，若，则位置关系可能是平行，相交或异面，故C错；对于选项D，若，则是错误的，两平面还可能是相交平面；故D错；对于选项B，若，则，两个平面垂直时，与它们垂直的两条直线一定是垂直的.故选：B.4．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】设正方体的边长为，则，正方体的对角线长为，所以球的直径，半径，所以球的体积为.故选：A5．在等差数列中，为其前项和，若，则A．20 B．27 C．36 D．45【答案】C【分析】先由题意，得到，推出，再由等差数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为为等差数列，，，因此又，.故选C【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，熟记等差数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型.6．设、，向量，，且，，则（      ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)A． B． C． D．【答案】C【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.【解析】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 8．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】该组合体可视作一个正方体和个球体的组合体，进而求出体积.【详解】由题意，该组合体是一个正方体和个球体的组合体，其体积为.故选：A. 二、多选题9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（    ）A．此数列的第20项是200 B．此数列的第19项是180C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前项和为【答案】ABC【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，故C正确；由此可得，故A正确；，故B正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，故D错误．故选：ABC．10．定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ）A． B．C．若，则 D．【答案】BD【分析】理解新定义，对选项逐一判断【详解】对于A，若为负数，可知，故A错误，对于B，由定义知B正确，对于C，若，则，共线，故C错误，对于D，由定义知，故D正确．故选：BD11．如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（    ）A．直线与底面所成的角为 B．平面与底面夹角的余弦值为C．直线与直线的距离为 D．直线与平面的距离为【答案】BCD【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.【详解】如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则，，，，，，A选项：，平面的法向量，设直线与底面所成的角为，则，直线与底面所成的角不为，故A错误；B选项：，，设平面的法向量，则，令，则设平面与底面的夹角为，则，平面与底面夹角的余弦值为，故B正确；C选项，，直线与直线的距离为：，故C正确；D选项，，平面，平面，又，平面的法向量，直线与平面的距离为：，故D正确；故选：BCD.12．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.  三、填空题13．已知数列满足,,,则______.【答案】0【分析】根据题意多写出几项,发现规律,找到周期,求出和即可.【详解】解:由题知,∵,,,∴,同理可得,,,,,∴数列为以6为周期的周期数列,.故答案为:014．已知等差数列中，，，则与的等差中项为__________.【答案】8【分析】用基本量表示题干条件，求得通项公式，由与的等差中项为代入计算即可.【详解】由题意，不妨设数列的首项为，公差为，又，，故，解得，故，故与的等差中项为.故答案为：815．已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为，则该圆锥的高为________．【答案】3【分析】根据侧面展开图为半圆可求半径与母线长的关系，根据轴截面及内切球的半径可求圆锥的高.【详解】因为内切球的体积为，故内切球的半径满足，故.设母线的长为，底面圆的半径为，故，故，故轴截面为等边三角形（如图所示），设分别为等边三角形的内切圆与边的切点，为内切圆的圆心，则共线且，，而，故，故，故答案为：3. 四、双空题16．平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面外一点，则___________，点P到平面的距离是___________.【答案】          【分析】根据向量的坐标表示以及模长公式，结合点面距的向量公式，可得答案.【详解】由题意，，则，点P到平面的距离，故答案为：；. 五、解答题17．已知数列的前n项和为（1）当取最小值时，求n的值；（2）求出的通项公式.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）直接对进行配方，由可求出其最小值（2）由求解的通项公式【详解】解：（1），因为，所以当或时，取最小值，（2）当时，，当时，，当时，满足上式，所以【点睛】此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查的关系，属于基础题18．已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.19．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【详解】（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；（2）由正弦定理得：，则，则，. 20．在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面，，，过A作，垂足为F，点E、G分别是棱的中点．(1)求证：平面∥平面；(2)求证：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）分别证明∥平面，∥平面，然后利用面面平行的判定定理证明即可. （2）由已知条件推导出，，由此能证明面，再根据线面垂直的判定定理得证．【详解】（1）∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥，∵平面，平面，∴∥平面；又，∴平面∥平面.（2）∵平面平面 ，平面平面，平面，且，∴平面SBC，又∵平面，∴，又∵，，平面，∴平面，平面，所以.21．如图，正四棱锥P-ABCD底面正方形的边长为2，侧棱长为.(1)求该正四棱锥的表面积；(2)求该正四棱锥外接球的体积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）取AB中点E，连接PE，则，求出即可求出该正四棱锥的表面积.（2）连接AC，BD，设，连接，在上取一点O，使，由题目条件可求得，即可求出该正四棱锥外接球的体积.【详解】（1）取AB中点E，连接PE，则，从而，该正四棱锥的表面积；（2）连接AC，BD，设，连接，在上取一点O，使，在中，，又在中，，即，解得，从而该正四棱锥外接球的体积：.22．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【详解】（Ⅰ）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，. 又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，， ，.设为平面 的一个法向量，则即 可取.于是. 【解析】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．