2022-2023学年河北省石家庄市师大附中高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市师大附中高二上学期第一次月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市师大附中高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2．直线的倾斜角为(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．【详解】可化为：，∴直线的斜率为，设直线的倾斜角α，则，∵，∴．故选：D．3．已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ）A． B． C． D．4【答案】C【分析】结合向量夹角，先求解， 再求解.【详解】．故选：C.4．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量数量积列出方程，求出x＝1，利用向量夹角公式计算出答案.【详解】∵∴x＝1，∴，∴，又∵，∴向量与的夹角为故选：D.5．若过点的直线的斜率等于1，则m的值为（    ）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【分析】代入由两点求直线的斜率公式：即可求解.【详解】因为过点的直线的斜率等于1，所以，解得：，故选：.6．直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】分直线过原点时和直线不过原点，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.【详解】当直线过原点时，此时过点的直线方程为，即，此时符合题意；当直线不过原点时，因为两坐标轴上的截距和为，可设直线方程为，将点代入直线方程，可得，解得，即.综上可得：所求直线方程为或.故选：C.7．，若三向量共面，则实数（    ）A．3 B．2 C．15 D．5【答案】D【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵，∴与不共线，又∵三向量共面，则存在实数m，n使即，解得．故选：D．8．点到直线的最大距离为（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点 到直线距离最大，即为.故选：C. 二、多选题9．已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（    ）A． B．C．是平面的一个法向量 D．【答案】ABC【分析】由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.【详解】由题意，向量，对于A中，由，可得，所以A正确；对于B中，由，所以，所以B正确；对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.故选：ABC10．已知，，，则（    ）A．直线与线段有公共点B．直线的倾斜角大于C．的边上的中线所在直线的方程为D．的边上的高所在直线的方程为【答案】BCD【分析】因为，，所以可以判断A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为求出直线方程可判断C、D.【详解】、因为，，所以直线与线段无公共点，A错误；因为，所以直线的倾斜角大于，B正确；因为线段的中点为，所以边上的中线所在直线的方程为，C正确；因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.故选：BCD11．已知分别是正方体的棱和的中点，则（    ）A．与是异面直线B．与所成角的大小为C．与平面所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为【答案】AD【分析】根据异面直线的判定定理可判断A；建立空间直角坐标系，用向量的方法可计算B、C、D是否正确．【详解】根据异面直线的判定定理“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确；以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，,0,，,0,，,2,，,1,，所以,0,，,,，设与所成角的大小为，则，所以，故B错误；由题意可知，平面的法向量为,2,0，,1,，设与平面所成角为，则，所以，故C错误；,2,，,0,，设平面的法向量为,,，则，令，得,,，同理可得平面的法向量,,，设二面角的平面角为，则，又因为为锐角，所以，故D正确；故选：AD．12．若，分别为，上的动点，且，下面说法正确的有（    ）A．直线的斜率为定值 B．当时，的最小值为C．当的最小值为1时， D．【答案】ABD【分析】先利用两直线平行的条件确定和的值，由此判断选项A、D是否正确；当时，利用两平行线间的距离公式求得的最小值，即可判断B选项；由的最小值为，利用两平行线间的距离公式求出的值，即可判断C选项.【详解】解：且，，，故A、D选项正确；分别为上的动点，且∥，的最小值为两平行直线间的距离，当时，的最小值为，故B选项正确；由，得出，则，又可化为，当的最小值为时，，或，故C选项错误；故选：ABD. 三、填空题13．在正方体中，________．【答案】【分析】根据空间向量的加法减法运算求解即可.【详解】.故答案为：14．经过点，且圆心是两直线与的交点的圆的方程为______.【答案】【分析】直线与的交点为，设圆方程为，计算得到答案.【详解】直线与的交点为，设圆方程为，代入点，得到，故圆方程为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.15．过两点的直线的方程是________．【答案】【分析】由两点求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.【详解】因为，所以，所以所求直线方程为，即直线方程为.故答案为： 四、解答题16．已知直线经过点，且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）若直线与平行且点到直线的距离为，求直线的方程.【答案】(1) ;(2) 直线方程为或.【详解】试题分析：⑴ 利用相互垂直的直线斜率之间的关系求出直线的斜率，代入即可得到直线的方程；⑵由已知设直线的方程为，根据点到直线的距离公式求得或，即可得到直线的方程解析：（1）由题意直线的斜率为1，所求直线方程为，即.（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，由点到直线的距离公式得，    即，解得或.    ∴所求直线方程为或.    17．如图，在直四棱柱中，，，，．(1)求证：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出，由即可证明；（2）求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式求出余弦值即可.【详解】（1）因为平面，平面．所以，．又，所以，，两两垂直，以点D为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，．所以，所以．（2），设向量为平面的一个法向量，则，即令，得，设向量为平面的一个法向量，则，即令，得．所以．设二面角的大小为，由图可知，所以．所以二面角的余弦值为．18．平面直角坐标系中，圆C过点，和点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程．【答案】【分析】根据所给条件，利用待定系数法求圆的方程即可.【详解】设圆C的圆心为，半径为，则圆C标准方程为，由题意，则，解得，故圆C的标准方程为.19．如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，点E，F分别为AD，PC的中点．(1)证明：平面PBE；(2)求点F到平面PBE的距离．【答案】(1)见解析(2) 【分析】(1) 取的中点，连接， ，则可证，进而由线面平行的判定定理即可得证；（2）平面，转化为点到平面的距离，再由等体积法求解.【详解】（1）取的中点，连接， ，如图，则，且，∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，平面，平面，平面；（2）因为平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．利用等体积法： ，即， 而，∵在中，，在中，∴，∴．即点到平面的距离为.20．如图，四棱锥中，，，，，，，为中点.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接交于点，连接，延长交于，由得，根据正方形、等腰三角形性质有、，应用线面垂直的判定和性质证结论.（2）建立空间直角坐标系，设，利用面面垂直的判定可得面面，且可得△为等边三角形，进而确定坐标，再求出的方向向量与平面的法向量，空间向量夹角表示求线面角的正弦值.【详解】（1）连接交于点，连接，因为，延长交于，由，则，可得，四边形为正方形，则，且为中点，由，则，且，面，所以面，平面，则；（2）以为原点，为轴，为轴建立如下图示的空间直角坐标系，则，，，，设，由面，面，所以面面，由，则，由且BC⊥CD，则，又，故△为等边三角形，且面面，所以，则，综上，，，，设平面的法向量为，则，令，解得，所以.21．如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，，，点为棱的中点.（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；（2）若，二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）．【分析】（1）取的中点，连结、，可以证明得四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得点；（2）先证明，，两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由二面角的余弦值为，求出的长度，进而利用点面距的坐标公式求解即可．【详解】（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点.证明：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.四边形为平行四边形.，又平面，平面，平面；（2）取中点，因为底面为菱形，所以，又，且，所以平面，即.又，即，而所以平面.又，所以为正三角形，即，也即所以，，两两互相垂直（需写出证明过程）.以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.所以，.设平面的一个法向量为.由，取，得；取平面的一个法向量为.由题意，，解得..设点到平面的距离为，则.即点到平面的距离为 五、双空题22．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点.若，则__________，_________.【答案】          【分析】连接交于,由平行四边形的性质，为的中点，由线段中点向量公式可得，进而求得然后利用向量的减法运算求得关于的线性表达式，进而根据空间向量分解唯一性定理得到的值.【详解】连接交于,由平行四边形的性质，为的中点，所以,,因为在平面所在平面外，∴不共面，由空间向量唯一分解定理，可得,故答案为：【点睛】本题考查空间向量的线性运算和空间向量基本定理中的分解唯一性定理，关键是得出.