2022-2023学年河北省张家口市第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省张家口市第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（    ）

A．24种 B．81种 C．64种 D．32种

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理计算可得；

【详解】三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有4种不同的选法，故不同的选法有种；

故选：C

2．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

3．设随机变量服从正态分布，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：由题可知，正态曲线关于对称，根据，即可求出

详解：随机变量服从正态分布

      正态曲线关于对称

故选D.

点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是正态曲线的对称性.

4．若随机变量的分布列为：

已知随机变量，且，，则与的值分别为(    )A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据分布列概率的性质可计算出m，根据平均数和方差的计算即可计算a、b.

【详解】由随机变量的分布列可知，．

∴，．

∴，，

∴，，又，解得，﹒

故选：C．

5．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率(　 )

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】事件A：“第一次拿到白球”，B：“第二拿到红球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝·＝，故P(B|A)＝＝.

6．已知，则（    ）

A．64 B．32

C．63 D．31

【答案】C

【解析】根据二项式定理展开式的逆运算即可求得的值,进而由二项式系数和求得的值.

【详解】根据二项式定理展开式的逆运算可知

所以

解得

所以

故选:C

【点睛】本题考查了二项式定理展开式的逆运用,二项式系数和的应用,属于基础题.

7．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为（       ）

A．0.85 B．0.65 C．0.145 D．0.075

【答案】C

【详解】设A1＝“他乘火车来”，A2＝“他乘船来”，A3＝“他乘汽车来”，A4＝“他乘飞机来”，B＝“他迟到”.则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝(Ai)·P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.

8．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为(   )

A．240 B．144 C．196 D．288

【答案】B

【分析】将6张票按照要求分给4个人，是有2人各得两张，另外2人各得1张票.再将2张具有连续的编号的票的情况求出后可计算出答案.

【详解】由题4人分6张票，则有2人各得两张，且具有连续的编号的票，另外2人各得1张票．2张具有连续的编号的票的情况有12和34；12和45；12和56；23和45；23和56；34和56共6种情况．所以不同的分法种数是．

故选：B

二、多选题

9．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（    ）

A．甲不站两端，共有种排法

B．甲、乙必须相邻，共有种排法

C．甲、乙不相邻，共有种排法

D．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法

【答案】AD

【分析】A选项通过特殊元素法判断；B选项利用捆绑法判断；C选项利用插空法判断；D选项用总情况减去不满足的情况即可.

【详解】A选项：甲不站两端，甲有种，剩余6人全排，共有种排法，正确；

B选项：甲、乙必须相邻，甲、乙捆绑有种，作为整体和剩余5人全排，共有种排法，错误；

C选项：甲、乙不相邻，先排其他5人有种，再把甲、乙插入6个空中，共有种排法，错误；

D选项：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排减去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同时乙在右端的，

共有种排法，正确.

故选：AD.

10．在二项式的展开式中，正确的说法是（    ）

A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1

C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大

【答案】BCD

【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；求出偶数项的二项式系数和可判断C选项；利用二项式系数的性质可判断D选项；

【详解】解：二项式的展开式通项为，

对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；

对于B选项，各项的系数和是，B对；

对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对

对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；

故选：BCD

11．一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（    ）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为

C．从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

【答案】ABD

【分析】对选项A，根据古典概型公式即可判断A正确，对选项B，根据二项分布即可判断B正确，对选项C，根据条件概率即可判断C错误，对选项D，利用二项分布即可判断D正确。

【详解】对选项A,从中任取3球，恰有一个白球的概率是，故A正确；

对选项B，从中有放回的取球6次，每次任取一球，

则取到白球的个数，

故恰好有两个白球的概率为；

对选项C，从中不放回的取球2次，每次任取1球，记A为“第一次取到红球”，

B为“第二次取到红球”，则所求概率为，故C错误。

对选项D，从中有放回的取球3次，每次任取一球，则取到红球的个数，

至少有一次取到红球的概率为，故D正确。

故选：ABD

12．记，分别为，的对立事件，且，，.则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据对立事件的概念及条件概率的相关知识对选项一一分析即可.

【详解】由题可知，，则，

对于A，，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错误；

故选：ABC

三、填空题

13．若，则________．

【答案】

【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可；

【详解】解：因为

所以或

解得或

当时，无意义，故舍去；

故答案为：

【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.

14．展开式中的系数为________.

【答案】

【分析】先得到的通项公式，再结合，计算即可得到结果.

【详解】因为

且展开式的通项公式为

故的系数为

故答案为:.

15．设件产品中含有件次品，从中抽取件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.

【答案】

【分析】设抽得次品数为，列出随机变量的分布列，进而可求得的值.

【详解】设抽得次品数为，则随机变量的可能取值有、、，

则，，，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：

（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．

（2）已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解；

（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．

16．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据，如下表所示．（残差=观测值-预测值）

根据表中数据，得出关于的经验回归方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______．

【答案】

【分析】首先由已知条件求出的值，再由回归直线过样本中心点即可求解.

【详解】因为样本处的残差为，即，

所以，

所以回归方程为：，

因为，，

因为样本中心点在回归直线上，所以，

解得：，

故答案为：.

四、解答题

17．已知的展开式共有11项.

(1)求展开式中各项二项式系数的和；

(2)求展开式中的系数.

【答案】(1)1024；

(2).

【分析】(1)通过二项式展开式的项数，可得的值，二项式系数的和为.(2) 结合二项式的展开式的通项公式求出展开式中的系数.

【详解】（1）由的展开式共有11项可得，，

故二项式的展开式中各项二项式系数的和为

；

（2）二项式的展开式的通项公式为

，

令，解得：.

所以二项式展开式中的系数为.

18．将6名男生，4名女生排成一排．

(1)若6名男生相邻，4名女生相邻，求不同的排法种数：

(2)若4名女生的身高互不相等，从左到右，4名女生从高到矮排列，求不同的排法种数．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用捆绑法将6名男生看成一个整体，将4名女生看成一个整体进行全排列，再在男生、女生内部进行全排列，从而得到答案.

（2）先排女生，由题意只有1种排法，再将6名男生依次插空可得答案.

【详解】（1）先排6名男生，一共有种排法，

再排4名女生，一共有种排法，

将这10名学生看成2个整体，则不同排法的种数为．

（2）先排4名女生，只有1种排法，

再将6名男生依次插空，则不同排法的种数为．

19．甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛．在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为．

（1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率；

（2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；

（2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．

【详解】解：（1）设“甲恰有两轮获胜”为事件A，则．

（2）设“选中甲与机器人比赛”为事件，“选中乙与机器人比赛”为事件，“战胜机器人”为事件B，根据题意得

．

由全概率公式，得

．

所以战胜机器人的概率为．

20．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功.每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立.求：

(1)直到第3次射击汽油才流出的概率；

(2)直到第3次射击汽油罐才被引爆的概率；

(3)汽油罐被引爆的概率.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）每次命中与否互相独立，由题意知本题符合独立重复试验的条件，根据独立重复试验的公式求解概率；

（2）每次命中与否互相独立，由题意知本题符合独立重复试验的条件，根据独立重复试验的公式求解概率；

（3）油罐被引爆的对立事件是油罐不被引爆，油罐不被引爆包括五发子弹都没有击中，五发子弹中只有一发击中，两种情况，这两种情况是互斥的，根据对立事件和互斥事件的概率公式得到结果.

【详解】（1）由已知，每次射击命中率都是，且每次命中与否互相独立，

设直到第3次射击汽油才流出的事件为，

所以，直到第3次射击汽油才流出的概率；

（2）由已知，每次射击命中率都是，且每次命中与否互相独立，

设直到第3次射击汽油罐才被引爆的事件为，

所以，直到第3次射击汽油罐才被引爆的概率；

（3）记“油罐被引爆”的事件为事件，其对立事件为，油罐不被引爆包括五发子弹都没有击中，五发子弹中只有一发击中这两种情况，

则，

根据对立事件的概率得到，

即油罐被引爆的概率为.

21．2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如表：

(1)根据所给数据完成上述表格，并依据的独立性检验，分析学生选择物理或历史与性别是否有关；

(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.

附：.

【答案】(1)列联表答案见解析，推断该校学生选择物理或历史与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；

(2)分布列答案见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据所给数据完成列联表，求出，即可得到答案；

（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，随机变量的所有可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和.

【详解】（1）根据所给数据完成列联表：

所以推断该校学生选择物理或历史与性别有关，此推断犯错误的概率不大于；

（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人，

随机变量的所有可能取值为，

的分布列为：

22．某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量（单位：千辆）与月份的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中.

(1)根据散点图判断两变量的关系用与哪一个比较合适？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（的值精确到），并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于万辆？

附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）结合散点图可知合适；

（2）由题中所给的数据及公式计算回归方程，并进行估计即可.

【详解】（1）比较合适(散点图中点的分布不是一条直线,相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势,所以比较合适)

（2）设,则，

先建立y关于t的回归方程

则

所以y关于t的回归方程为，

因此y关于x的回归方程为

令，解得或（舍去），

故估计从今年8月份起该地区的月销售量不低于万辆.